الدوال اللوغاريتمية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | دالة لوغاريتمية |
| base/beɪs/ | القاعدة |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب العمودي |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | سلوك الأطراف |
المنحنى البطيء والمستقر
- الدالة الأسية تصعد بقوة؛ ومرآتها، اللوغاريتم، تفعل العكس.
- يرتفع اللوغاريتم إلى ما لا نهاية لكنه ببطء متزايد، دون أن يستوي تمامًا.
- يتمسك بالمحور الصادي على اليسار ويتسلق ببطء على اليمين.
- هذا الشكل الناعم يُصوّر شدة الصوت، الحموضة، و"إحساس" الأرقام الكبيرة.
منحنى اللوغاريتم
- الدالة اللوغاريتمية هي $f(x) = \log_b x$، عكس $b^x$.
- يمر منحناها بنقطة $(1, 0)$، لأن $\log_b 1 = 0$ لكل أساس.
- على يمين $1$ تكون قيمته موجبة؛ بين $0$ و$1$ تكون سالبة.
- اقرأ الشكل انعكاسًا للدالة الأسية عبر $y = x$.
تشكيل المنحنى اللوغاريتمي
y = a·log(x − b) + c
هذا المنحنى اللوغاريتمي يرتفع ببطء ويتشبث بمحور y. يوجد فقط عندما تكون x أكبر من مقاربه العمودي.
المجال والأفق العمودي
- المجال هو $x > 0$ — لا يمكنك حساب لوغاريتم للصفر أو لقيمة سالبة.
- عندما تقترب $x \to 0^+$، ينهار المخرج نحو $-\infty$: وهو أفق عمودي عند $x = 0$.
- المنحنى لا يلمس المحور الصادي أبدًا، بل يقترب منه أكثر فأكثر.
- أما مداؤه، فكل الأعداد الحقيقية.
مجال $f(x) = \log_b x$ هو…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لا يمكنك أخذ لوغاريتم إلا لعدد موجب، لذا فإن المجال هو $x > 0$.
للدالة اللوغاريتمية ____ تقارب عند $x = 0$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عندما $x \to 0^+$ ينخفض المخرج إلى $-\infty$، لذا فإن $x = 0$ هو تقارب عمودي.
يقطع منحنى $y = \log_b x$ محور x عند…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بما أن $b^0 = 1$، فإننا نحصل على $\log_b 1 = 0$: نقطة التقاطع مع محور x تكون دائمًا عند $x = 1$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول $y = \log_b x$ (مع $b > 1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ترتفع بلا حدود، لذا ليس لها قيمة قصوى. الثلاثة أخرى صحيحة.
الأساس يحدد الاتجاه
- إذا كان الأساس $b > 1$، فإن دالة اللوغاريتم متزايدة (ترتفع ببطء).
- إذا كانت $0 < b < 1$، فتكون متناقصة بدلاً من ذلك.
- كلما زاد الأساس، انخفض المنحنى بشكل أبطأ.
- بغض النظر عن الأساس، لا يزال المنحنى يمر عبر $(1, 0)$ وله نفس الأفق العمودي.
تستمر الدالة اللوغاريتمية في الزيادة إلى ما لا نهاية، ولكن بشكل متباطئ increasingly.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ترتفع بلا حدود عندما $x \to \infty$، ومع ذلك يفلط ميلها — وهو عكس التسارع الأسي.
سلوك النهاية: غير محدود لكن بطيء
- عندما تقترب $x \to \infty$، يكون سلوك النهاية $\log_b x \to \infty$ — لا يستوي أبدًا.
- لكنه ينمو ببطء شديد لدرجة أن الوصول إلى $y = 10$ قد يستغرق وقتًا هائلاً $x$.
- مقارنة مع انفجار الدالة الأسية، لا يكاد اللوغاريتم يتحرك.
- هذا هو بالضبط سبب استخدام اللوغاريتمات لـضغط نطاقات الأرقام الضخمة.
النمو البطيء للوغاريتم ليس نفسه "امتلاك سقف". إنه يستمر في الارتفاع إلى ما لا نهاية — لا يوجد أفق أفقي ولا حد أقصى. هو فقط يأخذ وقتًا أطول وأطول للتسلق وحدة إضافية واحدة.
صف $y = \log_2 x$ عند نقاط معينة.
- $\log_2 1 = 0$ (نقطتي التقاطع مع محور السينات)، $\log_2 2 = 1$، $\log_2 4 = 2$، $\log_2 8 = 3$.
- لكل $+1$ في المخرج، يجب أن يتضاعف المدخل — النمو يتباطأ.
- بالقرب من $x = 0$ ينزلق المنحنى للأسفل عبر الأفق العمودي نحو $-\infty$.
الدالة اللوغاريتمية $\log_b x$ لها مجال $x > 0$، وأفق عمودي عند $x = 0$، وتمر عبر $(1, 0)$. الأساس يحدد التزايد مقابل التناقص، وسلوك النهاية هو نمو غير محدود لكن متباطئ دائمًا — مرآة الدالة الأسية.