معاملة المنحنيات الضمنية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معلمة |
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | مُعرَّفة ضمنياً |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | معادلات معلمة |
جعل منحنى ساكن يتحرك
- المعادلة الضمنية مثل $x^2 + y^2 = 4$ تحدد شكلاً لكنها لا تخبرك شيئاً عن الحركة.
- لتحريكه أو لرسمه نقطة بنقطة، نحتاج إلى قاعدة تتنقل على طول المنحنى.
- تلك القاعدة هي التوضيح البارامتري: تعبير $x$ و$y$ بدلالة معلم واحد.
- يحول شرطاً ثابتاً إلى نقطة متحركة تتبع المنحنى.
من الضمني إلى البارامتري
- ابدأ بمنحنى معرف ضمنيًا — معادلة تختلط فيها $x$ و$y$.
- أوجد معادلات بارامترية $x(t)$، $y(t)$ تحقق جميع نقاطها المعادلة.
- كلما تقدمت قيمة الـمعلم، تنطوق النقطة بالضبط على ذلك المنحنى.
- نفس المنحنى، وصف جديد — الآن مع اتجاه وسرعة مدمجين.
معاملة المنحنى الضمني مفيدة لأنها…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يوفر الترميز المعتمد على المعامل قاعدة لـ المشي على المنحنى، قيمة $t$ واحدة في كل مرة — مثالي للرسم البياني والحركة.
الدائرة، بالطريقتين
- ضمني: $x^2 + y^2 = 4$ تعني "المسافة $2$ من نقطة الأصل".
- بارامتري: $x = 2\cos t$، $y = 2\sin t$ تدور حولها عندما تتغير $t$ من $0$ إلى $2\pi$.
- تحقق من تطابقهما: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓
- المتطابقة الإثيوبية هي بالضبط ما يجعل التوضيح البارامتري يحقق المعادلة.
تحويل معادلة الدائرة إلى حركة
تتحول الدائرة الضمنية x² + y² = 4 إلى المعادلة البارامترية x = 2 cos t, y = 2 sin t مع مرور الزاوية.
دالة وصفية للدائرة الضمنية $x^2 + y^2 = 4$ هي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحقق: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓ هو يحقق المعادلة الضمنية لكل $t$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول تمثيل المنحنيات الضمنية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التمثيل المعياري لا يغير الشكل — بل يصف نفس المنحنى. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
التحقق من توضيح بارامتري
- لتأكيد أن $x(t), y(t)$ هو توضيح بارامتري لمنحنى ضمني، عوض بهما في المعادلة.
- إذا تحققت المعادلة لكل $t$، فإن التوضيح البارامتري صالح.
- هكذا تصيد تخمين خاطئ: عوض لترى إن كانت تبسط إلى عبارة صحيحة.
- المتطابقة المثلثية $\cos^2 + \sin^2 = 1$ تقوم بالعمل الشاق للدوائر والقطع الناقصة.
لتحقق من تمثيل معياري، عوض $x(t)$ و$y(t)$ في المعادلة ____ وتحقق من صحتها.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يجب أن يحقق التمثيل المعياري الصحيح المعادلة الضمنية لـكل قيمة للمعامل.
يمكن تمثيل منحنى ضمني واحد بطرق أكثر من طريقة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اتجاهات مختلفة، أو سرعات، أو نقاط بداية تعطي تمثيلات معيارية صحيحة مختلفة لنفس المنحنى.
有许多 valid parametrizations
- المنحنى ليس له توضيح بارامتري "صحيح" واحد.
- عكس الاتجاه، تغيير السرعة، أو إزاحة البداية يعطي جميعها توضيحات بارامترية صالحة.
- $x = 2\cos t, y = -2\sin t$ يتتبع نفس الدائرة في اتجاه عقارب الساعة بدلاً من ذلك.
- اختر التوضيح البارامتري whose motion suits your problem.
يجب أن يحقق التوضيح البارامتري المعادلة الضمنية لجميع قيم المعلم، وليس فقط لواحدة. تحقق بالتعويض والتبسيط — الصيغة التي تعمل عند $t$ واحد لكن تفشل في أماكن أخرى هي ليست توضيحاً بارامترياً للمنحنى.
ضع في صورة بارامترية للقطع الناقص $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- جرب $x = 3\cos t$، $y = 2\sin t$.
- تحقق: $\dfrac{9\cos^2 t}{9} + \dfrac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ✓
- إذن $(3\cos t, 2\sin t)$ يتتبع القطع الناقص بالكامل عندما تتغير $t$ من $0$ إلى $2\pi$.
يحول التوضيح البارامتري منحنى مُعرّف ضمنياً إلى معادلات بارامترية $x(t), y(t)$ تتتبعه عندما يتغير الـمعلم. تحقق بالتعويض في المعادلة الضمنية والتحقق من تحققها لكل $t$. المنحنى له العديد من التوضيحات البارامترية الصالحة، تختلف في الاتجاه والسرعة.