المصفوفات كدوال
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | المدخل |
| output/ˈaʊtpʊt/ | مخرجات |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | تركيب |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
المصفوفة دالة
- لقد استخدمت دوال تأخذ رقمًا وتُرجع رقمًا.
- المصفوفة تأخذ متجهًا وتُرجع متجهًا — إنها أيضًا دالة.
- قاعدتها هي: ضرب متجه الإدخال في المصفوفة.
- رؤية المصفوفة بهذه الطريقة تربطها بكل ما تعرفه عن الدوال.
إدخال، إخراج
- الإدخال هو متجه؛ تعالجه المصفوفة؛ الإخراج هو متجه جديد.
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ تأخذ $\langle 4, 5\rangle$ إلى $\langle 8, 15\rangle$ — فهي تمدد كل اتجاه.
- اعتبِ المصفوفة كآلة: متجه في الأعلى، ومتجه محول في الأسفل.
- منطقة كاملة من المدخلات تُترجم إلى منطقة كاملة من المخرجات.
بالنظر إلى مصفوفة 2 × 2 كدالة، فإن إدخالها وخرجها كلاهما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المصفوفة-كدالة تأخذ متجه إدخال وترجع متجه إخراج — دالة من المستوى إلى المستوى.
المصفوفة $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (إدخال $\to$ خرج) ترسل $\langle 4, 5\rangle$ إلى $\langle 8, ?\rangle$. ما هو الخرج $y$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الصف 2 هو $\langle0, 3\rangle$، لذا فإن الإخراج $y = 3\cdot5 = 15$؛ والإخراج الكلي هو $\langle8, 15\rangle$.
دالة من المستوى إلى المستوى
- المدخلات جميعها متجهات في المستوى؛ والمخرجات هي متجهات في المستوى أيضًا.
- لذا فإن مصفوفة $2\times2$ هي دالة تعيد تشكيل المستوى بأكمله دفعة واحدة.
- تسلسل دالتين معًا — حيث يكون مخرج الأولى مدخلًا للثانية — يُسمى تركيبًا (composition).
- مصفوفة التركيب هي ببساطة حاصل ضرب المصفوفتين.
ربط دالتين للمصفوفتين (واحدة تلو الأخرى) هو تركيب، ومصفوفته هي حاصل الضرب.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تماماً مثل تركيب الدوال العادية، فإن ربط دوال المصفوفات يضرب مصفوفاتها.
عكس الدالة
- إذا كانت الدالة قابلة للعكس، فإن عكسها هو الدالة العكسية.
- بالنسبة لدالة المصفوفة، الدالة العكسية هي بالضبط مصفوفة المعكوس.
- لا توجد إلا عندما يكون المحدد غير صفري — نفس الشرط السابق.
- تطبيق مصفوفة ثم معكوسها يعيد كل متجه إلى مكانه الأصلي.
المصفوفة كدالة
المصفوفة تأخذ متجه إدخال وتعيد متجه إخراج - دالة على المتجهات.
الدالة العكسية لدالة المصفوفة تُعطى بواسطة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المصفوفة العكسية تلغي الدالة — ولا توجد إلا عندما يكون المحدد غير صفري.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول المصفوفات كدوال.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الخارج هو متجه وليس رقماً. الثلاثة الأخرى صحيحة.
لماذا يساعد منظور الدالة
- يتيح لك إعادة استخدام مفاهيم الدوال: المجال، النطاق، التركيب، والعكس.
- شرح التركيب كعملية ضرب يوضح لماذا ترتيب التحويلات مهم.
- اختبار المحدد يتحول إلى: "هل تملك هذه الدالة دالة عكسية؟"
- هذا هو الجسر بين دوال ما قبل التفاضل والتكامل والجبر الخطي.
ليس كل دالة مصفوفة قابلة للعكس. إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإن المصفوفة تنضغط بالمستوى على خط —-many inputs share one output, so there is no inverse function. Reversibility requires a non-zero determinant.
ليكن $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$.
- المدخلات $\langle1,1\rangle$ ← المخرجات $\langle2,3\rangle$.
- المدخلات $\langle4,5\rangle$ ← المخرجات $\langle8,15\rangle$.
- المحدد $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$، لذا $f$ له دالة عكسية تقلل بمقدار $\tfrac12$ و$\tfrac13$.
المصفوفة هي دالة يكون مدخلها ومخرجها كلاهما متجهات — خريطة من المستوى إلى المستوى. تسلسل دوال المصفوفات هو تركيب، ومصفوفته هو حاصل الضرب. الدالة العكسية هي مصفوفة المعكوس، والتي توجد فقط عندما يكون المحدد غير صفري.