الدوال كثيرات الحدود ومعدلات التغير
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | الدرجة |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | الحد الرائد |
| polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl ˈfʌŋkʃn/ | الدالة كثيرة الحدود |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | القيمة العظمى المحلية |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | القيمة الصغرى المحلية |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | نقطة انعطاف |
| concavity/kənˈkævɪti/ | التقعر |
كم عدد التموجات التي يمكن أن تحتويها المنحنى؟
- الخط مستقيم؛ والقطع المكافئ له انحناء واحد؛ لكن بعض المنحنيات ترتفع وتنخفض عدة مرات.
- ما الذي يحدد عدد التلال والوديان المسموح به للرسم البياني؟
- الإجابة مخبأة في رقم واحد في قاعدة الدالة.
- تعارف على كثيرات الحدود — الدوال المبنية من قوى $x$.
الدرجة والأحد الأعلى
- دالة كثيرة حدود هي مجموع حدود مثل $3x^4$، و$-2x$، و$7$.
- درجتها هي أعلى قوة لـ $x$ تظهر فيها.
- الحد الأعلى هو الحد صاحب تلك القوة الأعلى — وهو يهيمن على الرسم البياني لقيم $x$ الكبيرة.
- الدرجة هي الرقم الأهم وحده: فهي تحدد الحد الأقصى لمدى تموج المنحنى.
درجة كثير حدود هي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدرجة هي أعلى أس للمتغير — مثال: $2x^4 - x + 7$ درجة $4$. وهي تتحكم بالشكل العام للبيانات وسلوك الأطراف.
القيم العظمى والصغرى المحلية
- تابع كثير الحدود من اليسار إلى اليمين وحدد حيث يتغير اتجاهه.
- العظمى المحلية هي قمة: حيث يتحول التزايد إلى تناقص.
- الصغرى المحلية هي وادي: حيث يتحول التناقص إلى تزايد.
- بين هذه النقاط المحورية، تكون الدالة متزايدة أو متناقصة بانتظام.
أعد تشكيل دالة مكعبة واحسب نقاط انعطافها
y = ax³ + bx² + cx + d
اضبط المفاتيح. المنحنى من الدرجة 3 يمكنه الانعطاف مرتين كحد أقصى — حاول جعله ينحني ثلاث مرات (لا يمكنك).
النقطة التي يتحول فيها الرسم البياني من تناقص إلى تزايد هي حد محلي ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحد الأدنى المحلي هو وادي — حيث يتوقف المنحنى عن الهبوط ويبدأ في الصعود.
نقاط الانعطاف
- حتى بين النقاط المحورية، يمكن للمنحنى تغيير طريقة انحنائه.
- نقطة الانعطاف هي مكان التقعر: حيث يتحول التقعر لأعلى إلى تقعر لأسفل، أو العكس.
- عند نقطة الانعطاف، يتوقف معدل التغير عن التسارع ويبدأ بالتباطؤ (أو العكس).
- لذلك فهي النقطة الأكثر انحداراً أو الأقل انحداراً في جزء متصاعد أو متناقص.
نقطة الانعطاف هي نقطة…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عند نقطة الانعطاف يتوقف المنحنى عن الانحناء في اتجاه ويبدأ بالانحناء في الاتجاه الآخر — تقعر لأصبح تقعراً لأسفل، أو العكس.
الدرجة تحدد حد التموجات
- كثيرة الحدود من الدرجة $n$ لها على الأكثر $n - 1$ نقطة انعطاف.
- ولها أيضاً على الأكثر $n - 2$ نقاط انعطاف.
- تكعيبية (درجة $3$) يمكن أن تغير اتجاهها مرتين كحد أقصى؛ ورباعية (درجة $4$) ثلاث مرات كحد أقصى — كما في الشكل أعلاه.
- "على الأكثر" مهم: قد يحتوي المنحنى على تموجات أقل، لكن لا يمكن أن يتجاوز الحد الذي تسمح به درجته.
كم عدد نقاط الانعطاف القصوى التي يمكن أن يمتلكها كثير حدود من الدرجة 5؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
كثير حدود من الدرجة $n$ له على الأكثر $n - 1$ نقطة انعطاف، لذا فإن الدرجة $5$ تسمح بحد أقصى $4$.
كثير حدود من الدرجة 3 يمكن أن يحتوي على 3 نقاط انعطاف.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الدرجة $3$ تسمح بحد أقصى $3 - 1 = 2$ نقطة انعطاف. يمكن أن تحتوي على $2$ أو لا شيء، ولكن ليس أبداً $3$.
حدد كل العبارات الصحيحة حول رسوم بيانية لكثيرات الحدود.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يمكن للدالة المكعبة أن تحتوي على $2$ نقاط انعطاف أو لا شيء (مثلاً $y = x^3$)، لذا فإن "يجب أن تحتوي على 2" غير صحيح. العبارات الثلاث الأخرى صحيحة.
"على الأكثر" لا يعني "بالضبط". التكعيبية يمكن أن تحتوي على نقطتين محوريتين، لكن $y = x^3$ ليس لديها أي نقاط محورية — فهي تتزايد طوال الطريق، مع نقطة انعطاف واحدة عند نقطة الأصل. الدرجة تضع السقف، وليس العدد.
اعتبر $f(x) = x^3 - 3x$.
- درجة $3$، لذا على الأكثر $2$ نقطة محورية — ولديها بالضبط $2$: عظمى محلية قريبة من $x = -1$ وصغرى محلية قريبة من $x = 1$.
- بينهما، عند $x = 0$، ينقلب التقعر: هذه هي نقطة انعطافها.
- حدها الأعلى $x^3$ يجعل الرسم البياني ينخفض على اليسار البعيد ويتصاعد على اليمين البعيد.
تحديد درجة دالة كثيرة الحدود (أعلى قوة) شكلها: على الأكثر $n - 1$ نقاط محورية — وهي القيم العظمى والصغرى المحلية — وعلى الأكثر $n - 2$ نقاط انعطاف، حيث ينقلب التقعر. الحد الأعلى يتحكم بما يحدث بعيداً على كل جانب.