الدوال البارامترية وحركة المستوى
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | دالة معلمة |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معلمة |
أين هي الآن؟
- ارمِ كرة وتتبع قوسًا ناعمًا عبر الهواء.
- لوصف ذلك الطيران، نتتبع مواقعها الأفقية والعمودية عبر الزمن.
- كل منها دالة خاصة بالزمن — ومعًا يمنحان موقع الكرة في كل لحظة.
- هذا بالضبط ما صممت له الدوال البارامترية.
الموقع عبر الزمن
- الدالة البارامترية تحلل الحركة بإعطاء الموقع $(x(t), y(t))$ في كل وقت.
- المعامل $t$ هو الساعة؛ أدخل وقتًا واقرأ الموقع.
- الحركة الأفقية تقع في $x(t)$؛ والحركة العمودية تقع في $y(t)$.
- الزوج يرسم مسار الجسم عبر المستوى.
عندما تمثل الدوال البارامترية الحركة، فإن المعلمة $t$ عادة ما تمثل…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
في دالة بارامترية نمذج للحركة، $t$ هو الزمن، و $(x(t), y(t))$ هو موقع الجسم حينئذ.
فصل الحركة
- الحيل العظيمة هي أن $x$ و $y$ يمكن تحليلهما بشكل مستقل.
- الكرة المرمية تتحرك بسرعة أفقية ثابتة بينما تجاذب الجاذبية حركتها العمودية.
- لذا قد يكون $x(t)$ خطيًا بينما $y(t)$ قطع مكافئ هابط.
- جمعهما ويتبع الكرة قوسها المألوف.
لدى كرة $x = 3t$ و $y = 20t - 5t^2$. ما هو ارتفاعها $y$ عند $t = 2$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$؛ و $x = 3(2) = 6$، لذا تكون الكرة عند $(6, 20)$.
يتم العثور على الموقع الابتدائي للجسم بتقييم $x$ و $y$ عند $t =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عند $t = 0$ تبدأ الحركة، لذا $(x(0), y(0))$ هو الموقع الأولي.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الحركة البارامترية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المسار البارامتري يمكن أن ينحني (مثل مسار كرة مرمية)، وليس مجرد خط. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
قراءة الحركة
- نقطة البداية تقع عند $t = 0$: قم بتقييم $x(0)$ و $y(0)$.
- الأوقات اللاحقة تعطي مواقع لاحقة على طول المسار.
- حيث يكون المسار في أعلى نقطة، يتوقف الحركة الرأسية مؤقتًا عن الصعود.
- المتابعة $t$ لأعلى تُظهر اتجاه الحركة.
مسار ترسمه معلمة
مع تقدم المعلمة، تتحرك النقطة وترسم منحنى مستوي.
يمكن تحليل الحركات الأفقية والعمودية بشكل منفصل كـ $x(t)$ و $y(t)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تجزئة الحركة إلى أجزاء مستقلة $x$ و $y$ هي القوة العظيمة للنظرية البارامترية.
ما وراء الموضع
- من دوال الموضع يمكنك سؤال كيف تتغير كل إحداثي بسرعة.
- هذا يؤدي إلى السرعة — معدلات التغير في الدرس التالي.
- يمكنك أيضًا إيجاد متى تهبط الجسم (حيث $y = 0$ مرة أخرى) أو كم مسافة يقطعها.
- الحركة البارامترية تحول الهندسة إلى قصة متحركة.
لا تخلط بين المسار والحركة. صورة القوس تُظهر الشكل، لكن البارامترية ترمز أيضًا إلى متى يكون الكرة عند كل نقطة وبأي سرعة. يمكن لكروتين أن تشتركا في مسار ولكن تتحركا عليه بطرق مختلفة تمامًا.
الكرة تمتلك $x = 3t$ و$y = 20t - 5t^2$ (أمتار، ثوانٍ).
- عند $t = 0$: الموضع $(0, 0)$ — تبدأ من نقطة الأصل.
- عند $t = 2$: $x = 6$، $y = 40 - 20 = 20$ — تكون على بُعد $6$ م أفقيًا و$20$ م ارتفاعًا.
- تهبط عندما تصبح $y = 0$ مرة أخرى: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ ثانية.
الدالة البارامترية تحاكي الحركة المستوية من خلال تحديد الموقع $(x(t), y(t))$ في كل وقت، مع اعتبار المعامل $t$ كساعة. تنقسم الحركة الأفقية والعمودية إلى $x(t)$ و$y(t)$، والتي يمكن تحليلها بشكل منفصل وإعادة دمجها لتكوين المسار.