Bisection and Newton root finding
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | تكرار |
ما مدى موثوقية التقريب؟
- المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
- تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.
اختر البنية الرياضية
- لدالة مستمرة ذات تغيير إشارة، نصّف مجال جذر وأبقِ النصف الذي له إشارات طرفين معاكسة. تحديثات نيوتن تخضع x لـ x-f(x)/f prime(x)، شريطة أن يكون المشتق غير صفري.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
f(x)=1/x changes sign between -1 and 1. Why does this NOT prove a root in [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The intermediate value reasoning requires continuity on the whole interval. At the asymptote x=0 the function jumps from negative to positive with no root existing.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
لـ f(x)=x²-2، f(1)=-1 وf(2)=2. عند المنتصف 1.5، f=0.25، لذا المجال الجديد هو [1,1.5]. عند المنتصف 1.25، f=-0.4375، لذا المجال التالي هو [1.25,1.5]. نيوتن من 1.5 يعطي 1.4166667.
Bisection and Newton root finding
For a continuous function with a sign change, bisect a root bracket and keep the half with opposite endpoint signs
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the midpoint of [1,2].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Midpoint=(1+2)/2=1.5.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- يجب أن يحدث تغير في الإشارة على فترة يكون فيها الدالة متصلة. قد تفشل طريقة نيوتن إذا كانت مشتقتها تساوي صفراً، أو إذا خرجت تكراراتها عن النطاق المفيد.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك الذي يحدث عبر انقطاع. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.
After two bisections described above, find the lower endpoint.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
After midpoints 1.5 then 1.25, the retained bracket is [1.25,1.5]. Its lower endpoint is 1.25.
Every sign change proves a root, including one across a discontinuity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A sign change must occur on an interval where the function is continuous. Newton can fail if its derivative is zero, or if its iterates leave the useful domain.
تفسير موقف جديد
- تتعلق طرق FP1 العددية بإيجاد الجذور: المنصف، والت interpolaion وطرق نيوتن. لا يُدرج التكامل العددي في هذا الدرس.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the upper endpoint of that bracket.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The retained upper endpoint is 1.5, where f is still positive.
Match each numerical method to its update or rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each method has its own conditions: bisection needs a continuous sign change, Newton needs a nonzero derivative, and the trapezium rule needs equal strip widths.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- رياضيات بحتة edexcel IAL؛ الوحدة الرسمية FP1. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ وهو ليس شرطًا إضافيًا لزيادة الأرباح.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.