الدوال المعرفة ضمنيًا
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | مُعرَّفة ضمنياً |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | مقطع مخروطي |
عندما يرفض y الوقوف وحده
- معظم الدوال التي نلتقي بها صريحة: $y$ تقف وحدها، مساوية لصيغة ما في $x$.
- لكن معادلة مثل $x^2 + y^2 = 25$ تشابك $x$ و$y$ معًا.
- لا يمكنك كتابة "$y = \dots$" بشكل واضح — ومع ذلك لا تزال المعادلة تصمن منحنى مثاليًا.
- تُعرف مثل هذه العلاقة ضمنيًا، وتفتح بابًا لعائلة كاملة من الأشكال.
الصريحة مقابل الضمنية
- الدالة الصريحة تعزل المخرج: $y = x^2 - 3$.
- العلاقة المعرفة ضمنيًا تترك $x$ و$y$ مختلطتين: $x^2 + y^2 = 25$.
- الصيغة الضمنية تنص على شرط يجب أن تحققه النقاط على المنحنى.
- غالبًا ما تكون الطريقة الأكثر طبيعية لوصف شكل هندسي.
العلاقة المعرفة ضمنيًا هي التي يكون فيها…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
منحنى مُعرّف ضمنيًا، مثل $x^2 + y^2 = 25$، يدمج بين $x$ و$y$ دون عزل $y$.
دائرة، ضمنيًا
- المعادلة $x^2 + y^2 = 25$ تقول "المسافة من نقطة الأصل هي $5$".
- كل نقطة تخضع لها تقع على دائرة نصف قطرها $5$ — وهي قطع مخروطي كلاسيكي.
- لا حاجة لإعادة الترتيب لرؤية الشكل؛ المعادلة تمسحها بالفعل.
- القطع الناقصة والمتتبعات والزوائد جميعها مُعرَّفة بهذه الطريقة الضمنية نفسها.
المعادلة $x^2 + y^2 = 25$ تصف…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
جميع النقاط على مسافة $5$ من نقطة الأصل تحقق $x^2 + y^2 = 25$ — وهي دائرة نصف قطرها $5$.
العلاقة الضمنية مثل $x^2 + y^2 = 25$ قد لا تكون دالة لـ $x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
معظم قيم $x$ تعطي قيمتين لـ $y$ (أعلى وأسفل الدائرة)، لذا فهي تفشل اختبار الخط الرأسي.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول العلاقات المعرفة ضمنيًا.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
لا يمكن حل العديد من العلاقات الضمنية بشكل مناسب لإيجاد $y$ على الإطلاق. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
ليست دالة لـ x
- لمعظم قيم $x$، تعطي المنحنى الضمني قيمتين لـ $y$ (الأعلى والأسفل).
- لذلك تفشل عادةً اختبار الخط الرأسي — فهي علاقة وليست دالة.
- $x^2 + y^2 = 25$ محلولة بالنسبة لـ $y$ هي $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$: فرعان نصف دائرتين.
- كل فرع بمفرده هو دالة؛ معًا يشكلان المنحنى الكامل.
صريح أم ضمني؟
المعادلة الضمنية تربط بين x وy دون حلها بالنسبة لـ y. رتب كل منها.
بحل $x^2 + y^2 = 25$ بدلالة $y$ نحصل على $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ — وهذا يعني فروعًا منفصلة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يُقسّم $\pm$ الدائرة إلى نصف دائرة علوي ونصف دائرة سفلي — وهما دالتان صريحتان.
العمل مع المنحنيات الضمنية
- لإيجاد النقاط، عوض بإحداثي واحد وحل للآخر.
- لرسم مبدئي، اعرف الشكل (دائرة، قطع ناقص، ...) من صيغة المعادلة.
- بعض العلاقات الضمنية لا يمكن حلها بالنسبة لـ $y$ على الإطلاق — تعامل معها كما هي.
- في التفاضل والتكامل، الاشتقاق الضمني يحدد الميل دون الحاجة أبداً لعزل $y$.
المعادلة الضمنية هي علاقة وليست بالضرورة دالة. لا تفترض أنك تستطيع كتابة $y = f(x)$ — للدائرة تحصل على $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$، ونسيان الـ $\pm$ يُسقط بصمت نصف المنحنى.
أوجد النقاط على $x^2 + y^2 = 25$ حيث $x = 3$.
- عوض: $9 + y^2 = 25$، إذن $y^2 = 16$.
- ثم $y = \pm 4$ — نقطتان، $(3, 4)$ و$(3, -4)$.
- قيمة واحدة لـ $x$ وقيمتان لـ $y$: علامة على علاقة غير دالة.
العلاقة المُعرَّفة ضمنيًا تخلط $x$ و$y$ في معادلة واحدة، مثل $x^2 + y^2 = 25$، بدلاً من عزل $y$. يمكنها وصف الدوائر والأجزاء المخروطية الأخرى، وعادة ما تكون ليست دالة لـ $x$ (الحل يعطي $\pm$ أفرع)، وغالبًا ما تكون الطريقة الأكثر طبيعية لإعطاء معادلة منحنى.