دوال ذات قيم متجهة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | دالة ذات قيمة متجهة |
| vector/ˈvektə/ | متجه |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معلمة |
دالة تُخرج سهمًا
- الدوال العادية تُخرج رقمًا؛ أما الدوال المعيارية فتُخرج زوجًا من الإحداثيات.
- دالة القيمة المتجهية تجمع ذلك الزوج في متجه واحد.
- تخيلها كسهم ينطلق من نقطة الأصل يتحرك طرفه مع مرور الزمن.
- هي اللغة الطبيعية لوصف الموقع والسرعة والحركة في المستوى.
ما تُخرجه
- دالة القيمة المتجهية $\vec{r}(t)$ تُرجع متجهًا لكل مدخل $t$.
- عادةً ما يكون هذا المتجه موقعًا: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- المعامل $t$ (غالبًا الزمن) يُحرّك السهم إلى مكان جديد.
- لذا يعطي كل مدخل سهمًا واحدًا، يشير من نقطة الأصل إلى الموقع الحالي.
الدالة ذات القيم المتجهة $\vec{r}(t)$ تُخرج، لكل $t$، …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدالة ذات القيم المتجهة تُرجع متجهاً لكل مدخل — غالباً ما يكون الموقع $\langle x(t), y(t)\rangle$.
الطرف يرسم المسار
- امسك الذيل عند نقطة الأصل ودع $t$ يزداد.
- يتحرك طرف السهم، والأثر الذي يتركه هو المنحنى.
- ذلك المنحنى هو بالضبط المسار المعياري من الدروس السابقة.
- لذا فإن دالة القيمة المتجهية والدالة المعيارية هما وجهان لنظرية واحدة.
الدالة ذات القيم المتجهة $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ مرتبطة ارتباطاً وثيقاً بالدالة المعيارية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إنهما وجهتا نظر لنفس الفكرة: المكونات $x(t), y(t)$ هي بالضبط المعادلات المعيارية.
مع تغير المعامل $t$، فإن ____ متجه الموضع يرسم المنحنى.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يبدأ المتجه من نقطة الأصل؛ يشير طرف سهمه إلى النقطة الحالية على المسار.
بالنسبة لـ $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$، ما هو المكون $y$ عند $t = 3$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المكون $y$ هو $t^2 = 3^2 = 9$؛ المكون $x$ هو $2t = 6$، لذا $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الدوال ذات القيم المتجهة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تُخرج متجهاً، وليس رقماً واحداً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
التقييم والدمج
- قوّم $\vec{r}(t)$ بإدراج $t$ في كل مكون.
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ لـ $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- معدل تغير $\vec{r}(t)$ هو متجه السرعة — مركباته $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- اجمع دالتين بقيمتين متجهيتين بجمع مكوناتهما.
دوال ذات قيم متجهة
الدالة ذات القيم المتجهة تُخرج متجهاً؛ أضف المتجهات المركبة للحصول على المحصلة.
لماذا يساعد منظور المتجه
- كتابة الحركة كمتجه واحد يجمع الموقع والسرعة والاتجاه معًا.
- يتم تعميمه بنظافة إلى ثلاث أبعاد، حيث يُضاف مكون $z(t)$.
- الفيزياء ورسوميات الحاسوب تصف الأجسام المتحركة بهذه الطريقة تمامًا.
- صورة السهم الواحد تجعل التفكير في الحركات المدمجة أمرًا سهلاً.
تُخرج دالة القيمة المتجهية متجهًا، وليس رقماً. لا تعامل $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ كقيمة مفردة — فهو يحمل دائمًا مكونين (اتجاه وحجم)، وكلاهما يتغير مع $t$.
جسيم يتحرك وفق $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- عند $t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — يبدأ من نقطة الأصل.
- عند $t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — للأعلى وإلى اليمين.
- يرسم طرفه القطع المكافئ $y = x^2$ مع ازدياد $t$.
دالة القيمة المتجهية $\vec{r}(t)$ تُخرج متجهًا لكل قيمة معامل — عادةً الموقع $\langle x(t), y(t)\rangle$. يرسم طرفه مسارًا مع تغير $t$، لذا فهو المنظور المتجهي للدالة المعيارية. قوّمه مكوّنًا تلو الآخر.