Polar curves and area
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| polar coordinate/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnət/ | الإحداثيات القطبية |
لماذا نصف المنحنى بالاتجاه؟
- المنحنى على شكل بتال يكون أبسط عندما يعتمد نصف قطره على الاتجاه. الإحداثيات الديكارتية قد تخفي هذا البنية.
- تدرس هذه الدرس الإحداثيات القطبية: موقع يُوصف بالمسافة r والزاوية θ من أصل مختار وشعاع مرجعي.
اختر البنية الرياضية
- استخدم x=r cosθ و y=r sinθ. المساحة القطبية تساوي نصف تكامل r² بالنسبة لـ θ على فترة مختارة بشكل صحيح. حدد التماثل والتتبع المكرر قبل اختيار الحدود.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why can integrating (1/2)r² over 0 to 2π overcount the area of some polar curves?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Some parametrisations retrace regions within 0 to 2π, so the integral adds the area twice. Identifying symmetry and tracing behaviour first gives the correct interval.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل r=2 وθ=π/3، فإن x=1 وy=√3. بالنسبة للدائرة r=2 خلال دورة كاملة، A=(1/2) integral_0^(2π) 4 dθ=4π. تعطي نصف الدورة 2π، وهو بالضبط نصف القرص.
Polar curves and area
Use x=r cosθ and y=r sinθ
Compare the model with the worked case and explain one change.
For r=2,θ=π/3, find x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x=r cosθ=2 cos(π/3)=1.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- القيمة السالبة لـ r تضع نقطة في الاتجاه المعاكس؛ فهي ليست مسافة سالبة عادية على نفس الشعاع. قد تتتبع دالة وسيطة نفس المنطقة أكثر من مرة، لذا قد يؤدي مجال وسيط كامل إلى عدّ زائد للمساحة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
استخدام أي مجال وسيط كامل يحسب كل منطقة قطبية مرة واحدة بالضبط. هذه العبارة خاطئة. اشرح التعريف أو الافتراض الذي تخالفه.
For a full circle r=2, find area divided by π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Area/π=r²=4 for the circle.
Using any full parameter interval always counts each polar region exactly once.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negative r places a point in the opposite direction; it is not an ordinary negative distance along the same ray. A parametrisation may trace the same region more than once, so a full parameter interval can overcount area.
تفسير موقف جديد
- ارسم نقاطًا كافية لتحديد التوجيه والحدود. بالنسبة لمنطقة مغلقة بين منحنيين، حدد نقاط التقاطع وأي مربع شعاعي يساهم في الحدود الخارجية على كل مجال.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
For that circle over a half-turn, find area divided by π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A half-turn encloses half the circle: area/π=2.
Match each polar relation to its Cartesian partner.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Polar coordinates describe position by distance and angle; areas accumulate in sectors of angle, not strips of width.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- رياضيات بحتة edexcel IAL؛ الوحدة الرسمية FP2. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ وهو ليس شرطًا إضافيًا لزيادة الأرباح.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
وصف لموضع بواسطة المسافة r والزاوية θ من نقطة أصل وشعاع مرجعي مختارين. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.