معدلات التغير في الدوال الخطية والتربيعية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | الدالة التربيعية |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الخطية |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ثابتة |
| slope/sləʊp/ | الميل |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | متوسط معدل التغير |
نوعان من التسلق
- مصعد كهربائي يرفعك بوتيرة ثابتة: كل ثانية تكسب نفس الارتفاع.
- طائرة نفاثة على مدرج الهبوط مختلفة: كل ثانية تكسب سرعة أكثر من السابقة.
- كلاهما "يتزايد", لكن الطريقة التي يتغير بها مختلفة تماماً.
- الدوال الخطية والتربيعية هما العضوان الأولان في هذه القصة.
دالة خطية: معدل ثابت
- الدالة الخطية تُرسم كخط مستقيم.
- ميلها ثابت في كل مكان، لذا فإن معدل تغيرها المتوسط ثابت على أي فترة.
- على امتداد $[0, 2]$ أو $[10, 12]$ أو أي قطعة أخرى — تحصل دائماً على نفس الرقم.
- هذا المعدل الثابت الوحيد هو ما يعنيه "خطي" حقاً.
معدل التغير المتوسط لـ دالة خطية على أي فترة هو…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الخط المستقيم له ميل ثابت واحد، لذا فإن معدل التغير المتوسط هو نفسه على كل فترة — وهذا ما يجعله خطياً.
دالة تربيعية: معدل متغير
- الدالة التربيعية تُرسم كمنحنى قطع مكافئ.
- لأنها تنحني، فإن ميلها مختلف في أماكن مختلفة — معدل التغير يستمر في التغيير.
- بالقرب من الرأس يكون شبه مسطح؛ بعيداً عن الرأس يكون حاداً.
- لذا فإن معدل تغيرها المتوسط يعتمد على أي فترة تختارها.
يحول أحد أشرطة التمرير المنحنى إلى خط مستقيم
y = ax² + bx + c
ضع a = 0 للحصول على خط مستقيم — ميله ثابت. اجعل a ≠ 0 وينحني المنحنى، لذا فإن معدل التغير يستمر في التغيير.
بالنسبة لـ دالة تربيعية، معدل التغير المتوسط هو نفسه على كل فترة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
القطع المكافئ ينحني، لذا يظل ميله يتغير — الفترات المختلفة تعطي معدلات تغير متوسطة مختلفة.
الخطوات المتساوية تكشف النمط
- خذ خطوات متساوية في المدخلات وسجّل مخرجات $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- القفزات بينها — وهي الفروقات الأولى — هي $1, 3, 5, 7$.
- تلك القفزات ليست ثابتة، لكنها تزداد بنفس المقدار ($2$) في كل مرة.
- لذا فإن معدل تغير الدالة التربيعية ليس ثابتاً، لكنه يتغير بطريقة مستقرة وخطية تماماً.
بالنسبة لـ $y = x^2$، الفروقات الأولى عند $x = 1, 2, 3$ هي $3, 5, 7$. بمقدار كم ثابت تنمو في كل خطوة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5 - 3 = 2$ و$7 - 5 = 2$. هذا الفرق الثابت الثاني هو بصمة الدالة التربيعية.
بالنسبة للدالة التربيعية، الخطوات المتساوية في $x$ تعطي فروقات أولى التي…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الفروقات الأولى نفسها تشكل نمطاً خطياً — تنمو بنفس المقدار في كل خطوة. (التضاعف في كل مرة سيكون أسياً.)
كل معدل متوسط هو ميل قاطع
- بغض النظر عن الدالة التي لديك، فإن معدل التغير المتوسط على $[a, b]$ هو ميل خط القاطع الذي يمر عبر نقاطها النهائية.
- بالنسبة للخط، يقع كل قاطع مباشرة فوق الرسم البياني — نفس الميل في كل مرة.
- بالنسبة لقطع المكافئ، يميل كل قاطع بشكل مختلف — وهذا هو العلامة المرئية لمعدل متغير.
- قراءة ميول القاطع هي الطريقة التي تقارن بها كيف تتغير دالتان.
رتب الخطوات لإيجاد معدل التغير المتوسط خلال $[a, b]$.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
المخرجات أولاً، ثم الفرق بينهما، ثم القسمة على فرق المدخلات — هذا هو ميل القاطع.
حدد جميع العبارات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
معدل تغير الدالة التربيعية ليس ثابتاً — بل يتغير بانتظام (فرقها الثاني ثابت). العبارات الثلاث الأخرى صحيحة.
لا تسمّ معدل الدالة التربيعية "ثابتاً" لمجرد أن النمط قابل للتنبؤ. المعدل نفسه يتغير من فترة إلى أخرى؛ ما هو ثابت هو التغير في المعدل. بالنسبة للخط المستقيم، يكون هذا التغير في المعدل صفراً.
تسقط كرة ساقطة مسافة $d = 5t^2$ متر بعد $t$ ثانية.
- المسافات عند $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ متر.
- الفروقات الأولى (المسافة كل ثانية): $5, 15, 25$ — تتزايد بمقدار ثابت $10$.
- سرعة الكرة تزداد خطياً رغم أن المسافة تربيعية.
تتغير الدالة الخطية بمعدل ثابت واحد — كل قاطع له نفس الميل. معدل تغير الدالة التربيعية ليس ثابتاً: على خطوات متساوية، تنمو فروقها الأولى بمقدار محدد، لذا يتغير المعدل بانتظام. متوسط معدل التغير على $[a, b]$ هو دائماً ميل القاطع.