دوائر وخطوط بارامترية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معلمة |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | معادلات معلمة |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | الدائرة الوحدة |
رسم الدوائر بسهولة
- من المستحيل كتابة دائرة كـ $y = f(x)$ واحد — تفشل اختبار الخط العمودي.
- ولكن باستخدام بارامتر، تصبح بسيطة وجميلة: زاوية تدور حول المركز.
- الخطوط أيضًا تأخذ شكلًا بارامترًا نظيفًا مبنيًا من نقطة بداية واتجاه.
- هذان الشكلان هما الأساسيات في الهندسة البارامترية.
خط، بارامتريًا
- ابدأ من نقطة $(x_0, y_0)$ وتحرك خطوة ثابتة لكل وحدة من $t$.
- معادلات البارامتر هي $x = x_0 + at$ و$y = y_0 + bt$.
- هنا $(a, b)$ هو الاتجاه، و$t$ هو البارامتر الذي ينقلك على طول المسار.
- عندما تمر $t$ عبر جميع الأعداد الحقيقية، ترسم النقطة الخط المستقيم الكامل.
يمكن كتابة خط يمر بنقطة وباتجاه ثابت بشكل بارامتري كـ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بدءًا من $(x_0, y_0)$ والتحرك بمقدار $(a, b)$ لكل وحدة من $t$ يرسم خطًا مستقيمًا.
دائرة، بارامتريًا
- نقطة على الدائرة الوحدة عند الزاوية $t$ هي $(\cos t, \sin t)$.
- اضرب في نصف القطر $r$: $x = r\cos t$ و$y = r\sin t$ يرسمان دائرة نصف قطرها $r$.
- عندما تدور $t$ من $0$ إلى $2\pi$، تنتقل النقطة مرة واحدة حول الدائرة عكس عقارب الساعة.
- احرك بمقدار $(h, k)$ لمركز الدائرة في أي مكان.
مرر الزاوية لرسم دائرة
عندما تمر المعامل (وهو زاوية) من 0 إلى 2π، يتحرك النقطة (cos t, sin t) مرة واحدة حول الدائرة.
أي المعادلات البارامترية ترسم دائرة نصف قطرها $r$ ومركزها نقطة الأصل؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
من الدائرة الوحدة المضروبة في $r$: $x = r\cos t$ و$y = r\sin t$ يرسمان الدائرة بينما يتغير $t$ من $0$ إلى $2\pi$.
التعويض البارامترتي $x = \cos t,\ y = \sin t$ يأتي مباشرة من ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
نقطة على الدائرة الوحدة عند الزاوية $t$ هي $(\cos t, \sin t)$ — وهو التعويض البارامتر الطبيعي للدائرة.
حدد جميع العبارات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يمكن معاملة الدائرة بشكل بارامتري (وهذا هو الغرض الأساسي). الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
الاتجاه والسرعة
- البارامترية لا تحدد الشكل فحسب بل طريقة رسمه.
- $x = \cos t, y = \sin t$ يدور عكس عقارب الساعة؛ $x = \cos t, y = -\sin t$ يدور مع عقارب الساعة.
- استبدال $t$ بـ $2t$ يرسم نفس الدائرة مرتين أسرع.
- لذا نفس الدائرة لديها العديد من البارامترات، كل منها له حركته الخاصة.
تقييد $t$ في $0 \le t \le \pi$ داخل $x = \cos t,\ y = \sin t$ يرسم نصف الدائرة العلوي فقط.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
من $t = 0$ إلى $\pi$، $y = \sin t \ge 0$، لذا يتم رسم نصف الدائرة العلوي فقط.
رسم جزء فقط
- تقييد فترة البارامتر يرسم قوسًا فقط.
- $0 \le t \le \pi$ في $(\cos t, \sin t)$ يعطي النصف العلوي فقط من الدائرة.
- لخط مستقيم، تقييد $t$ يعطي قطعة مستقيمة أو شعاعًا.
- اختر الفترة لرسم الجزء الذي تريده بدقة.
الصيغة البارامترية للدائرة ليست فريدة. $(\cos t, \sin t)$ و$(\sin t, \cos t)$ يرسمان كلاهما الدائرة الوحدة، لكنهما يبدأان من نقاط مختلفة ويتجهان في اتجاهات مختلفة. تحقق دائمًا من نقطة البداية والاتجاه، وليس فقط الشكل.
أعد بارامترية الدائرة التي نصف قطرها $3$ ومركزها $(1, -2)$.
- ابدأ بصيغة دائرة الوحدة واضربها في $3$: $3\cos t$، $3\sin t$.
- انقل المركز إلى $(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$، $y = -2 + 3\sin t$.
- عندما يتغير $t$ من $0$ إلى $2\pi$، يرسم هذا الدائرة كاملة مرة واحدة.
الخط المستقيم هو $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (نقطة بالإضافة إلى اتجاه). الدائرة ذات نصف قطر $r$ هي $x = r\cos t,\ y = r\sin t$، مباشرة من الدائرة الوحدة. هذه المعادلات البارامترية تسمح للـ معامل $t$ بتحديد الشكل والاتجاه والسرعة — قم بتقييد $t$ لرسم قوس أو قطعة فقط.