الدوال الأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| base/beɪs/ | القاعدة |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | دالة أسية |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | النمو الأسي |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | التناقص الأسي |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب الأفقي |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | القيمة الابتدائية |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
الدالة الأسية لها الصيغة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتغير يقع في الأس فوق قاعدة ثابتة $b$ — وهذا ما يجعلها أسية، وليس كثيرة حدود.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
عبر القاعدة لتجاوز 1 للتبديل بين النمو والتلاشي
y = a·bˣ
احتفظ بـ b فوق 1 للنمو؛ قلل b تحت 1 للتلاشي. لاحظ أن المنحنى لا يلمس قط x أبداً — هذا هو مقاربه.
بالنسبة لـ $f(x) = a\,b^x$ مع $a > 0$، تظهر الدالة تلاشياً عندما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القاعدة بين $0$ و $1$ تُصغّر الناتج في كل خطوة — التلاشي الأسي. والقاعدة فوق $1$ تنميه.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
رسم الدالة $f(x) = a\,b^x$ له ____ أفقي عند $y = 0$ لا يعبره أبداً.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يمكن أن يقترب الناتج من $0$ إلى أي حد، لكنه لا يصل إليه، مما يعطي المقارب الأفقي $y = 0$.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول $f(x) = a\,b^x$ (مع $a>0,\ b>1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مع $a > 0$ يكون الناتج دائماً موجباً، لذلك لا يسير سلبياً. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
في $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$، ماذا يمثل $500$؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عند $t = 0$، $1.08^0 = 1$، لذا $P = 500$: المعامل $a$ هو القيمة الابتدائية، و $1.08$ هي القاعدة (نمو 8%).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0<b<1$); the domain is all reals, the range is $y>0$, and there is a horizontal asymptote at $y=0$. The coefficient $a$ is the initial value.