اللوغاريتمات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | أسّي |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | لوغاريتمي |
| base/beɪs/ | القاعدة |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | اللوغاريتم الطبيعي |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | اللوغاريتم العشري |
السؤال العكسي
- الدوال الأسية تجيب على سؤال "ابدأ من 1 واضرب في 2 خمس مرات — ماذا تحصل؟" ($2^5 = 32$).
- اللوغاريتمات تجيب على السؤال العكسي: "كم مرة يجب أن أضرب في 2 لأصل إلى 32؟" ($5$).
- هذا السؤال العكسي يظهر في كل مكان: درجة الحموضة (pH)، الزلازل، الديسيبل، الفائدة المركبة.
- اللوغاريتم هو ببساطة الأس الذي تم سحبه للخارج.
اللوغاريتم هو أس
- اللوغاريتم يجيب: إلى أي قوة يجب رفع القاعدة للحصول على قيمة معينة؟
- $\log_b y = x$ يعني بالضبط $b^x = y$ — اللوغاريتم هو الأس $x$.
- لذلك $\log_2 8 = 3$ لأن $2^3 = 8$.
- قراءة اللوغاريتم كـ "الأس الذي يعمل" تجعله أقل غموضاً بكثير.
اقرأ لوغاريتماً من المنحنى الأسي
y = 2ˣ
جد قيمة y تساوي 8 على المنحنى y = 2ˣ. الـ x الذي ينتجها هو الأس — هذا هو لوغاريتم الأساس 2 للرقم 8.
عبارة $\log_b y = x$ تعني نفس…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اللوغاريتم هو الأس: $\log_b y = x$ يسأل "$b$ إلى أي قوة تعطي $y$؟"، لذا $b^x = y$.
قيّم $\log_2 8$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2^3 = 8$، لذا الأس هو $3$: $\log_2 8 = 3$.
اللوغاريتمات الشائعة والطبيعية
- قاعدتان شائعان جداً获تا اختصارات.
- اللوغاريتم الشائع $\log$ (بدون قاعدة ظاهرة) قاعدته $10$.
- اللوغاريتم الطبيعي $\ln$ قاعدته $e \approx 2.718$.
- الآلات الحاسبة تحتوي على كلا الزرين؛ القواعد الأخرى تستخدم قانون تغيير القاعدة.
ما هو الأساس المستخدم في اللوغاريتم الطبيعي $\ln$؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الـ لوغاريتم الطبيعي له أساس $e$؛ الـ لوغاريتم الشائع ($\log$ بدون كتابة أساس) له أساس $10$.
حدد كل العبارات الصحيحة حول اللوغاريتمات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
حجة اللوغاريتم يجب أن تكون موجبة، لذا لا يمكنك أخذ لوغاريتم رقم سالب. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
التحويل بين الصيغتين
- كل عبارة أسية لها مقابلة لوغاريتمية.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — نفس الحقيقة مكتوبة بطريقتين.
- أعد كتابة $10^3 = 1000$ على شكل $\log_{10} 1000 = 3$.
- التبديل بين الصيغتين هو المفتاح لحل المعادلات ذات الأس غير المعروف.
يجب أن يكون الوسيط موجباً
- لا يمكنك أخذ لوغاريتم إلا لعدد موجب.
- قاعدة موجوبة مرفوعة لأي قوة تظل موجبة، لذا $b^x$ لا تصل أبداً إلى $0$ أو قيمة سالبة.
- لذلك $\log_b y$ غير معرفة لـ $y \le 0$.
- هذا القيد يحدد مجال كل دالة لوغاريتمية.
يجب أن يكون الحجة (المدخل) للوغاريتم ____, لأن الأساس الموجوب لأي قوة يبقى موجباً.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بما أن $b^x > 0$ دائماً موجبة، فلا يمكن لأي أس أن ينتج صفراً أو رقماً سالباً — لذا $\log_b y$ تحتاج $y > 0$.
$\log_b y$ هي الأس، وليست ضرباً. $\log_2 8$ هي $3$ (القوة)، ليست $2 \times 8$. ولا يمكنك أبداً أخذ لوغاريتم لـ $0$ أو عدد سالب — يجب أن يكون الوسيط موجباً تماماً.
حل $2^x = 16$ باستخدام لوغاريتم.
- أعد الكتابة بالصيغة اللوغاريتمية: $x = \log_2 16$.
- اسأل "$2$ إلى أي قوة هي $16$؟" — بما أن $2^4 = 16$، فالإجابة هي $4$.
- لذلك $x = 4$: اللوغاريتم سحب الأس إلينا.
اللوغاريتم هو أس: $\log_b y = x$ تعني $b^x = y$. اللوغاريتم الشائع يستخدم القاعدة $10$ واللوغاريتم الطبيعي يستخدم القاعدة $e$. كل عبارة أسية تتحول إلى عبارة لوغاريتمية، ويجب أن يكون وسيط اللوغاريتم دائماً موجباً.