دوال كثيرات الحدود وسلوك النهايات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | سلوك الأطراف |
| degree/dɪˈɡriː/ | الدرجة |
| leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | المعامل الرائد |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | الحد الرائد |
ماذا يحدث عند الحواف البعيدة؟
- بالقرب من المنتصف، يمكن لكثير الحدود أن يتذبذب صعودًا وهبوطًا بطرق معقدة.
- لكن قم بالتكبير بعيدًا إلى اليسار وبعيدًا إلى اليمين، وستصبح قصته بسيطة.
- كل كثير حدود يتجه أخيرًا نحو $+\infty$ أو $-\infty$ عند كل طرف.
- حقيقتان فقط حول القاعدة تحدد اتجاه كل طرف.
سلوك الأطراف بالكلمات
- سلوك الأطراف هو ما تفعله القيمة الناتجة عندما يهرب المدخل إلى كل جانب.
- الطرف الأيسر: ما يحدث عندما $x \to -\infty$. الطرف الأيمن: ما يحدث عندما $x \to +\infty$.
- كل طرف يمكنه فعل شيء واحد فقط من شيئين: الصعود نحو $+\infty$ أو الهبوط نحو $-\infty$.
- لذا توجد أربعة أشكال ممكنة فقط لـ "شكل الأطراف" لأي كثير حدود.
سلوك النهاية يصف ما يحدث لـ $f(x)$ عندما $x \to +\infty$ و $x \to -\infty$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تماماً — إنه السلوك البعيد جداً عند الطرفين المتطرفين لمحور x.
الدرجة ومعامل الحد الأعلى تحددان ذلك
- الدرجة (زوجية أو فردية) تحدد ما إذا كان الطرفان متطابقين أو متعاكسين.
- الدرجة الزوجية → كلا الطرفين يشيران إلى نفس الاتجاه. الدرجة الفردية → الطرفان يشيران إلى اتجاهات مختلفة.
- ثم يحدد معامل الحد الأعلى (إشارته) الصعود أو الهبوط.
- معامل موجب → الطرف الأيمن يصعد؛ معامل سالب → الطرف الأ右侧 ينخفض.
قلب معامل الحد الأعلى ولاحظ انعكاس الأطراف
y = ax³ + bx² + cx + d
هذا منحنى من الدرجة الفردية، لذا فإن طرفاه يتجهان في اتجاهين متعاكسين. اجعل المعامل سالباً وتتبادل كلا الطرفين اتجاههما.
كثير حدود من الدرجة الفردية ومعامل حد أعلى موجب…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدرجة الفردية تجعل الأطراف تتجه في اتجاهين متعاكسين؛ والمعامل الموجب يرسل الطرف الأيمن للأعلى (وبالتالي يسقط الطرف الأيسر للأسفل).
كثير حدود من الدرجة الزوجية ومعامل حد أعلى سالب…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدرجة الزوجية تجعل الأطراف تتجه في نفس الاتجاه؛ والمعامل السالب يرسل كلا الطرفين للأسفل.
ما هي الخصائص التي تحدد سلوك نهاية كثير الحدود؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
فقط الدرجة وإشارة معامل الحد الأعلى مهمة للطرفين؛ الثابت وعدد الحدود لا يهمان.
طابق كل نوع من كثيرات الحدود مع سلوك نهايته.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الدرجة الفردية → أطراف متعاكسة؛ الدرجة الزوجية → أطراف متطابقة. ثم تختار إشارة المعامل بين الصعود والنزول.
كتابتها باستخدام النهايات
- المسجلون يستخدمون نهاية السلوك بكتابة نهائية.
- "الطرف الأيمن يرتفع" تُكتب $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
- "الطرف الأيسر ينخفض" تُكتب $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
- إنها طريقة مختصرة لقول بالضبط أين يذهب كل طرف.
لماذا يفوز الحد الأعلى
- بعيدًا عن نقطة الأصل، ينمو الحد ذو القوة الأعلى أسرع بكثير من جميع الحدود الأخرى.
- في $x^3 - 100x$، عند $x = 1000$ يكون الحد $x^3$ مليارًا بينما $100x$ مئة ألف فقط.
- لذا فإن الحد الأعلى وحده يسيطر على سلوك الأطراف — والباقي يصبح ضوضاء.
- هذا هو السبب الذي يجعلك لا تحتاج أبدًا إلى الحدود الصغيرة لرسم الأطراف.
بالنسبة للمدخلات ذات القيمة المطلقة الكبيرة، فإن الحد ____ يهيمن على قيمة كثير الحدود.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إن الحد الأعلى قوةً (الأعلى) ينمو بسرعة أكبر، لذلك يطغى على جميع الحدود الأخرى بعيداً عن نقطة الأصل.
يعتمد سلوك الأطراف فقط على الدرجة وإشارة المعامل الرئيسي — ولا يتعلق أبداً بالحد الثابت أو عدد الحدود. دالة كثيرة حدود من الدرجة 5 و $x^5$ لهما نفس سلوك الأطراف، بغض النظر عن مظهر الوسط فوضوياً.
وصف أطراف $f(x) = -2x^4 + x^3 + 5$.
- درجة $4$ هي زوجية → كلا الطرفين يشيران إلى نفس الاتجاه.
- معامل الحد الأعلى $-2$ هو سالب → كلا الطرفين يشيران إلى أسفل.
- لذا $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$: المنحنى ينخفض على كلا الجانبين.
سلوك الأطراف محكوم بشيءَين: الدرجة (زوجية → أطراف متطابقة، فردية → أطراف متعاكسة) وإشارة معامل الحد الأعلى (صعود أو هبوط). بعيدًا، يهيمن الحد الأعلى على كل حد آخر، لذا هذان العاملان فقط هما المهمان.