عكس الدوال الأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | معكوس |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | دالة لوغاريتمية |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب العمودي |
التوأم المنعكس للدالة الأسية
- لكل دالة أسية شريك يشغلها بالعكس.
- حيث يحول $2^x$ الأس إلى قيمة، يحول شريكه القيمة عائدة إلى الأس.
- ذلك الشريك هو اللوغاريتم — وهيكياً هو صورة مرآة مثالية.
- فهم الزوج معاً يجعل كليهما أسهل بكثير.
اللوغاريتم هو عكس الدالة الأسية
- الدالة اللوغاريتمية $\log_b x$ هي العكس للدالة الأسية $b^x$.
- تشتركان في نفس القاعدة وتلغي كل منهما عمل الآخر.
- $b^x$ تأخذ الأس إلى قيمة؛ $\log_b x$ تأخذ القيمة عائدة إلى الأس.
- لذلك اللوغاريتمات والأسيات هما وجهان لعلاقة واحدة.
الدالة اللوغاريتمية $\log_b x$ هي ____ للدالة الأسية $b^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يلغي كل منهما الآخر، لذا الدالة اللوغاريتمية هي العكس للدالة الأسية بنفس الأساس.
الانعكاس عبر y = x
- نظراً因为它们它们是反函数，它们的图像是关于直线 $y = x$ 的镜像。
- الدالة الأسية المتصاعدة تصبح لوغاريتمية متزايدة ببطء، والعكس صحيح.
- كل نقطة $(a, b)$ على $b^x$ تقابلها نقطة $(b, a)$ على $\log_b x$.
- برؤية رسم بياني واحد، يمكنك رسم الآخر عن طريق قلبه عبر $y = x$.
المنحنى الأسي الذي صورته المرآة هي اللوغاريتمية
y = 2ˣ
تخيل عكس هذا المنحنى y = 2ˣ عبر الخط y = x. الصورة المرآة هي منحنى y = log₂ x.
المجال والمدى والأفق المقابضان
- الدوال العكسية تبدل المجال والمدى. مدى الدالة الأسية $y > 0$ يصبح المجال للوغاريتم $x > 0$.
- الأفق الأفقى للدالة الأسية $y = 0$ يصبح الأفق الرأسي للوغاريتم $x = 0$.
- مدى اللوغاريتم هو جميع الأعداد الحقيقية — يمكن أن يكون أي أس.
- لذلك دالة اللوغاريتم موجودة فقط للمدخلات الموجبة، وتلتصق بمحور y من اليسار.
للدالة الأسية مقارب أفقي؛ عكسها، اللوغاريتم، له ____ مقارب بدلاً منه.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عند الانعكاس عبر $y=x$، تتحول الخط الأفقي المقارب $y=0$ إلى الخط الرأسي المقارب $x=0$.
مجال $\log_b x$ هو $x > 0$، والذي كان مدى الدالة الأسية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العكس يبدل المجال والمدى: مدى الأسية ($y>0$) يصبح مجال اللوغاريتم ($x>0$).
حدد كل العبارات الصحيحة حول الدالة الأسية وعكسها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
هما عكسان، وليسا نفس الدالة. الخيارات الثلاثة الأخرى تصف العلاقة بشكل صحيح.
يلغي بعضه البعض
- تركيب دالة مع عكستها يلغي العمل: $\log_b(b^x) = x$ و$b^{\log_b x} = x$.
- لذلك $\log_2(2^7) = 7$ و$10^{\log_{10} 5} = 5$.
- هذا الإلغاء هو بالضبط كيف تحل اللوغاريتمات المعادلات التي يكون فيها المتغير في الأس.
- طبق اللوغاريتم على كلا الطرفين، وينزل الأس إلى حيث يمكنك الوصول إليه.
ما هو $\log_2\!\left(2^5\right)$؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اللوغاريتم يلغي الأس: $\log_2(2^5) = 5$. الدوال العكسية تلغي بعضها.
الدالة الأسية تقبل أي إدخال حقيقي لكن تخرج فقط قيمًا موجبة؛ واللوغاريتم هو المرآة — يقبل فقط مدخلات موجبة لكن يخرج أي قيمة حقيقية. لا تعطِ اللوغاريتم صفرًا أو حجة سالبة، ولا تتوقع أن تُخرج الدالة الأسية إحداهما أبدًا.
استخدم العلاقة العكسية لحل $10^x = 1000$.
- خذ $\log_{10}$ لكلا الطرفين: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- يتلاشى الجانب الأيسر ليصبح $x$؛ والجانب الأيمن هو $3$ (لأن $10^3 = 1000$).
- إذن $x = 3$ — فاللوغاريتم ألغى عمل الدالة الأسية.
الدالة اللوغاريتمية هي العكس للدالة الأسية ذات نفس الأساس: منحنيهما يعكسان بعضهما عبر $y = x$. يتبادل المجال والمدى، لذا للوغاريتم مجال $x > 0$ وأفق عمودي عند $x = 0$. يلغي كل منهما الآخر، وهذا هو السبب الذي يجعل اللوغاريتمات تحل المعادلات الأسية.