الدوال الكسرية وسلوك النهايات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الكسرية |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | البسط |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | المقام |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب الأفقي |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب المائل |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | المستقيم المقارب |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | القسمة المطولة لكثيرات الحدود |
صراع بين الأعلى والأسفل
- كسر مثل $\frac{2x^2}{x^2+1}$ يحتوي على كثير حدود يسحب من الأعلى وآخر من الأسفل.
- بعيدًا عن نقطة الأصل، whichever grows faster decides where the value settles (أيهما ينمو أسرع يحدد أين تستقر القيمة).
- النتيجة غالبًا خط مسطح يعانقه المنحنى لكنه لا يصل إليه تمامًا.
- قراءة ذلك الخط هي كيف تصف أطراف دالة نسبية.
ما هي الدالة النسبية
- الدالة النسبية هي قسمة كثير حدود على آخر: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- البسط هو الأعلى؛ المقام هو الأسفل.
- سلوك أطرافها هو منافسة بين الدرجتين.
- قارن القوى الأعلى للأعلى والأسفل — ذلك وحده يحدد الأطراف.
قارن الدرجات
- المقام أكبر: ينكمش الكسر نحو $0$، لذا $y = 0$ هو خط مقارب أفقي.
- درجات متساوية: تقترب الأطراف من نسبة معاملات الحد الأعلى.
- الأعلى أكبر بمقدار واحد: تتبع الأطراف خط مقارب مائل (خط مائل).
- الأعلى أكبر بأكثر: لا يوجد خط مقارب — ينمو مثل كثير حدود.
حرك المقارب الأفقي صعوداً وهبوطاً
y = a/(x − b) + c
غيّر c وسيتساوى المنحنى بأكمله عند ارتفاع جديد y = c بعيداً — هذا الخط الأفقي هو سلوك النهاية.
إذا كانت المقام من درجة أعلى من البسط، فإن سلوك النهاية يقترب من…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مقام أكبر يطغى على البسط، فيصغر الكسر نحو $0$: محور x هو مقارب أفقي.
إذا كان للبسط والمقام درجات متساوية، فإن المقارب الأفقي هو…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بالنسبة لـ $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ تقترب الأطراف من $y = 3/1 = 3$ — وهي نسبة معاملات الحد الأعلى.
الخط الأفقي أو المائل
- الخط المقارب هو خط يقترب منه المنحنى لكن never crosses far out (لا يتقاطعه أبعد من ذلك).
- نفس الدرجة → خط مقارب أفقي عند ارتفاع غير صفري؛ المقام يفوز → خط مقارب أفقي عند $y = 0$.
- درجة الأعلى أكثر بمقدار واحد من المقام → خط مقارب مائل بدلاً من أفقي.
- على أي حال، تستقر أطراف المنحنى على ذلك الخط.
عندما تكون درجة البسط أكثر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام، يكون للمنحنى مقارب ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يتبع سلوك النهاية خطاً مائلاً — وهو مقارب مائل — يكشف عنه القسمة المطولة لكثيرات الحدود.
ما هي نتائج سلوك النهاية الممكنة للدالة الكسرية؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يمكن للدالة الكسرية أن يكون لها مقارب أفقي أو مقارب مائل أو لا شيء — لكن ليس الاثنان معاً عند نفس الطرف.
القسمة الطويلة تجعلها واضحة
- القسمة الطويلة لكثيرات الحدود تعيد كتابة $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ كـ خارج القسمة $+$ باقي/المقام.
- بعيدًا، يختفي حد الباقي، تاركًا خارج القسمة فقط.
- إذا كانت خارج القسمة رقمًا، فهذا هو الخط المقارب الأفقي؛ إذا كانت خطًا، فهذا هو الخط المقارب المائل.
- النهايات تقول نفس الشيء: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ يساوي ذلك خارج القسمة.
يمكن للقسمة المطولة لكثيرات الحدود إعادة كتابة الدالة الكسرية لكشف سلوكها المقارب.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القسمة تعطي "الحاصل + الباقي/المقام"؛ الحاصل هو الخط أو المنحنى الذي تتبعه الأطراف.
فقط الحدود الرئيسية في البسط والمقام تتحكم في سلوك النهايات — تتلاشى الحدود الأصغر بعيداً عن نقطة الأصل. لذا قارن الدرجات أولاً؛ ولا تنحرف بسبب الثوابت أو الحدود الوسطى.
أوجد سلوك النهايات لـ $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- كل من البسط والمقام له درجة $2$ — تعادل في الدرجة.
- الخط المقارب الأفقي هو نسبة المعاملات الرئيسية: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- لذا $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: المنحنى يستوي نحو الخط $y = 3$.
بالنسبة لـ الدالة الكسرية، قارن درجات البسط والمقام: المقام أكبر → خط مقارب أفقي $y = 0$؛ متساويان → خط مقارب أفقي عند نسبة المعاملات الرئيسية؛ البسط أكبر بمقدار واحد → خط مقارب مائل. القسمة المطولة لكثيرات الحدود تكشف الخط الذي تتبعه الأطراف.