الدوال العكسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | معكوس |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | تقابل واحد |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | انعكاس |
عكس الدالة
- كل دالة تقوم بشيء ما بمدخل؛ وعكسها يلغي هذا العمل.
- أضف 3، وعكسها يطرح 3. مضاعفها، وعكسها ينصفها.
- يعمل العكس على الآلة عكسياً، محولاً المخرجات إلى مدخلات.
- هذا "الإلغاء" هو بالضبط كيف نحل المعادلات المبنية من الدوال.
ما يفعله العكس
- عكس $f$، يُكتب $f^{-1}$، يعكس كل زوج إدخال-إخراج.
- إذا أرسل $f$ قيمة $2 \to 5$، فإن $f^{-1}$ ترسل $5 \to 2$.
- لذا يصبح مجال $f$ هو المدى لـ $f^{-1}$، والعكس صحيح.
- تركيبهما يلغي كل شيء: $f^{-1}(f(x)) = x$.
العكس للدالة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إذا $f$ ترسل $2 \to 5$، فإن $f^{-1}$ ترسل $5 \to 2$: العكس يلغي ما فعلته الدالة.
يجب أن تكون أحادية
- يوجد دالة عكسة فقط إذا كانت $f$ أحادية (one-to-one).
- الأحادية تعني أن كل مخرج يأتي من مدخل واحد بالضبط.
- إذا شارك مدخلان مخرجًا، فإن العودة للخلف تصبح غامضة — لا يوجد عكس واحد.
- اختبار الخط الأفقي يتحقق من ذلك: لا boleh أن يقطع خط أفقي الرسم البياني مرتين.
عكس خطاً عبر y = x لرؤية عكسه
y = ax + b
هذا الخط هو f(x) = 2x + 1. عكسه يبدل x و y، مما يعطي الصورة المرآة عبر الخط y = x.
للدالة عكسي فقط إذا كانت ____ (كل مخرج يأتي من مدخل واحد بالضبط).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إذا شارك مدخلان مخرجاً، فإن الخريطة العكسية غير واضحة — لذا فقط الدالة واحدة لواحد قابلة للعكس.
إيجاد قاعدة العكس
- اكتب $y = f(x)$، ثم بدّل $x$ و$y$.
- الآن حل المعادلة الجديدة بالنسبة لـ $y$ — ذلك التعبير هو $f^{-1}(x)$.
- بالنسبة لـ $f(x) = 2x + 1$: استبدل بـ $x = 2y + 1$، ثم حل → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- عملية الاستبدال تعكس أدوار المدخل والمخرج، وهذا هو جوهر الفكرة.
لعثور على قاعدة $f^{-1}$، أنت…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تبديل $x$ و$y$ يعكس أدوار المدخل والمخرج؛ الحل من أجل $y$ يعطي قاعدة العكس.
حدد كل العبارات الصحيحة حول الدوال العكسية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ليس كل دالة قابلة للعكس — يجب أن تكون واحدة لواحد أولاً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
الانعكاس عبر y = x
- استبدال $(a,b)$ بـ $(b,a)$ يعكس كل نقطة عبر الخط $y = x$.
- إذن الرسم البياني لـ $f^{-1}$ هو الانعكاس للرسم البياني لـ $f$ في ذلك الخط.
- حيثما يتقاطع $f$ مع محور y، يتقاطع $f^{-1}$ مع محور x، وهكذا.
- يمكنك التحقق من الدالة العكسية بفحص $f(f^{-1}(x)) = x$.
منحنى $f^{-1}$ هو انعكاس لمنحنى $f$ عبر الخط $y = x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تبديل كل $(a,b)$ بـ $(b,a)$ يعكس المنحنى بالكامل عبر $y = x$.
التعبير $f^{-1}$ يعني الدالة العكسية، وليس المقلوب $\dfrac{1}{f}$. على الرغم من وجود "$-1$"، إلا أن $f^{-1}(x)$ لا يساوي أبداً $\dfrac{1}{f(x)}$ — بل هي الدالة التي تلغي عمل $f$.
أوجد الدالة العكسية لـ $f(x) = 3x - 6$.
- اكتب $y = 3x - 6$، ثم قم بالاستبدال: $x = 3y - 6$.
- حل بالنسبة لـ $y$: $x + 6 = 3y$، إذن $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- تحقق: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — إنها تلغي $f$. ✓
الدالة العكسية $f^{-1}$ تعكس كل زوج مدخل-مخرج، لذا فهي تلغي عمل $f$. توجد فقط عندما تكون $f$ دالة واحد لواحد. أوجدها عن طريق تبديل $x$ و$y$ والحل؛ رسمها البياني هو انعكاس لـ $f$ عبر الخط $y = x$.