التعامل مع التعبيرات الأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قانون القسمة |
| base/beɪs/ | القاعدة |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قانون الضرب |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | قانون القوة |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | مكافئ |
قواعد دمج القوى
- بمجرد أن يعيش المتغير في الأس، مجموعة صغيرة من القواعد تسمح لك بإعادة ترتيب أي شيء.
- اضرب القوى، وقسمها، وارفع قوة لقوة — لكل منها طريقة مختصرة.
- هذه الطرق المختصرة تحول التعبيرات المخيفة إلى بسيطة.
- كما تسمح لك بإعادة كتابة الدالة الأسية في شكل أكثر فائدة.
قواعد الضرب والقسمة
- ضرب قوى لنفس الـ أساس يجمع الأسس: قاعدة الجداء $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- عند قسمتها يُطرح الأسس: قاعدة القسمة $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- يجب أن تكون الأساسات متساوية لتطبيق أي من القاعدتين.
- تتوافق هذه مع الحدس: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
كل خطوة إلى اليمين تضرب في القاعدة
y = a·bˣ
اقرأ قيمة y عند x = 1, 2, 3. كل منها هو القاعدة مضروبة في التي قبلها — ولهذا bˣ⁺¹ = bˣ · b.
ينص قانون الضرب للأسس على $b^m \cdot b^n =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ضرب قوى لنفس القاعدة يجمع الأسس: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
ينص قانون القسمة على $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
قسمة قوى لنفس القاعدة يطرح الأسس — عكس قانون الضرب.
قاعدة القوة
- عند رفع قوة إلى قوة أخرى يُضرب الأسس: قاعدة القوة $(b^m)^n = b^{mn}$.
- لذا $(2^3)^2 = 2^6 = 64$، مما يطابق $8^2 = 64$.
- كل خطوة وحدة واحدة لليمين على الرسم البياني تضرب الناتج في الأساس.
- تفسر هذه القواعد مجتمعة لماذا تنمو الدوال الأسية بهذا الشكل.
ينص قانون القوة على $(b^m)^n =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
رفع قوة لقوة يضرب الأسس: $(b^m)^n = b^{mn}$.
إزاحة الأس
- إزاحة في الأس تصبح ضرباً ثابتاً: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- لذا $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — تحريك الرسم البياني لليسار هو نفسه تكبيره.
- يربط هذا بين تحويلات الدوال الأسية وقواعد الأسس.
- التمدد العمودي والإزاحة الأفقية يمكن أن يكونا نفس الدالة الأسية بشكل مخفي.
باستخدام $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$، يمكننا إعادة كتابة $2^{x+3}$ كـ $2^x$ مضروباً في ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — انزياح في الأس يصبح مضاعفاً ثابتاً.
تغيير الأساس
- يمكن إعادة كتابة أي دالة أسية بأساس مختلف إذا كان ذلك مفيداً.
- على سبيل المثال $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — نفس الدالة، أساس $2$ بدلاً من $4$.
- إعادة الكتابة لأساس مشترك تظهر أن دالتين أسيتين متكافئتان.
- اختر الأساس الذي يجعل المقارنة أو الحساب أسهل.
حدد جميع قواعد الأسس الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
لا يمكنك دمج $b^m + b^n$ في قوة واحدة — تنطبق القواعد على الضرب والقسمة، وليس الجمع. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
تطبق القواعد على الضرب والقسمة للأسس، ولا تطبق أبداً على جمعهما. $b^m + b^n$ لا تبسط إلى $b^{m+n}$ — هذا خطأ شائع. لا يمكنك دمج الأسس إلا عندما تُضرب أو تُقسم القوى.
بسط $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- قاعدة القسمة: اطرح الأسس → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- لذا يساوي التعبير بأكمله $2^3 = 8$، وهو ثابت.
- يتلاشى $2^x$ لأن كلا الحدين يشتركان في الأساس $2$.
تسمح لك قواعد الأسس بإعادة ترتيب قوى نفس الأساس: قاعدة الضرب تجمع الأسس، وقاعدة القسمة تطرحها، وقاعدة القوة تضربها. الإزاحة $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ تتحول إلى مضروب، وإعادة الكتابة لأساس مشترك تظهر أن تعبيرين متكافئان.