إيجاد متسلسلات تايلر أو ماكلورين لدالة ما
| English | العربية |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | متسلسلة تايلور |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | متسلسلة ماكلورين |
كثير الحدود الذي لا يتوقف
- كثير حدود تايلور يتوقف عند درجة $n$. دعته تستمر للأبد لتحصل على متسلسلة تايلور.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — الشكل اللانهائي، الذي يمثل $f$ بدقة حيثما تتقارب.
- مركزها $0$، فهي متسلسلة ماكلورين.
- عدد قليل منها يستحق الحفظ في الذاكرة.
تسمى متسلسلة تايلر المركزة عند $0$ بمتسلسلة ____.
ماكلورين = تايلر مركزة عند $0$.
متسلسلات ماكلورين التي يجب معرفتها
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (متسلسلة هندسية، $|x|<1$).
cos x من متسلسلتها
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — قوى زوجية، إشارات متناوبة، مقامات مضاربات.
متسلسلة ماكلورين لـ $e^x$ هي...
جميع القوى، معاملات $\tfrac1{n!}$، بدون تناوب.
المتسلسلة الخاصة بـ $\dfrac{1}{1-x}$ (مع $|x|<1$) هي...
المتسلسلة الهندسية $1+x+x^2+\cdots$.
بناء واحدة من الصفر
- احسب $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ وضعها في $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$، حدًا تلو الآخر.
- ابحث عن النمط في المشتقات لكتابة الحد العام $n$.
- المتسلسلات المعروفة أعلاه تُستنتج عادةً مرة واحدة ثم تُستخدم مراراً — احفظها.
- الحد العام هو ما يجعلها متسلسلة، وليس مجرد عدد قليل من الحدود.
باستخدام $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$، قدر $\cos(0.2)$.
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ و$\cos$ يشتركان في عائلة
- لاحظ أن $\sin x$ يستخدم أساليب فردية و$\cos x$ يستخدم أساليب زوجية — وكلاهما يتناوب إشارته.
- $e^x$ له كل أسلوب بمعاملات موجبة جميعها $\tfrac1{n!}$.
- هذه الأنماط تسمح لك بكتابة الحدود بسرعة ومعرفة أي متسلسلة يطلبها السؤال.
- التعرف على العائلة يمثل نصف المعركة في الامتحان.
تستخدم متسلسلة ماكلورين لـ $\sin x$...
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (فردية، متناوبة).
المقامات في هذه المتسلسلات القياسية هي مضاربات.
الحد $n$ يحتوي على $n!$ (أو $(2n)!$، $(2n+1)!$).
احتفظ بـالمضروب ونمط الإشارة واضحَين: $\sin x$ له أساليب فردية $x^{2n+1}$ (تبدأ بـ$x$)، $\cos x$ له أساليب زوجية $x^{2n}$ (تبدأ بـ$1$)، وكلاهما يتناوب؛ $e^x$ له كل الأساليب، بدون تناوب. الخلط بين الفرد والزوج أو نسيان $(-1)^n$ هو الخطأ الكلاسيكي.
اكتب متسلسلة ماكلورين لـ$\cos x$ واستخدمها لتقريب $\cos(0.2)$ بحدين.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- حدان عند $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- صحيح $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
متسلسلة تايلور هي $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ لا نهائية؛ عندما تكون مركزها $0$، تُسمى متسلسلة ماكلورين. احفظ $e^x$، و$\sin x$، و$\cos x$، و$\frac{1}{1-x}$. راقب الضرب التتابعي (Factorials) وأنماط الإشارات: $\sin$ = قوى فردية، $\cos$ = قوى زوجية، كلاهما متناوب؛ $e^x$ = جميع القوى، بدون تناوب.