التكامل
Introduced| English | العربية |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | التكامل |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل محدد |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ثابت التكامل |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التكامل بالتعويض |
يمكن للإجماع الموجه أن يلغي بعضه البعض
- التكامل يمكن أن يسترد دالة مضادة أو يحسب إجماعاً موجبات وسلبيات. التكامل المحدد ليس تلقائياً مساحة هندسية غير سالبة.
- بالنسبة لدالة مكاملة مستمرة، يربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية التكامل المحدد بدالة مضادة مُقيّمة عند حدودها.
احفظ عائلة الدالة المضادة
- يحتاج التكامل غير المحدد إلى ثابت تكامل لأن اشتقاق أي ثابت يعطي صفراً. صيغة القوة هي $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ لـ $n\ne-1$ على مجال صالح.
- الاستثناء المقلوب هو $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ على فترة لا تمرصفر. يتطلب المجال الموجب أو السالب مراعاة قبل اختيار تعبير اللوغاريتم.
تكامل x³ بالنسبة لـ x. بما فيه الثابت.
زِد واحد على الأس واقسم على الأس الجديد، ثم أضف c لأن أي ثابت يؤول إلى الصفر عند الاشتقاق.
التكامل المحدد يحتاج ثابت تكامل.
يلغي الثابت في F(b) − F(a). التكامل غير المحدد فقط هو الذي يحتاجه — وهناك فهو إلزامي.
في جملة إنجليزية واحدة، اشرح لماذا يحتاج التكامل غير المحدد إلى "+ c".
مثال: "أي ثابت يؤول إلى الصفر عند الاشتقاق، لذا لا يمكن استعادة الثابت الأصلي من المشتقة."
احسب الحد الأعلى ناقص الحد الأدنى
- يعطي التكامل المحدد $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ عندما تنطبق طريقة الدالة الأصلية. عوض كلتا الحدين في نفس F.
- يلغي C بين تلك التعويضات. بالنسبة للمجال الهندسي، قسّم المنحنى حيث يتغير إشارته أو حيث تتبادل المنحنيات العلوية والسفلية ترتيبها.
المساحة تحت المنحنى
$\int_a^b f(x)\,dx$
التكامل المحدد هو المساحة الموجهة بين المنحنى والمحور.
قدّر تكامل x² من 0 إلى 3.
[x³/3] من 0 إلى 3 = 27/3 − 0 = 9.
تكامل صفر، مجال موجب. لـ $y=x$ من سالب 1 إلى 1، $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. المجال الهندسي هو $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. لكل منطقة مثلثية مساحة نصف؛ تلغي مساهماتها الإشارية بعضها البعض.
عوض الدالة والتفاضل معاً
- التكامل بالتعويض يعكس قاعدة السلسلة. مع $u=x^2+1$، $du=2x\,dx$، إذن $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- للتكامل المحدد، حوّل حدوده إلى u أو عُد إلى x قبل التقييم. لا تدمج تعابير u مع حدود x.
أي استبدال يبسط تكامل 2x(x² + 1)⁵؟
مشتقتها 2x موجودة بالفعل، لذا du = 2x dx ويصبح التكامل u⁵ du.
تفاضل الدالة الأصلية للتحقق منها. تحقق أيضاً من المجال وثابت التكامل والحدود؛ لا يثبت التفاضل وحده أن التكامل المحدد أو المجال الهندسي تم تقييمهما بشكل صحيح. يستخدم الورقة 3.2 السرعة لتمييز الإزاحة والمسافة الكلية والموقع النهائي.
كيف تتحقق من إجابة تكامل بشكل موثوق؟
اشتق مقترح للتكامل العكسي وقارنه بالمكامل الأصلي على مجاله. تحقق أيضاً من الثابت والحدود والإشارة أو التفسير الهندسي-المساحي؛ الاشتقاق وحده لا يصدق تلك الخطوات.
لا يمكن للدالة الأصلية الصالحة على فترة أن تبرر تلقائياً التقييم عبر نقطة عدم اتصال. تحقق من مجال دالة التكامل قبل تطبيق الحد الأعلى ناقص الحد الأدنى. يجب إضافة موقع ابتدائي عندما يعطي التكامل إزاحة فقط.