تركيب الدوال
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | تركيب |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | دالة مركبة |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
الدوال في سلسلة
- أدخل رقمًا في دالة واحدة، ثم أدخل إجابتها في دالة ثانية.
- الآلتان تعملان بالتتابع: مخرج الأولى يصبح مدخل الثانية.
- يسمى هذا التسلسل بالتركيب، وهو يبني دوال معقدة من دوال بسيطة.
- هذه هي الطريقة التي تعمل بها حسابات مثل "تحويل ثم تقريب" أو "خصم ثم ضريبة" فعليًا.
الدالة المركبة
- تُكتب الدالة المركبة على الشكل $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- اقرأها من الداخل للخارج: طبق $g$ أولاً، ثم طبق $f$ على النتيجة.
- يقوم التركيب بنقل مخرج $g$ مباشرة إلى $f$ كمدخل لها.
- لذا فإن $g$ هي الدالة الداخلية و$f$ هي الدالة الخارجية.
تمرير مدخل عبر دالتين متتاليتين
المضي قدمًا في خط الإنتاج — مخرجات g تُنقل مباشرة إلى f.
في التركيب $(f \circ g)(x) = f(g(x))$، أي دالة تعمل أولاً؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العمل من الداخل إلى الخارج: $g$ تعمل على $x$ أولاً، ثم $f$ تعمل على النتيجة $g(x)$.
تقييم التركيب
- اعمل دائمًا من الداخل إلى الخارج.
- لإيجاد $f(g(2))$، احسب أولاً $g(2)$، ثم أدخل هذا الرقم في $f$.
- مع $g(x)=x+1$ و$f(x)=x^2$: احسب $g(2)=3$، ثم $f(3)=9$.
- يمكنك أيضًا تركيب الصيغ للحصول على قاعدة واحدة للسلسلة بأكملها.
إذا $g(x) = x + 1$ ترسل $f(x) = x^2$، فما هي $f(g(2))$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الداخلية أولاً: $g(2) = 3$. ثم الخارجية: $f(3) = 3^2 = 9$.
مجال التركيب
- الدالة المركبة معرفة فقط حيث تعمل السلسلة فعليًا.
- القيمة $g(x)$ يجب أن تكون مدخلاً قانونيًا لـ $f$ — يجب أن تقع في مجال $f$.
- إذا أنتجت $g$ رقمًا لا يمكن لـ $f$ قبوله، يتم استبعاد ذلك $x$.
- لذا قد يكون مجال الدالة المركبة أصغر من مجال $g$ بمفردها.
لكي يكون $g(x)$ قابلاً للاستخدام داخل $f$، يجب أن تقع القيمة $g(x)$ في ____ $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدالة المركبة معرّفة فقط حيث $g(x)$ مدخل合法 لـ $f$ — داخل مجال $f$.
حدد كل العبارات الصحيحة حول التركيب.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الترتيب عادةً يهم — التركيب ليس تبديلياً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
الترتيب مهم
- التركيب بشكل عام ليس تبديليًا: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "ارتداء الجوارب ثم الأحذية" ليس مثل "الأحذية ثم الجوارب".
- مع $f(x)=x^2$، $g(x)=x+1$: نحصل على $f(g(x))=(x+1)^2$ لكننا لا نحصل على $g(f(x))=x^2+1$.
- احترم دائمًا أي دالة هي داخلية وأيها خارجية.
التركيب تبديلي: $f(g(x))$ يساوي دائماً $g(f(x))$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الترتيب مهم. مع $f(x)=x^2$ و$g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ لكن $g(f(x))=x^2+1$ — مختلف.
لا تخلط بين $f(g(x))$ و$f(x)\cdot g(x)$. التركيب يغذي دالة داخل أخرى؛ إنه ليس ضربًا. ونادرًا ما يكون تبديليًا، لذا تغيير الترتيب عادة ما يغير النتيجة.
ليكن $g(x) = \sqrt{x}$ و$f(x) = x + 3$. أوجد $(f \circ g)(x)$ ومجالها.
- الداخلية أولاً: $g(x) = \sqrt{x}$، ثم الخارجية: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- الجذر التربيعي يتطلب $x \ge 0$، لذا المجال هو $x \ge 0$.
- على الرغم من أن $f$ بمفردها تقبل جميع الأعداد الحقيقية، إلا أن الدالة الداخلية $g$ تقيد الدالة المركبة.
الدالة المركبة $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ تربط دالتين: الدالة الداخلية $g$ تعمل أولاً، ثم $f$. قم بالتقييم من الداخل إلى الخارج، وتذكر أن مجالها يتطلب أن يكون $g(x)$ مدخلاً قانونيًا لـ $f$. التركيب بشكل عام ليس تبديليًا — الترتيب مهم.