معدلات التغير في الدوال البارامترية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | دالة معلمة |
كم بسرعة، وبأي اتجاه؟
- معرفة مكان الكرة في كل لحظة أمر جيد؛ معرفة سرعتها أفضل.
- السرعة والاتجاه معًا يُكوّنان السرعة المتجهة — وكلاهما ينبع من معدلات التغير.
- مع مسار بارامترى، نسأل كيف تتغير $x$ و$y$ كل واحد بسرعة مع الزمن.
- هذان المعدلان يندمجان لتكوين سرعة النقطة المتحركة.
معدلات الإحداثيين
- معدل التغير الأفقي هو $\dfrac{dx}{dt}$ — كم تتحرك النقطة أفقيًا بسرعة.
- المعدل الرأسي هو $\dfrac{dy}{dt}$ — كم تتحرك صعودًا أو هبوطًا.
- بالنسبة لـالدالة البارامترية، هذان هما مركبتا السرعة.
- خلال فترة زمنية، يكون المعدل الأوسط هو $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ أو $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$.
بالنسبة لنقطة متحركة، $\dfrac{dx}{dt}$ و $\dfrac{dy}{dt}$ هما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
معدل التغير لكل إحداثي هو مركبة سرعة: $dx/dt$ أفقياً، $dy/dt$ عمودياً.
السرعة مماسية للمسار
- بدمج المركبتين تحصل على سهم للسرعة.
- هذا السهم يشير دائمًا بالتماس للمنحنى — وهو الاتجاه الحالي للحركة.
- سهم طويل يعني حركة سريعة؛ وسهم قصير يعني حركة بطيئة.
- تتبع الأسهم على طول المسار يظهر الجسم وهو يسرع ويشتت.
لدى نقطة $x = 3t$. ما هو معدل التغير الأفقي المتوسط $\Delta x/\Delta t$ على أي فترة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
بما أن $x = 3t$ خطية، فإن $\Delta x/\Delta t = 3$ في كل مكان — سرعة أفقية ثابتة.
متجه السرعة يشير ____ إلى المسار — في اتجاه الحركة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
السرعة دائماً مماسية للمنحنى، وتشير إلى الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم حالياً.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول معدلات التغير البارامترية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تقيس المعدلات التغير، وليس الموضع. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
عندما يكون المعدل صفرًا
- إذا كانت $\dfrac{dy}{dt} = 0$为零 لحظة، فإن الحركة الرأسية توقفت مؤقتًا.
- هذا هو بالضبط قمة قوس كرة مرمية، حيث تتوقف عن الصعود قبل الهبوط.
- إذا كانت $\dfrac{dx}{dt} = 0$ صفرًا، تتوقف الحركة الأفقية — المسار عمودي مؤقتًا.
- هذه اللحظات ذات المعدل الصفري تحدد نقاط التحول في الحركة.
معدل التغير على المنحنى
y = x^2
ميل المماس هو معدل التغير؛ للمنحنى البارامتري هو (dy/dt) مقسوماً على (dx/dt).
إذا كان $dy/dt = 0$ عند لحظة معينة، فإن الحركة العمودية توقفت مؤقتاً.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
معدل رأسي صفر يعني أن $y$ يتوقف عن التغير لحظياً — على سبيل المثال، قمة قوس كرة مرمية.
تفسير الحركة
- $dx/dt$ موجب: يتحرك يمينًا؛ سالب: يتحرك يسارًا. نفس الفكرة رأسيًا.
- قارن بين المعدلين لترى ما إذا كانت النقطة تصعد بشدة أو تنزلق أفقيًا.
- معدلات ثابتة تعني حركة مستقيمة وثابتة؛ معدلات متغيرة تعني انحناء أو تسارع.
- المحولات تحول المسار الساكن إلى وصف كامل للحركة.
المعدل $dx/dt$ هو سرعة متجهة، وليس موقعا أو مسافة. يمكن لنقطة أن تكون بعيدة عن نقطة الأصل وتتحرك ببطء، أو قريبة منها وتتحرك بسرعة — الموقع ومعدل التغير مستقلان.
النقطة لديها $x = 3t$ و$y = 20t - 5t^2$.
- معدل أفقي: $\dfrac{dx}{dt} = 3$ (ثابت) — سرعة أفقية منتظمة.
- معدل رأسي: $\dfrac{dy}{dt} = 20 - 10t$، والذي يساوي $0$ عند $t = 2$.
- لذا عند $t = 2$ تكون الكرة مؤقتًا neither صاعدة nor هابطة — قمة قوسها.
في الدالة البارامترية، معدلات التغير $\dfrac{dx}{dt}$ و$\dfrac{dy}{dt}$ هي مركبات السرعة الأفقية والرأسية. اندماجهما مماسي للمسار، والمعدل الصفري يحدد حيث يتوقف اتجاه الحركة مؤقتًا.