اشتقاق دالة التقسيم، تقلبات الطاقة والسعة الحرارية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Helmholtz free energy/ˈhelmhəʊltz friː ˈenədʒi/ | طاقة هلمهولتز الحرة |
| energy fluctuation/ˈenədʒi ˌflʌktʃuːˈeɪʃn/ | تقلبات الطاقة |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لفجوة طاقة حرارية أن تحافظ على سعة حرارية منخفضة عند درجات حرارة منخفضة وعالية، حتى بينما تستمر احتمالية الحالة المثارة في الزيادة.
- هدفك: الحصول على متوسط الطاقة الحرة والطاقة القياسية من طيف طاقة ثابت.
اشتقاق طيف ثابت
- لنظام يتبادل الطاقة مع حوض حراري عند درجة حرارة T بينما تظل N وV ثابتتين، ليكن β=1/(kBT). احسب Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) على مستويات الطاقة مع انحرافاتها. احتمال المستوى هو g_i exp(−βE_i)/Z؛ والطاقة الوسطية U هي مجموع الطاقة مضروباً في الاحتمال. اشتقاق طيف مستقل عن الحرارة يعطي U=−∂lnZ/∂β.
- احتفظ بفجوة الطاقة والانحرافات ثابتة أثناء الاشتقاق. كتابة Δ=kBT ln3 لوصف درجة حرارة تقييم واحدة لا يجب أن تُقرأ على أنها تجعل Δ يتغير مع T. بالنسبة لـ N من الأنظمة الفرعية المستقلة والمميزة والمتطابقة ذات المستويين، يكون Z_total=z^N وU_total=N u. الجسيمات غير المميزة والتفاعلات تتطلب عدّ حالاتها الخاصة بدلاً من افتراض هذا الضرب.
Two nondegenerate levels have energies 0 and fixed Δ. At Δ/(kBT)=ln4, excited probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p_exc=1/(1+e^x)=1/(1+4)=1/5.
تحديد الكمية الديناميكية الحرارية
- طاقة هلمهولتز الحرة هي F=−kBT lnZ. ينتج الإنتروبيCanonical من S=kB(lnZ+βU)، أو ما يكافئه −kBΣ p_j ln p_j فوق الحالات الدقيقة الفردية. السعة الحرارية الثابتة الحجم هي C_V=(∂U/∂T)_V,N. تحمل هذه الكميات وحدات مختلفة وتصف مشتقات مختلفة.
- إضافة إزاحة طاقة ثابتة ε إلى كل حالة تضرب Z في exp(−βε)، وتزيد U وF بمقدار ε، ولا تغير الاحتمالات والإنتروبي والسعة الحرارية عندما يكون ε مستقلاً عن T. لذلك فإن اختيار طاقة وسطية سالبة ليس دليلاً على وجود سعة حرارية سالبة. استخدم نفس مرجع الطاقة في الاحتمالات والتعبيرات الديناميكية الحرارية.
A constant temperature-independent energy ε is added to every state. Which quantity stays unchanged?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
All probabilities are unchanged. U and F shift by ε and Z gains e^(−βε), but entropy and heat capacity remain the same.
ربط التقلبات والاستجابة
- المشتقة الثانية لـ lnZ بالنسبة لـ β تعطي التباين Var(E)=⟨E²⟩−U². بالنسبة لنفس نموذج Canonical للطيف الثابت، C_V=Var(E)/(kBT²)، لذا C_V/kB=β²Var(E). التباين غير السالب يعني أن C_V غير السالب ضمن هذه الشروط. المقام يتضمن kB، وليس kB²، عندما تحافظ السعة الحرارية على وحدات J/K العادية.
- صيغة التقلبات هذه تتعلق بتوزيع الطاقة Canonical؛ فهي لا تعني أن كل جسيم يمتلك الطاقة الوسطية بالضبط. بالنسبة للأنظمة الفرعية المستقلة، تتجمع التباينات، كما تتجمع المتوسطات أيضاً. عادةً ما تتناقص التقلبات النسبية للطاقة مثل 1/√N عندما تبقى المتوسطات والتباين لكل نظام فرعي محدودين وغير صفريين.
بالنسبة للمستويات 0 وفجوة Δ ثابتة عند درجة حرارة حيث x=ln3، تكون z=1+1/3=4/3 واحتمال الإثارة p_exc=1/4. وبالتالي u=Δ/4، ⟨E²⟩=Δ²/4 وVar(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3)؛ S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. رفع المرجع بمقدار ε يغير u إلى ε+Δ/4 لكن يحافظ على التباين والسعة الحرارية.
For equally probable energies 0 J and 2 J, energy variance is ____ J².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean=1 J and second moment=2 J², so variance=2−1²=1 J².
اختبار حدود درجات الحرارة لمستويات محدودة
- لحالة أرضية واحدة عند E=0 وحالة مثارة واحدة عند E=Δ>0 ثابتة، ضع x=Δ/(kBT). حينها z=1+e^(−x)، p_exc=1/(1+e^x)، u=Δp_exc وC/kB=x²e^x/(1+e^x)². عند درجات الحرارة المنخفضة، تختفي الإثارة والسعة الحرارية بشكل أسي. عند درجات الحرارة المرتفعة، تميل p_exc إلى النصف وتتصلب الطاقة، لذا تميل السعة الحرارية إلى الصفر مرة أخرى.
- يرتفع الإنتروبي من الصفر للحالة الأرضية الفريدة نحو kB ln2 كلما أصبحت الحالتان متساويتين في الاحتمال. قمة السعة الحرارية الناتجة عند درجة حرارة محددة خاصة بنموذج المستويات المحدودة؛ وليست قيمة المذبذب الكلاسيكي الثابت. انحراف الحالة الأرضية أو مستويات إضافية ستغير الإنتروبي النهائي واستجابة الحرارة.
احتفظ بـ Δ ثابتاً عند الاشتقاق، وأدرج الانحرافات في Z، واستخدم تباين الطاقة بدلاً من مربع الطاقة الوسطية في صيغة السعة الحرارية.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استخرج متوسط الطاقة الحرة والطاقة الكانونية من طيف طاقة ثابت
For a fixed two-level nondegenerate spectrum, canonical heat capacity tends to zero as T becomes arbitrarily high.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Energy approaches Δ/2 and its temperature derivative tends to zero; a finite spectrum saturates.
احتفظ بالتميّزات
- تقلبات الطاقة — انتشار الطاقة Canonical حول متوسط المجموعة، يتم قياسه بتباين الطاقة.
- طاقة هلمهولتز الحرة — جهد ديناميكي حراري F=U−TS، يساوي −kBT lnZ لمجموعة Canonical.
- الحصول على الطاقة الوسطية وطاقة هلمهولتز الحرة من طيف طاقة ثابت.
- ربط تباين الطاقة بالسعة الحرارية الثابتة الحجم بشروط الطيف الثابت.
- تقييم الإنتروبي وحدود درجات الحرارة المنخفضة والمرتفعة لنموذج أصلي ذي مستويات محدودة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.