التغير بالتتابع
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | المدخل |
| output/ˈaʊtpʊt/ | مخرجات |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | تزايدية |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | تناقصية |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ثابتة |
| interval/ˈɪntəvl/ | فتره |
| concavity/kənˈkævɪti/ | التقعر |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | محدبة للأعلى |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | محدبة للأسفل |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | نقطة التحول |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | القيمة العظمى المحلية |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | القيمة الصغرى المحلية |
انظر الماء يصعد
- اسكب ماء في كوب بمعدل ثابت وشاهد المستوى يرتفع.
- في كوب مستقيم يرتفع المستوى بانتظام؛ في مزهرية منحنية تتسارع وتتناقص سرعته.
- كميتان - الماء المسكوب والارتفاع - تتغيران معاً، بشكل متزامن.
- يبدأ حساب ما قبل التفاضل بوصف كيف تتغير كمية واحدة بينما تفعل الأخرى.
الدالة تربط المدخل بالمخرج
- تأخذ الدالة مدخلاً (قيمة لـ $x$) وتعيد مخرجاً واحداً بالضبط (يُكتب $f(x)$).
- عندما يتغير المدخل، يتغير المخرج معه - هذا هو التغيير بشكل متزامن.
- نكتب $f(2)$ بمعنى "المخرج عندما يكون المدخل $2$".
- إذن القصة الكاملة للدالة هي سؤال واحد: عندما يتحرك $x$، إلى أين يذهب $f(x)$؟
متزايدة، متناقصة، أو ثابتة
- اختر فترة - امتداد لمحور المدخلات - وتابع المخرج من اليسار إلى اليمين.
- الدالة متزايدة حيث يرتفع المخرج كلما اتجه المدخل يميناً.
- تكون متناقصة حيث ينخفض المخرج كلما اتجه المدخل يميناً.
- تكون ثابتة حيث يبقى المخرج أفقياً.
- يمكنك قراءة هذا مباشرة من الرسم البياني: الصعود للأعلى يعني زيادة، الهبوط للأسفل يعني تناقص.
الدالة تكون متزايدة على فترة ما عندما…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الزيادة تتعلق بـالاتجاه، وليس الحجم: تحرك يميناً على محور المدخلات وترتفع المخرجات. يمكن أن تكون الدالة متزايدة بينما بقيت قيمها سالبة.
إذا كان الرسم البياني مسطحاً تماماً (أفقياً) على فترة ما، فإن الدالة تكون ثابتة هناك.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الرسم البياني المسطح يعني أن المخرجات لا تتغير مع تغير المدخلات — وهذا هو المعنى الحرفي للثبات.
التقعر: هل يتسارع التغير أم يتباطأ؟
- حتى أثناء استمرار المنحنى في الزيادة، فإن معدل التغير (سرعة تحرك المخرج) يمكن أن يتغير هو نفسه.
- التقعر يصف اتجاه انحناء المنحنى.
- مقعّر لأعلى - المنحنى ينحني لأعلى مثل الكأس، لذا معدل التزايد يكون متزايداً.
- مقعّر لأسفل - المنحنى ينحني لأسفل مثل القبة، لذا معدل التزايد يكون متناقصاً.
- المزهرية المنحنية مرة أخرى: حيث يضيق، يرتفع الارتفاع بسرعة متزايدة (مقعّر لأعلى).
قول إن المنحنى محدب للأعلى يخبرك بأن…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مقعر لأعلى منحني مثل الكوب: معدل التغير نفسه في تزايد. يمكن للمنحنى أن يكون مقعراً لأعلى وهو هابط — تخيل شريحة انزلاق تنسطح عند قاعها.
نقاط التحول: القصوى المحلية والدنيا المحلية
- حيث يتوقف المنحنى عن الزيادة ويبدأ في النقصان، يصل إلى قيمة قصوى محلية - قمة.
- حيث يتوقف عن النقصان ويبدأ في الزيادة، يصل إلى قيمة دنيا محلية - وادي.
- كل قمة أو وادي كهذه هو نقطة تحول.
- "محلي" يعني الأعلى أو الأدنى قريباً - ليس بالضرورة عبر الرسم البياني بأكمله.
ميل المماس هو معدل التغير نفسه
f(x) = x³ − 3x
اسحب النقطة واقرأ ميل المماس — موجب حيث يرتفع المنحنى، وسالب حيث ينخفض، وصفر عند نقطة الانعطاف.
النقطة التي يتوقف فيها الرسم البياني عن الازدياد ويبدأ في النقصان هي نقطة ____ محلية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
في العظمى المحلية، ينعكس المنحنى من الصعود إلى الهبوط — قمة أعلى مما حولها من نقاط قريبة.
انظر إلى المنحنى في الشكل. حدد جميع العبارات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يرتفع المنحنى، وينعطف عند قمة، وينخفض إلى وادي، ثم يرتفع مرة أخرى. هو ليس مقعراً لأعلى في كل مكان — بل ينحني لأسفل بالقرب من القمة وأعلى بالقرب من الوادي.
"الزيادة" و"التقعر لأعلى" هما مفاهيم مختلفة. الزيادة تتعلق بصعود المخرج؛ التقعر لأعلى يتعلق بصعود معدل التغير. يمكن للمنحنى أن يكون متناقصاً و مقعراً لأعلى في نفس الوقت - هابطاً، لكن مستويًا أكثر كلما هبط.
مقارنة مخرجين
- لمقارنة دالة عند مدخلين $a$ و$b$، قارن مخرجهما $f(a)$ و$f(b)$.
- إذا كان $b > a$ وأقل من $f(b) > f(a)$، فقد نما المخرج مع نمو المدخل.
- الـ التغير الصافي في المخرج من $a$ إلى $b$ هو ببساطة $f(b) - f(a)$.
- إذا عادت الدالة إلى نفس القيمة، فإن التغير الصافي يساوي صفراً - حتى لو ارتفعت وانخفضت في الطريق.
للدالة $f(2) = 5$ و $f(6) = 5$. ما هو التغير الصافي في المخرجات من $x = 2$ إلى $x = 6$؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التغير الصافي $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. انتهت المخرجات حيث بدأت — حتى لو ارتفعت وانخفضت بينهما.
طابق كل مصطلح مع ما يصفه.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يتناول الازدياد/النقصان اتجاه المخرجات؛ أما التقعر فيصف كيف يتغير معدل التغير نفسه؛ والعظمى المحلية هي النقطة التي يحدث فيها انعكاس الاتجاه.
كوب الشاي يبرد من 90 درجة مئوية إلى درجة حرارة الغرفة.
- درجة الحرارة (المخرجات) تناقصت طوال الوقت — ولم ترتفع مرة أخرى.
- لكن الانخفاض كان سريعاً في البداية، ثم بطيئاً: المنحنى محدب للأعلى.
- لا يوجد حد أقصى أو أدنى محلي بينهما — الاتجاه لم يتغير أبداً.
سلوك الدالة يُقرأ من بيانه: فهي متزايدة أو تناقصية على فترات، وتخبرك انحناؤها ما إذا كانت معدل التغير يسرع أم يبطئ، ونقاط الانعطاف هي الحد الأقصى والأدنى المحليين حيث ينقلب الاتجاه.