مقاطع المخروط
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | إهليلج |
| parabola/pəˈræbələ/ | قطع مكافئ |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | قطع زائد |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | مقطع مخروطي |
شق المخروط
- خذ مخروطًا مزدوجًا وقم بقطعه بمستوى مسطح بزوايا ميل مختلفة.
- إذا قطعت أفقيًا تحصل على دائرة؛ أميل قليلاً لتمتد لتصبح قطعًا ناقصًا.
- أميل أكثر فتفتح لتصبح متتبعًا؛ أميل أكثر فتتشقق لتصبح زائدة.
- هذه المنحنيات الأربعة — الأجزاء المخروطية — تظهر في كل مكان في العلوم والتصميم.
عائلة القطع المخروطية
- القطع المخروطي هو منحنى ينشأ عند قطع المخروط بمستوى.
- الأنواع الأربعة هي الدائرة، والقطع الناقص، والمتتبع، والزائدة.
- لكل منها معادلة ضمنية نظيفة وتعريف هندسي "مسافة".
- الكواكب تدور في مدارات ناقصة؛ الكرات المقذوفة وأطباق الأقمار الصناعية ترسم متتبعات.
مقاطع المخروط هي المنحنيات المتشكلة عن طريق…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مقطع المخروط هو تقاطع مستوى ومخروط؛ تعطي زاوية القطع دائرة أو قطعًا ناقصًا أو قطعًا مكافئًا أو زائدًا.
الدائرة هي مقطع مخروط خاص (قطع ناقص تتطابق فيه بؤرتاه).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عندما تندمج البؤرتان في مركز واحد، تصبح الدائرة دائرة مثالية دائرية الشكل.
القطع الناقص
- القطع الناقص هو مجموعة النقاط التي يكون مجموع مسافتيها إلى بؤرتين ثابتتين مقدارًا ثابتًا.
- معادلته هي $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$، وهي دائرة ممدودة.
- الدائرة هي حالة خاصة حيث تندمج البؤرتان في مركز واحد.
- المحور الأطول هو المحور الكبير؛ الأقصر هو المحور الصغير.
القطع الناقص هو مجموعة النقاط حيث مجموع المسافات إلى بؤرتين هو…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
كل نقطة على القطع الناقص لها نفس المجموع الكلي للمسافة إلى البؤرتين — هذا الثابت يحدد الشكل.
حدد جميع مقاطع المخروط.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المثلث ليس مقطعًا مخروطيًا. الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والزائد هي مقاطع المخروط.
المتتبع والزائدة
- المتتبع هو مجموعة النقاط المتساوية المسافة من بؤرة ومستقيم ثابت (الموجه).
- معادلته تبدو مثل $y = ax^2$ — وهو رسم بياني لدالة تربيعية.
- الزائدة هي حيث الفرق بين المسافتين إلى بؤرتين ثابت مقدار ثابت.
- معادلته هي $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$، مفتوحة نحو فرعين.
أي مقطع مخروط؟
المصطلحات المربعة تخبرك بنوع المقطع. رتب كل معادلة.
____ هو المقطع الذي تكون فيه كل نقطة مساوية المسافة لبؤرة وخط مباشر.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القطع المكافئ يوازن المسافة إلى بؤرة ضد المسافة إلى خط ثابت (الخط المباشر).
التعرف على قطع مخروطي
- اقرأ صيغة المعادلة: $x^2 + y^2$ بمعاملات متساوية هو دائرة.
- معاملات موجبة مختلفة على $x^2$ و$y^2$ تعطي قطعًا ناقصًا.
- حد مربع واحد فقط يعطي متتبعًا؛ إشارة طرح بينهما تعطي زائدة.
- نمط الإشارات في الحدود المربعة يخبرك بأي نوع من القطع المخروطية لديك.
ليست كل المنحنيات المخاريطية دالة لـ $x$. الدوائر والإهليلجات والقطع المكافئ الجانبي تفشل اختبار الخط الرأسي. صفها بمعادلات ضمنية أو صيغ بارامترية، لا بمحاولة إجبارها على أن تكون دالة واحدة لـ $y = f(x)$.
حدد المنحنى المخروطي $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- كلا الحدين مرفوعان تربيعاً، موجبان، ومعاملاتهما مختلفة.
- هذه معادلة قطع ناقص.
- يمتد إلى $x = \pm 3$ (المحور الأكبر) و$y = \pm 2$ (المحور الأصغر).
القطع المخروطية — الدائرة، الإهليلج، القطع المكافئ، والزائد — هي المنحنيات الناتجة عن تقاطع مستوى مع مخروط. لكل منها تعريف مسافة (مجموع الإهليلج للمسافتين إلى بؤرتين) ومعادلة ضمنية مميزة، ومعظمها ليس دالة لـ $x$.