التعامل مع تعبيرات اللوغاريتم
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قانون القسمة |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قانون الضرب |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | قانون القوة |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | تغيير الأساس |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | مكافئ |
تحويل الضرب إلى جمع
- قبل الآلات الحاسبة، كان الناس يضربون أرقامًا ضخمة عن طريق جمع لوغاريتماتهم.
- تعمل هذه السحر لأن اللوغاريتم يحول الضرب إلى جمع.
- ثلاث قواعد بسيطة تسمح لك بفك، تجميع، أو تغيير أساس أي تعبير لوغاريتمي.
- هي مجرد قواعد الأسس، تُرى من خلال مرآة اللوغاريتم.
قواعد الضرب والقسمة
- قاعدة الضرب تفصل المنتج: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- قاعدة القسمة تفصل الكسر: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- الضرب داخله يصبح جملاً خارجاً؛ والقسمة تصبح طرحاً.
- تعكس هذه "ضرب القوى ← جمع الأسس" و"قسمة ← طرح".
اللوغاريثم وراء القوانين
y = a·log(x − b) + c
تأتي هذه القوانين من قواعد الأسس بالعكس. استكشف منحنى اللوغاريتم الذي تصفه جبريًا.
تنص قاعدة الضرب للوغاريتمات على $\log_b(xy) =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لوغاريتم الضرب هو مجموع اللوغاريتمات — انعكاس عبارة "جمع الأسس عند ضرب القوى".
ينص قانون القسمة على $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لوغاريتم القسمة هو فرق اللوغاريتمات — انعكاس عبارة "طرح الأسس عند قسمة القوى".
قاعدة القوة
- قاعدة القوة تنقل الأس للأمام: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- إذن $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- قوة مدفونة داخل اللوغاريتم تصبح مضارباً بسيطاً.
- معاً، يمكن للقواعد الثلاث فك أو تجميع التعبير اللوغاريتمي بالكامل.
تنص قاعدة القوة للوغاريتمات على $\log_b(x^n) =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تخرج القوة الموجودة داخل اللوغاريتم كعامل مضروب أمامه: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
تغيير الأساس
- الآلات الحاسبة تحتوي فقط على أزرار $\log$ (الأساس 10) و$\ln$ (الأساس $e$).
- معادلة تغيير الأساس تتعامل مع أي أساس آخر: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- إذن $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- اختر الأساس الذي تدعمه أدواتك، ثم قسّم.
يسمح لك قانون تغيير الأساس بحساب $\log_2 7$ كـ $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ على الآلة الحاسبة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يعمل قانون تغيير الأساس $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ مع أي أساس مريح.
فك وتجميع
- الفك يستخدم القواعد من اليسار إلى اليمين لتجزئة لوغاريتم واحد إلى عدة لوغاريتمات.
- التجميع يطبقها من اليمين إلى اليسار لدمج عدة لوغاريتمات في واحد.
- التعبيران متكافئان إذا حولت القواعد أحدهما إلى الآخر.
- اختر الصيغة الأنسب للمسألة — الحل عادةً ما يريد لوغاريتمًا واحداً.
حدد جميع قوانين اللوغاريتم الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
لا توجد قاعدة لـ $\log(x+y)$ — تنطبق القوانين على الضرب والقسمة والقوة، وليس الجمع. الثلاثة الأخرى صحيحة.
لا توجد قاعدة لوغاريتم المجموع: $\log(x + y)$ لا يساوي $\log x + \log y$. تنطبق القوانين فقط على المضروب والكسرة والقوى داخل اللوغاريتم. فصل المجموع هو أحد أكثر أخطاء اللوغاريتم شيوعاً.
اجمع $2\log x + \log y - \log z$ في لوغاريتم واحد.
- قاعدة القوة: $2\log x = \log x^2$.
- ضرب ثم قسمة: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- لوغاريتم واحد نظيف، جاهز للحل أو الحساب.
تُشابه قواعد اللوغاريتم قواعد الأسس: قاعدة الجداء تحوّل الضرب إلى مجموع، وقاعدة القسمة تحوّل القسمة إلى فرق، وقاعدة الأس تعمل كعامل ضرب. صيغة تغيير الأساس تُحسب أي لوغاريتم باستخدام الآلة الحاسبة، وتُظهر القواعد متى تكون الصيغتان متكافئتين — لكن لا تقسم $\log(x+y)$ أبدًا.