المتجهات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | متجه |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | مقدار |
| scalar/ˈskeɪlə/ | كمية قياسية |
| component form/kəmˈpəʊnənt fɔːm/ | الصيغة المركبة |
الحجم والاتجاه معاً
- قول "اقود $5$ كم" غير مكتمل — تحتاج لمعرفة الاتجاه.
- العديد من الكميات كذالك: السرعة، القوة، الإزاحة تحمل جميعها اتجاهاً.
- رقم واحد لا يمكن أن يلتقط كل من الكمية والاتجاه.
- نحتاج إلى كائن جديد — المتجه — يُرسم كسهم.
ما هو المتجه
- الـمتجه له جزآن من المعلومات: مقدار (طول) واتجاه.
- يُرسم كسهم: الطول هو المقدار، الاتجاه الذي يشير إليه هو الاتجاه.
- نقارن بـكمية قياسية — رقم عادي له حجم فقط، مثل درجة الحرارة أو الكتلة.
- السرعة متجه؛ السرعة (رقم فقط) كمية قياسية.
المتجه هو كمية ذات…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتجه يحمل كل من الحجم والاتجاه، على عكس الكمية القياسية (رقم عادي بحجم فقط).
الصورة المركبة
- فكك المتجه إلى مدى حركته أفقياً وعمودياً: صورته المركبة.
- $\langle 3, 2\rangle$ يعني $3$ إلى اليمين و$2$ للأعلى.
- المركبات الأفقية والعمودية تشبه أضلاع المثلث القائم.
- جمع المتجهات سهل مثل جمع مركباتها بشكل منفصل.
أضف متجهين طرفاً إلى طرف
اسحب المتجهين وشاهد مجموعهما. للمتجه كل من اتجاه ومقدار، على عكس الرقم العادي.
الصيغة المركبة $\langle 3, 2\rangle$ تعني أن المتجه يذهب إلى…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الصيغة المركبة تسرد التغير الأفقي ثم التغير العمودي: $\langle 3, 2\rangle$ يعني 3 إلى اليمين، 2 لأعلى.
ما هو المقدار للمتجه $\langle 3, 4\rangle$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المقدار $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — وهو طول السهم، باستخدام نظرية فيثاغورس.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول المتجهات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الرقم الواحد هو كمية قياسية، وليس متجهاً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
إيجاد المقدار
- الـمقدار هو طول السهم، يُوجد باستخدام نظرية فيثاغورس.
- بالنسبة لـ $\langle a, b\rangle$، المقدار هو $\sqrt{a^2 + b^2}$.
- لذا $\langle 3, 4\rangle$ له مقدار $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- المركبات هي الأضلاع؛ المقدار هو الوتر.
ضرب متجه في الكمية القياسية $2$ يضاعف طوله لكن يحافظ على اتجاهه.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الكمية القياسية الموجبة تقسم المقدار وتترك الاتجاه دون تغيير؛ أما السالبة فتعكسه أيضاً.
الضرب والإضافة
- اضرب المتجه في كمية قياسية لتمديده أو تقصيره: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$.
- الكمية القياسية السالبة تقلب اتجاهه أيضاً.
- اجمع متجهين بإضافة مركباتهما، أو هندسياً طرفاً لطرف.
- هذه العمليات تسمح للمتجهات بنموذج القوى والحركات المجتمعة.
لا تخلط بين مقدار المتجه ومركباته. المتجه $\langle 3, 4\rangle$ له مركبات $3$ و$4$، لكن مقدار $5$ — وليس $7$. الطول هو الوتر، ولا يكون أبداً مجموع الأجزاء.
قارب يتجه نحو $\langle 6, 8\rangle$ (كم شرقاً، كم شمالاً). كم مسافة قطعها؟
- المسافة هي المقدار: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ كم.
- اتجاهه هو للأعلى وإلى اليمين، أكثر انحداراً من $45°$ (شمال أكثر من شرق).
- مضاعفة المتجه $\langle 12, 16\rangle$ ستضاعف المسافة إلى $20$ كم.
المتجه يحمل كلًا من المقدار والاتجاه، ويُرسم كسهم — على عكس الكمية القياسية (رقم عادي). صيغته المكونية $\langle a, b\rangle$ تدرج الأجزاء الأفقية والعمودية، ومقداره هو $\sqrt{a^2 + b^2}$. يتم الضرب عن طريق الضرب، والجمع عن طريق دمج المكونات.