دوال كثيرات الحدود والأصفار المعقدة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | الدرجة |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | الأصفار الحقيقية |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | التكرار |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | الشكل المحلل |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | الأصفار المركبة |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | الأزواج المصاحبة |
أين ذهبت الجذور الأخرى؟
- رسم بياني $y = x^2 + 1$ هو قطع مكافئ طافي بالكامل فوق محور x.
- لا يقطعه أبداً، لذا يبدو أنه لا يوجد حل لمعادلة $x^2 + 1 = 0$.
- لكن الجبر يفرض أن المعادلة من الدرجة 2 يجب أن يكون لها جذران.
- الجذور المفقودة تختبئ في الأعداد المركبة.
الصفر الحقيقي والتكرار
- الأصفار الحقيقية لكثير الحدود هي قيم x حيث يقطع الرسم البياني لمحور x أو يلمسه.
- اقرأها مباشرة من الشكل المضروب: $(x-2)(x+3)$ له أصفار عند $2$ و$-3$.
- العامل المكرر مثل $(x-2)^2$ يعطي صفر تكراره (تعدد) يساوي اثنين.
- التكرار الزوجي → الرسم البياني يلمس ويرتد؛ التكرار الفردي → يقطع.
الصفر الذي يلمس فيه الرسم البياني محور x فقط (بدلاً من قطعه) له ____ زوجي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التعدد الزوجي (مثل $(x-3)^2$) يجعل المنحنى يرتد من المحور؛ التعدد الفردي يجعله يقطعه.
عندما يخطئ الرسم البياني المحور
- بعض كثيرات الحدود لا تصل أبداً إلى محور x، لذا يكون لديها أصفار حقيقية أقل من درجتها.
- الأصفار "المفقودة" هي أصفار مركبة — قيم مبنية باستخدام $i = \sqrt{-1}$.
- هي حقيقية تماماً كمحلول، لكنها لا تظهر فقط كتقاطعات مع محور x.
ما عدد الأصفار الحقيقية للقطع المكافئ الذي لا يلتقي أبداً لمحور x؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عدم وجود تقاطعات مع x يعني عدم وجود أصفار حقيقية. لكن لا يزال لديه اثنان من الأصفار — وهي معقدة.
الأصفار المركبة تسافر في أزواج
- إذا كانت لكثير حدود معاملات حقيقية وكان $a + bi$ جذراً، فإن $a - bi$ هو جذر أيضاً.
- يُطلق على هذه الشريكين المتماثلين اسم الأزواج المرافقة.
- ولهذا السبب تأتي الأصفار المركبة دائماً اثنتين معاً — ولا تأتي وحيدة أبداً.
- لذلك يمكن لكثير حدود حقيقي أن يحتوي على $0, 2, 4, \dots$ جذوراً مركبة، لكن لا يمكن أن يحتوي عدداً فردياً منها.
صفر مركب وشريكه المرآة
رسم صفر a + bi. بالنسبة لكثير حدود حقيقي، يجب أن يكون مرافقه a − bi (الصورة المرآة عبر المحور الحقيقي) أيضاً صفراً.
بالنسبة لكثير حدود بمعاملات حقيقية، تأتي الأصفار المعقدة دائماً في أزواج مرافقة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إذا كان $a + bi$ صفراً، فإن $a - bi$ يجب أن يكون صفراً أيضاً. ولهذا السبب تظهر الأصفار المعقدة اثنتين اثنتين.
عداد كل الصفر
- لكثير حدود من الدرجة $n$ يوجد بالضبط $n$ جذر، بمجرد احتساب الأصفار الحقيقية والمركبة بالتكرار.
- هذا هو المبدأ الأساسي للجبر، ولا يفشل أبداً.
- لذا فإن كثير حدود من الدرجة الثالثة له دائمًا $3$ جذور؛ وكثير حدود من الدرجة الرابعة له دائمًا $4$.
- إذا رأيت تقاطعات أقل مع محور x مما يقابله الدرجة، فالباقي جذور مركبة.
بحساب التعدد، كم عدد الأصفار التي يمتلكها كثير حدود من الدرجة 4 إجمالاً؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
للكثير الحدود من الدرجة $n$ بالضبط $n$ أصفار إجمالاً، حقيقية ومعقدة محسوبة بالجداء.
للمكعب (من الدرجة 3) exactly 1 أصفار حقيقية. كم عدد الأصفار المعقدة (غير الحقيقية) التي يجب أن يحتوي عليها؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
إجمالي الأصفار $= 3$. مع $1$ حقيقية، فإن الـ $2$ الأخرى تشكل زوجاً مرافقاً معقداً.
حدد جميع العبارات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
لا يقلل انعدام التقاطع مع محور x من عدد الجذور — لأن الجذور المفقودة مركبة. والبقية كلها صحيحة.
لا يعني تقاطع x "المفقود" أن لكثير الحدود جذور أقل. عدد الجذور يساوي دائمًا الدرجة — الجذور غير المرئية هي مجرد جذور مركبة. لا تصف كثير حدود من الدرجة الرابعة بأنه يمتلك "جذرين" فقط لأنك ترى تقاطعين مع محور x.
حل $x^2 + 1 = 0$.
- بعد إعادة الترتيب: $x^2 = -1$، إذن $x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
- الجذران هما $i$ و$-i$ — زوج مرافق تمامًا كما وعدنا.
- المنحنى $y = x^2 + 1$ يطفو فوق المحور لأن neither zero is real (لا يوجد جذر حقيقي).
الجذور الحقيقية هي تقاطعات محور x، حيث تحدد التكرار (زوجي/فردي) اللمس أو التقاطع. أي جذور متبقية هي جذور مركبة، وتظهر دائمًا في أزواج مرافقة. عند عدها بالتكرار، يكون العدد الكلي للجذور مساويًا دائمًا لـ الدرجة.