الدوال الكسرية والثقوب
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| hole/həʊl/ | الثقب |
| factor/ˈfæktə/ | العامل |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | البسط |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | المقام |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | انقطاع قابل للإزالة |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
نقطة مفردة واحدة
- تتشوه معظم الرسوم البيانية الكسرية بشكل دراماتيكي عند المقاربات الرأسية.
- لكن أحيانًا ما يكون الرسم البياني خطًا مستقيمًا أو منحنى عاديًا تمامًا — مع استثناء نقطة واحدة فقط.
- يُسمى هذا الفجوة الصغيرة "ثقبًا"، ومن السهل تفويتها.
- تظهر لسبب جبري محدد جدًا.
أصل الثقب
- يظهر الثقب عندما يختصر عامل من كلا البسط والمقام.
- خذ $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: يتم اختصار $(x-1)$، تاركًا $x+2$.
- الرسم البياني المبسط هو الخط السلس $y = x + 2$.
- لكن عند $x = 1$، كانت الكسر الأصلي $\frac{0}{0}$ — غير معرف — لذا توجد نقطة مفقودة.
يظهر ثقب في المنحنى الكسري حيث…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يعمل عامل مشترك في الأعلى والأسفل، لذا يصبح المنحنى المبسط سلساً — لكن القيمة الأصلية تظل مستبعدة، تاركةً ثقباً.
الثقب مقابل المقارب الرأسي
- كلاهما ينشأ من صفر في المقام، لكنهما يتصرفان بعكس بعضهما البعض.
- يختصر مع البسط → انقطاع قابل للإزالة: ثقب.
- لا يختصر → مقارب رأسي يتجه فيه الرسم البياني للأعلى.
- لذلك يجب دائمًا تحليل المعادلة وتبسيطها أولاً، ثم رؤية أي الأصفار تختصر.
الدالة المبسطة هي مجرد خط — مع إزالة نقطة واحدة
y = ax + b
هذا هو الشكل المبسط لـ (x²−1)/(x−1). المنحنى هو الخط y = x + 1، لكن الدالة الحقيقية تحتوي على ثقب عند x = 1 حيث كانت الدالة الأصلية غير معرفة.
ما الذي يميز الثقب عن التقارب العمودي؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عامل مختصر → ثقب قابل للإزالة؛ صفر مقام يبقى → تقارب عمودي حيث تنفجر القيم.
لعثور إحداثيات الثقب، قم باختصار العامل المشترك، ثم قِم بتقييم الدالة ____ عند القيمة المستبعدة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تعطيك الدالة المبسطة قيمة y التي سيكون لها المنحنى هناك — هذه هي ارتفاع الثقب.
إيجاد إحداثيات الثقب
- اختصر العامل المشترك للحصول على الدالة المبسطة.
- عوض بقيمة x المستبعدة في تلك الدالة المبسطة لتحصل على قيمة y.
- بالنسبة لـ $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ عند $x = 1$: المبسط هو $x+2$، مما يعطي $y = 3$.
- إذن يقع الثقب عند $(1, 3)$ — النقطة التي "كان" يجب أن يمر بها الرسم البياني.
حتى بعد اختصار العامل، تظل قيمة x الخاصة بالثقب مستبعدة من المجال.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لم تكن الدالة الأصلية معرّفة هناك أبداً، لذا فإن الاختصار في الجبر لا يعيد النقطة — المجال لا يزال يحتوي على فجوة.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول الثقب.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الثقب لا يرسل الدالة إلى ما لا نهاية — هذا هو التقارب. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
لا يزال مستبعداً من المجال
- الاختصار عملية جبرية؛ لا يستعيد المدخل المفقود.
- كانت الدالة الأصلية غير معرفة عند هذه الـx، لذا تظل خارج المجال.
- الصيغة المبسطة تتفق مع الأصلية في كل مكان باستثناء تلك النقطة الواحدة.
- هذا بالضبط ما تعنيه كلمة "قابل للإزالة": يمكنك سد الفجوة المفردة، لكنها كانت موجودة بالفعل.
تبسيط $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ إلى $x+2$ صالح فقط لـ $x \neq 1$. لا تقم أبداً بإزالة القيد — التعبيران متساويان في كل مكان باستثناء الثقب، ونسيان ذلك يعني فقدان نقطة من المجال.
حدد أي ثقب موجود في $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- حلل الجزء العلوي: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$، واختصر $(x-2)$ ← المبسط $x + 2$.
- القيمة المستبعدة $x = 2$؛ القيمة المبسطة هناك هي $2 + 2 = 4$.
- لذا يوجد ثقب عند $(2, 4)$، ولا يوجد مقارب رأسي.
الثقب هو انقطاع قابل للإزالة: عامل يختصر من البسط والمقام. أوجد عن طريق التبسيط والتقييم عند قيمة x المستبعدة. تظل x خارج المجال — الاختصار يصلح الرسم البياني لكنه لا يعيد النقطة أبدًا.