السلاسل والاختلافات المحدودة وتوسعات تايلور
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود تايلور |
هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟
- بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
- يدرس هذا الدرس كثير الحدود التايلور: وهو كثير حدود يتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.
اختر البنية الرياضية
- حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما تكونExpansion صالحة. عند a=0 تكون Expansion ماكلورين. قد تتبسط المجموعات المحدودة أيضاً عبر الإلغاء أو صيغ المجموع القياسية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا 1+x+x²/2 تقارب eˣ فقط؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
السلسلة الكاملة غير منتهية: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... إيقاف السلسلة بعد ثلاثة حدود يترك الذيل، لذا النتيجة تقريب صالح فقط بالقرب من المركز x=0.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
المصطلحات الثلاثة الأولى لـ e^x هي 1+x+x²/2. عند x=0.1 يعطي هذا 1.105، قريباً من e^0.1≈1.105170. بالنسبة لمجموع k² من k=1 إلى 5، فإن n(n+1)(2n+1)/6 يعطي 5×6×11/6=55.
السلاسل والاختلافات المحدودة وتوسعات تايلور
حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
استخدم 1+x+x²/2 لتقدير e^0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الكثير الحدود المقطوع هو 1+0.1+0.1²/2=1.105.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- يجب أن يكون المضروب في مقام كل معامل تايلور. ليس المركز دائماً صفراً. قد يكون التقريب جيداً靠近 مركزه لكن سيئاً بعيداً عنه.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كثير حدود تايلور هو دائمًا دقيق للدالة الأصلية عند كل مدخل. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.
أوجد مجموع k² من k=1 إلى 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
أضف الحدود المربعة: 1+4+9+16+25=55.
كثير حدود تايلور يكون دائمًا دقيقًا تمامًا للدالة الأصلية عند كل مدخل.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ينتمي المضروب إلى المقام في كل معامل تايلور. مركز التوسع ليس دائمًا صفرًا. قد يكون التقريب قريبًا من المركز سيئًا بعيدًا عنه.
تفسير موقف جديد
- للسلسلة المتساقطة (Telescoping)، اكتب عدة مصطلح وحدد كلا الطرفين الباقيين. لتقريب تايلور، حدد رتبة التقريب وقارنه بقيمة معروفة أو تقدير للباقي حيثما لزم الأمر.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد معامل x² في توسع ماكلورين للدالة e^x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة الثانية لـ e^x عند الصفر هي 1؛ اقسمها على 2!=2 لتحصل على 1/2.
طابق كل أداة متسلسلة مع استخدامها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المجاميع القياسية تتعامل مع الحدود كثيرات الحدود؛ كثيرات حدود تايلور تقارب الدوال الملساء قرب مركزها؛ المتسلسلة المتدحرجة تطبق الاختلافات.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- edexcel IAL رياضيات متقدمة؛ الوحدة الرسمية FP2. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ إنه ليس شرط دفع إضافي.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
كثير حدود يتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.