معدلات التغير
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | متوسط معدل التغير |
| interval/ˈɪntəvl/ | فتره |
| slope/sləʊp/ | الميل |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | القاطع |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ثابتة |
كم السرعة بالضبط؟
- عداد سرعة السيارة يجيب عن سؤال لا يستطيع عداد المسافة الإجابة عليه: ليس كم مسافتها، بل كم سرعتها الآن.
- "كم يتغير المخرجات؟" هو السؤال المحوري لهذا المقرر بأكمله.
- الجواب هو رقم يسمى معدل التغير.
- تقيّم هذه الدرس المعدل بطريقتين: على امتداد فترة، وفي لحظة واحدة.
معدل التغير المتوسط
- خلال فترة من $x = a$ إلى $x = b$، قارن مقدار تغير المخرجات بمقدار تغير المدخلات.
- معدل التغير المتوسط هو $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — تغير المخرجات مقسوماً على تغير المدخلات.
- بما أنها نسبة، فإنها تحمل دائماً وحدات: متر لكل ثانية، دولار لكل سنة، درجة مئوية لكل دقيقة.
- مثال لفظي: إذا ارتفعت درجة الحرارة 12°C خلال 4 ساعات، كان المعدل المتوسط 3°C لكل ساعة.
يُساوي معدل التغير لـ $f$ خلال الفترة $[a, b]$…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هو التغير في المخرجات مقسوماً على التغير في المدخلات — وهو نسبة، لذا فهو يحمل وحدات مخرجات لكل وحدة من المدخلات.
إنه ميل خط القاطع
- ارسم الخط المستقيم الواصل بين endpointي $(a, f(a))$ و $(b, f(b))$: هذا هو خط القاطع.
- ميله — الصعود مقسوماً على المشي الأفقي — هو بالضبط معدل التغير المتوسط.
- قاطع أكثر انحداراً → تغير متوسط أسرع؛ قاطع هابط → معدل سالب.
المسافة التي قطعها عدّاد هي $f(t)$ متر. إذا كانت $f(2) = 10$ و $f(5) = 40$، فما هي السرعة المتوسطة خلال $[2, 5]$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
السرعة المتوسطة $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ م/ث — وهي ميل القاطع خلال تلك الفترة.
على الرسم البياني، يمثل معدل التغير المتوسط خلال $[a, b]$ ميل…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الخط القاطع يربط بين $(a, f(a))$ و $(b, f(b))$؛ وميله يساوي تماماً معدل التغير المتوسط.
المعدل عند نقطة واحدة
- القاطع يحتاج إلى نقطتين. للحصول على المعدل عند نقطة واحدة فقط، قلل الفترة.
- خذ معدلات متوسطة لفترات أصغر فأصغر حول النقطة.
- عندما تتقارب الفترة نحو الصفر، ينحني القاطع ليصبح خط المماس — وميله هو المعدل عند تلك النقطة الدقيقة.
- هذا "المعدل في اللحظة" هو الفكرة التي تنمو لتصبح التفاضل والتكامل العام القادم.
قلل الفترة حتى تصبح القاطع مماساً
f(x) = 0.5x²
اسحب النقطة لقراءة الميل عند نقطة واحدة — هذا هو نهاية معدل التغير المتوسط عندما تنكسر الفترة إلى الصفر.
لتقدير معدل التغير عند نقطة واحدة، يتم حساب معدلات متوسطة لفترات ____ جداً حولها.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مع انكماش الفترة نحو الصفر، يقترب ميل القاطع من الميل عند تلك النقطة بالضبط.
الإشارة، الحجم، والوحدات
- معدل موجب يعني أن المخرجات تتزايد؛ معدل سالب يعني أنها تتناقص؛ صفر يعني عدم وجود تغيير.
- رقم أكبر (بتجاهل الإشارة) يعني تغيراً أسرع.
- بالنسبة للخط المستقيم، المعدل ثابت في كل مكان — فهو ثابت.
- اذكر الوحدات دائماً: معدل تغير بدون وحدات هو نصف الجواب فقط.
يعني أن معدل التغير المتوسط سالب أن المخرجات تناقصت خلال الفترة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
النسبة السالبة تعني أن المخرجات انتهت أقل مما بدأت به — الدالة انخفضت، في المتوسط، عبر الفترة.
حدد كل العبارات الصحيحة حول معدل التغير المتوسط.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يمكن أن يكون موجباً أو سالباً أو صفراً. كل ما سبق صحيح: إنه ميل، ويحمل وحدات، ويقارب معدل النقطة على الفترات الصغيرة.
معدل التغير المتوسط يتعلق بـ endpointين فقط — ويتجاهل كل ما بينهما. راكب دروب تسلق ثم نزل إلى نفس الارتفاع له معدل متوسط صفر، رغم أنه تحرك طوال الوقت.
سيارة تقطع 150 كم بين الساعة 1:00 والساعة 3:00.
- السرعة المتوسطة $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ كم/ساعة.
- هذا هو ميل القاطع لمنحنى المسافة-الزمن خلال هذين الساعتين.
- سرعة السيارة الفعلية تغيرت باستمرار — 75 كم/ساعة هي فقط المتوسط.
معدل التغير المتوسط على $[a, b]$ هو $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$، وهو الميل لـ خط القاطع عبر النقاط النهائية. قلل الفترة نحو الصفر ليصبح المعدل عند نقطة واحدة. اذكر الوحدات دائماً.