الدوال الكسرية والصفر
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الكسرية |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | الأصفار |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | البسط |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | المقام |
متى يكون الكسر صفراً؟
- فكر في $\frac{0}{5}$، $\frac{5}{5}$، و$\frac{5}{0}$: الأول فقط هو صفر.
- الكسر يساوي صفراً بالضبط عندما يكون بسطه صفراً — بشرط ألا يكون المقام صفراً أيضاً.
- الدوال الكسرية تتبع نفس القاعدة البسيطة هذه.
- لذا فإن إيجاد أصفارها يعني النظر إلى البسط فقط.
الأصفار تأتي من البسط
- الدالة الكسرية تساوي $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- أصفارها هي المدخلات التي تجعل الكلي يساوي $0$.
- يحدث هذا فقط حيث يساوي البسط $0$.
- لذا اجعل البسط مساوياً للصفر وحل — هذه هي نقاط التقاطع المحتملة مع محور x.
يكون الكسر مساوياً للصفر تماماً عندما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يكون الكسر صفراً فقط عندما يكون أعلاه صفراً (وسفله ليس صفراً). $\frac{0}{5} = 0$، لكن $\frac{5}{0}$ غير معرف.
…ولكن فقط إذا كانت مسموحة
- يُحسب المرشح كصفر فقط إذا كانت القيمة في مجال الدالة.
- إذا كانت تجعل المقام صفراً أيضاً، تكون الدالة غير معرفة هناك — لا يوجد صفر.
- لذا تحقق من كل صفر في البسط مقابل المقام قبل التصديق عليه.
أين يعبر، وأين ينقطع؟
y = a/(x − b) + c
يعبر المنحنى محور x عند صفره، لكنه ينقطع عند x = b حيث يكون المقام صفراً. هذان مكانان مختلفان.
صفر البسط هو صفر حقيقي للدالة فقط إذا كانت تلك القيمة تقع في ____ للدالة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إذا كانت القيمة تجعل كل من البسط والمقام صفراً، فهي ليست في المجال، لذا فهي ثقب وليس صفراً.
القيم المستبعدة ليست أصفاراً
- القيمة التي تجعل المقام صفراً فقط تُستبعد من المجال.
- هناك تكون الدالة غير معرفة — وتنتج خطاً مقارباً رأسياً أو ثقباً، وليس صفراً.
- لا تطلق على القيمة المستبعدة اسم تقاطع مع محور x.
- الصفر في الأعلى → صفر للدالة؛ الصفر في الأسفل → مشكلة، ليس صفراً.
القيمة التي تجعل المقام صفراً هي صفر للدالة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
صفر المقام مستبعد من المجال — الدالة غير معرفة هناك، وليست صفراً.
التحقق بالتعويض
- لتأكيد الصفر، عوض بالقيمة وتأكد أن الدالة فعلاً تعطي $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ عند $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. نعم — $x = 4$ هو صفر.
- نفس الاختبار يرفض القيمة المستبعدة، لأنك ستقوم بالقسمة على الصفر.
- التعويض هو الفحص النهائي الموثوق.
كم عدد أصفار $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
البسط يساوي صفراً عند $x = 3$ و $x = -2$؛ المقام $x^2+1$ لا يساوي صفراً أبداً، لذا كلاهما صالحان — $2$ أصفار.
حدد جميع العبارات الصحيحة حول أصفار الدالة الكسرية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
صفر المقام مستبعد، وليس تقاطعاً مع محور x. والباقي ثلاثة صحيحة.
لا تخلط بين صفر البسط (صفر حقيقي، تقاطع مع محور x) وصفر المقام (قيمة مستبعدة). هما متعاكسان: أحدهما حيث يلامس المنحنى المحور، والآخر حيث ينقطع المنحنى.
أوجد أصفار $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- مرشحات الصفر في البسط: $x = 2$ و $x = -3$.
- لكن $x = 2$ يجعل المقام صفراً أيضاً، لذا فهي مستبعدة — ثقب، ليس صفراً.
- only $x = -3$ is a real zero of the function.
الأصفار الحقيقية للدالة الكسرية هي أصفار بسطها التي تقع في المجال. القيمة التي تجعل المقام صفراً مستبعدة، وليست صفراً. تحقق دائماً من أصفار البسط مقابل المقام، وقق بالتعويض.