المشتقة
Introduced| English | العربية |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | ميل المماس |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | التفاضل من المبادئ الأولى |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | قاعدة القوة |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قاعدة الضرب |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قاعدة القسمة |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | نقطة ثابتة |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة الثانية |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | الأقصى |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | الحد الأدنى |
إخفاء المتوسط المحدود للتغيرات المحلية
- من أجل $y=x^2$، يكون الوتر من x يساوي 1 إلى 2 بميل 3، بينما ميل المماس عند x يساوي 1 هو 2.
- المشتقة هي معدل حدّي لحظي، عند وجوده. هندسياً تعطى ميل المماس عند نقطة قابلة للاختلاف.
اسحب النقطة الثانية نحو الأولى
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
يتحول الوتر إلى مماس، ويصبح ميله المشتقة.
ماذا تقيس مشتقة دالة عند نقطة معينة؟
حيثما وجدت، فإن المشتقة هي معدل تغير لحظي حدّي وميل المماس. وتقيس التكامل المحدد التراكم الموجه، والذي قد لا يساوي المساحة الهندسية.
خذ النهاية دون القسمة على الصفر
- الاختلاف من المبادئ الأولى يستخدم $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. كسر الفرق يستخدم h غير صفري قبل أخذ نهايته.
- يجب أن تتفق النهايات أحادية الجانب للحصول على مشتقة ثنائية الجانب. يمكن أن تمنع الزاوية الحادة قابلية الاختلاف حتى لو كانت الدالة متصلة.
أس من تعريفه. من أجل $f(x)=x^2$، يكون الكسر $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ لـ h غير صفري. نهايته هي $2x$. من أجل $|x|$ عند الصفر، الكسر $|h|/h$ ولكن لديه نهاية يمنية 1 ونهاية يسرى -1، لذا لا توجد مشتقة هناك.
اختر قاعدة لصيغة الدالة
- تعطي قاعدة القوة $(x^n)'=nx^{n-1}$ على مجال صالح. تعطي قاعدة الضرب $(uv)'=u'v+uv'$.
- تعطي قاعدة القسمة $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ حيث v غير صفري. تعطي قاعدة السلسلة $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$، بما في ذلك المشتقة الداخلية.
اشتق y = x⁵. أعطِ المشتقة.
أنزل الأس وقلله بمقدار واحد: 5x⁴.
أي قاعدة تشتق y = (3x + 1)⁴؟
دالة داخل دالة. المشتقة هي 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
تحتاج النقطة الثابتة لتصنيف
- النقطة الثابتة لها $f'(x)=0$. تعطي المشتقة الثانية غير الصفرية هناك أقصى محلي عندما تكون سالبة أو أدنى محلي عندما تكون موجبة.
- المشتقة الثانية الصفرية غير حاسمة. افحص إشارات المشتقة الأولى أو أدلة أخرى؛ $x^3$ يحتوي على نقطة انحناء ثابتة عند الصفر، وليس أقصى أو أدنى.
للدالة y = x³ − 3x نقطة ثابتة عند قيمة موجبة من x. ما هي؟
dy/dx = 3x² − 3 = 0 يعطي x = ±1، لذا فالقيمة الموجبة هي x = 1.
عند النقطة الثابتة تكون المشتقة الثانية سالبة. ما نوع هذه النقطة؟
المشتقة الثانية السالبة تعني أن الميل يتناقص عبر الصفر، مما يجعل المنحنى ينحني لأسفل.
رتّب خطوات سؤال النقطة الثابتة في الترتيب الذي يمنحك الدرجات.
أوجد قيم x المرشحة من المشتقة، واستبدلها في الدالة الأصلية لإحداثياتها، وصدّق على التصنيف. المشتقة الثانية الصفرية غير حاسمة.
أوجد الإحداثيين ووصف الفترات. في الورقة 3.1، قم بتحليل المشتقة لإيجاد قيم x المرشحة، عوض في الدالة الأصلية لإيجاد y، ثم اختبر التصنيف وأين تتزايد المنحنى أو تتناقص.
$dy/dx$ يتم الاشتقاق بالنسبة لـ x؛ والنقطة فوق y عادة ما تشقق بالنسبة للزمن. حدد المتغير المستقل بدلاً من اعتبار هذه الرموز قابلة للتبادل في كل مشكلة. قواعد اشتقاق الدوال المثلثية هنا تستخدم الراديان.