مجالات توزيعات الشحنات الكهربائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | تماثل |
ماذا لو كانت الشحنة موزعة على قضيب وليس نقطة؟
- تحمل الأجسام الحقيقية شحنة موزعة على خط أو سطح أو حجم.
- لا يكفي $E = kQ/r^2$ واحد — لأنه لا يوجد مسافة واحدة $r$.
- حيل التفاضل والتكامل: قسم الشحنة إلى قطع صغيرة واجمع حقولها.
- هذا هو جوهر فيزياء AP C: تحويل المجموع إلى تكامل.
كثافات الشحنة
- موزعة على خط: الكثافة الخطية $\lambda = \dfrac{dq}{d\ell}$ (كولوم/متر).
- موزعة على سطح: الكثافة السطحية $\sigma = \dfrac{dq}{dA}$ (كولوم/متر²).
- تملأ حجمًا: الكثافة الحجمية $\rho = \dfrac{dq}{dV}$ (كولوم/متر³).
- كل منها يسمح لك بكتابة شحنة صغيرة على شكل $dq = \lambda\,d\ell$، أو $\sigma\,dA$، أو $\rho\,dV$.
الكثافة الخطية للشحنة $\lambda$ لها وحدات:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lambda = dq/d\ell$ هي شحنة لكل طول، C/m.
قسمها إلى عناصر dq
- اختر عنصرًا صغيرًا $dq$ على مسافة $r$ من نقطتك $P$.
- ينتج حقلًا صغيرًا $dE = \dfrac{k\,dq}{r^2}$، متجهًا من $dq$ نحو $P$.
- كل عنصر يتجه بطريق مختلف قليلاً — $d\vec E$ هو متجه.
- اجمعهم: $\vec E = \displaystyle\int d\vec E$.
ابنِ مجالاً كهربائياً
شاهد كيف يصنع حجم أكبر وكثافة أعلى للشحنة مجالاً أقوى من العديد من المساهمات.
المجال من عنصر صغير $dq$ على مسافة $r$ هو $dE = k\,dq/$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
كل عنصر هو شحنة نقطية: $dE = k\,dq/r^2$.
حدد جميع الخطوات الصحيحة لحساب مجال توزيع شحنة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الكثافة → dE → تكامل. فشل استخدام kQ/r² مفرد لأن r يختلف لكل عنصر.
استخدم التناظر لإلغاء المركبات
- جمع المتجهات أمر صعب، لذا دع التناظر يقوم بالعمل.
- للأشكال المتناظرة، تتلاشى المركبات الجانبية أزواجًا.
- تتبقى فقط المركبة الموازية لمحور التناظر.
- أكمل التكامل لهذه المركبة المتبقية فقط — مما يقلل الحسابات الجبرية بشكل كبير.
بالنسبة لتوزيع شحنة متماثل، غالباً ما تلغي مكونات المجال الجانبية بعضها البعض.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التماثل يلغي المكونات العمودية، تاركة فقط الجزء المحوري.
مثال محلول: الخط اللانهائي
- بالنسبة لخط لانهائي من الشحنات، يعطي التكامل $E = \dfrac{2k\lambda}{r}$.
- لاحظ: يتناقص بمقدار $1/r$، وليس $1/r^2$ — لأن الشحنة الإضافية الأبعد تساهم أيضًا.
- تعطي المستوى المشحون حقلًا مستويًا تمامًا، $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (ثابت).
- شكل الجسم يحدد مدى سرعة تلاشي الحقل.
المجال من خط شحنة لا نهائي يتناقص بمعدل:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الخط اللانهائي يعطي $E = 2k\lambda/r$ — تناقص $1/r$.
المستوى المشحون يعطي $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$. إذا تضاعف $\sigma$، كم مرة سيصبح $E$ أكبر؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$E \propto \sigma$، لذا مضاعفة $\sigma$ تضاعف $E$.
حلقة نصف قطرها $a$ تحمل شحنة $Q$. أوجد $E$ على محورها، على مسافة $x$ من المركز.
- بالتناظر، تتبقى فقط المركبة الموازية للمحور.
- يعطي التكامل $E = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$، متجهًا على طول المحور.
يجب أن تجمع الحقول الصغيرة كـ متجهات، وليس مجرد مقاديرها. تجاهل التناظر ومجموع المقادير فقط يعطي إجابة خاطئة (أكبر من اللازم) — دائماً ألغِ المركبات التي يلغيها التناظر أولاً.
بالنسبة للشحن الموزع، اكتب $dq$ باستخدام كثافة ($\lambda,\sigma,\rho$)، وأوجد $dE = k\,dq/r^2$ لكل عنصر، وأكمل التكامل لـ $\vec E = \int d\vec E$. استخدم التناظر لإلغاء المركبات. يعطي الخط اللانهائي $E = 2k\lambda/r$؛ ويعطي المستوى ثابتًا $E = \sigma/2\varepsilon_0$.