معادلات أسية ولوغاريتمية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة أسية |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | معادلة لوغاريتمية |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | جذر زائد |
إيجاد أس مخفي
- "$2$ مرفوعاً إلى أي أس يساوي $5$؟" هي معادلة يكون فيها المجهول في الأس.
- لا يمكنك قسمة المتغير ببساطة — لأنه محبوس داخل قوة.
- اللوغاريتمات هي الأداة التي تطلقه سراحاً، والصيغة الأسية تُحرر المعادلات اللوغاريتمية.
- بين هذين الخطوتين، يمكنك حل معظم المعادلات الأسية أو اللوغاريتمية.
حل المعادلات الأسية
- المعادلة الأسية تحتوي على المتغير في الأس، مثل $2^x = 8$.
- إذا كان بإمكان الطرفين مشاركة أساس مشترك، فطابقهما: $2^x = 2^3$ يؤدي إلى $x = 3$.
- إذا لم تتطابق الأساسات، خذ لوغاريتم لكلا الطرفين.
- بعد ذلك تجلب قاعدة الأس الأس للأسفل لتتمكن من حله.
إيجاد حيث يصل الأس إلى قيمة مستهدفة
y = 2ˣ
حل 2ˣ = 5 يعني إيجاد x حيث يصطدم هذا المنحنى بارتفاع 5. يعطي اللوغاريتم ذلك x بدقة.
حل $2^x = 8$ عن طريق مطابقة الأساسات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$8 = 2^3$، لذا $2^x = 2^3$ يعطي $x = 3$ — الأساسات المتساوية تعني أسسًا متساوية.
لحل $2^x = 5$، حيث لن تتطابق الأساسات، يجب عليك…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
أخذ $\log$ للطرفين يُنزل الأس: $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
حل المعادلات اللوغاريتمية
- المعادلة اللوغاريتمية تحتوي على المتغير داخل اللوغاريتم، مثل $\log_2 x = 4$.
- أعد كتابتها بالصيغة الأسية: $\log_2 x = 4$ تعني $x = 2^4 = 16$.
- إذا ظهرت عدة لوغاريتمات، ادمجها في واحد أولاً، ثم حولها.
- الصيغة الأسية هي المفتاح الرئيسي لأي معادلة لوغاريتمية بوحيدة.
حل المعادلة اللوغاريتمية $\log_2 x = 4$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
أعد الكتابة في الصورة الأسية: $x = 2^4 = 16$.
التحقق من الحلول الزائدة
- قد ينتج عن الحل مرشحاً يكسر مجال معادلة الأصل.
- اللوغاريتم يحتاج دالة موجبة، لذا تُرفض أي حل يعطي $\log(\text{negative})$.
- يُسمى هذا الجواب الخاطئ حلاً زائداً (extraneous).
- دائماً عوّض مرة أخرى وتأكد من بقاء كل دالة موجبة.
يجب رفض مرشح الحل الذي يجعل حجة اللوغاريتم سالبة باعتباره ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحل الزائد يحقق المعادلة المعاد ترتيبها لكن يكسر المجال الأصلي — تحقق دائمًا.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول حل هذه المعادلات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
بعض المرشحين زائدة ويجب رفضها. الثلاث الأخرى استراتيجيات سليمة.
المتباينات
- الدوال الأسية واللوغاريتمية أحادية: إما متزايدة دائماً أو متناقصة دائماً.
- لذلك تُحل متباينة مثل $2^x > 8$ بنفس الطريقة مع الحفاظ على الاتجاه: $x > 3$.
- بالنسبة لأساس متناقص ($0 < b < 1$)، تنعكس إشارة المتباينة.
- احل كمعادلة أولاً، ثم حدد أي جانب من الحد يحقق المتباينة.
لا تنسَ أبداً التحقق من إجابات معادلات اللوغاريتم. حل $\log(x) + \log(x-3) = 1$ قد يمنحك $x = 5$ و $x = -2$، لكن $x = -2$ يجعل $\log(-2)$ غير معرف — إنه زائد ويجب استبعاده.
حل $2^x = 5$.
- لن تتطابق الأساسات، لذا خذ $\log_2$ لكلا الطرفين.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$، ويختصر الطرف الأيسر إلى $x$.
- إذن $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — وهو الأس الذي كشفه اللوغاريتم.
حل معادلة أسية بمطابقة الأساسات، أو بأخذ لوغاريتم لجلب الأس للأسفل. حل معادلة لوغاريتمية بإعادة كتابتها بالصيغة الأسية. تحقق دائماً من الحلول الزائدة، لأن دالة اللوغاريتم يجب أن تبقى موجبة.