الدوال الكسرية والمقاربات الرأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | المقام |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب العمودي |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | البسط |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | التكرار |
القسمة على شيء قريب من الصفر
- جرب $1 \div 0.1 = 10$، ثم $1 \div 0.01 = 100$، ثم $1 \div 0.001 = 1000$.
- كلما اقترب المقام من الصفر، ينهار الناتج نحو ما لا نهاية.
- تفعل الدالة الكسرية ذلك بالضبط بالقرب من مدخل يصفر مقامها.
- يرتد المنحنى لأعلى أو لأسفل على طول خط رأسي غير مرئي.
حيث يصفر المقام
- الخط المقارب الرأسي هو خط رأسي يسير عليه المنحنى بسرعة دون أن يقطعه أبداً.
- يقع عند كل مدخل يجعل المقام صفراً.
- هناك تكون الدالة غير معرفة، وتتنمو القيم المجاورة بلا حدود.
- لذا لإيجاد خطوط المقارب الرأسية، اجعل المقام مساوياً للصفر وحل.
يحدث مقارب رأسي للدالة الكسرية حيث…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القسمة على عدد يتجه نحو $0$ تجعل القيمة تنفجر — لذا فإن صفر المقام (غير المختزل) يعطي مقارباً رأسياً.
...إلا إذا اختصر العامل
- إذا كان المدخل يصفر البسط أيضاً، يختصر العامل المشترك.
- حينئذٍ يكون ذلك المدخل ثقباً، وليس مقارباً.
- لذا يحتاج الخط المقارب الرأصي إلى صفر في المقام يبقى بعد الاختصار.
- قم بالاختصار أولاً، ثم اقرأ أصفار المقام المتبقية.
حرك المقارب الرأسي يميناً ويساراً
y = a/(x − b) + c
غيّر b وتحرك الانقطاع الرأسي إلى x = b — المدخل الدقيق الذي يجعل المقام صفراً.
إذا كانت القيمة تجعل كلاً من البسط والمقام صفراً، فقد يكون هناك ثقب بدلاً من مقارب رأسي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يختصر عامل مشترك، مما يؤدي إلى ظهور ثقب (إزالة). يتطلب وجود تقارب عمودي أن يكون المقام صفراً ليظل موجوداً.
السلوك على كل جانب
- المقارب يصف خطاً محدوداً؛ هنا الحدود ما لا نهاية.
- يسار الخط مباشرة، $f(x) \to +\infty$ أو $-\infty$؛ يمينه مباشرة، نفس الخيار مرة أخرى.
- يُكتب بالحدود: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ و$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$، على سبيل المثال.
- التحقق من قيمة قريبة جداً على كل جانب يخبرك بأي اتجاه يذهب كل فرع.
قرب التقارب العمودي، ينمو حجم $f(x)$ بلا حدود نحو ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
على كل جانب $f(x) \to +\infty$ أو $-\infty$؛ يسير المنحنى صعوداً أو هبوطاً على طول التقارب.
التعددية تحدد النمط
- تعددية صفر المقام تحدد نمط الجانبين.
- تعددية فردية → يتغير الإشارة عبر الخط: جانب $+\infty$، والجانب الآخر $-\infty$.
- تعددية زوجية → الإشارة ثابتة: كلا الجانبين يذهبان في نفس الاتجاه.
- لذا $\frac{1}{x-2}$ (تعددية 1) يتباعد بعكس بعضهما، بينما $\frac{1}{(x-2)^2}$ يتجه للأعلى على كلا الجانبين.
إذا كان صفر المقام له زوجية عدد مرات التكرار، فإن جانبي التقارب…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عدد مرات التكرار الفردي يعكس الإشارة عند العبور، لذا يتباعد الجانبان في اتجاهين متعاكسين. عدد مرات التكرار الزوجي يرشد كلا الجانبين في نفس الاتجاه.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول التقاربات العمودية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
لا يقطع المنحنى قط تقاربه العمودي — بل يسير بجانبه فقط. الخيارات الثلاثة الأخرى صحيحة.
صفر المقام يكون خطاً مقارباً رأسياً فقط إذا لم يختصر مع البسط. تحقق من العوامل المشتركة أولاً — وإلا سترسم مقارباً حيث يوجد في الواقع مجرد ثقب.
أوجد خطوط المقارب الرأسية لـ $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- أصفار المقام: $x = 3$ و$x = -1$.
- لكن $x = -1$ يصفر البسط أيضاً، لذلك يختصر هذا العامل — ثقب، وليس مقارباً.
- only $x = 3$ is a vertical asymptote.
يوجد مقارب رأسي عند كل صفر متبقي في المقام — حيث يتجه الرسم البياني نحو $\pm\infty$. إذا اختصر عامل مع البسط، فإن هذه القيمة تكون ثقبًا بدلاً من ذلك. يحدد التكرار لـصفر المقام ما إذا كان الجانبان يتباعدان بنفس الطريقة أو بعكس بعضها البعض.