إيجاد المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة: القواعد الأساسية والرموز
Introduced| English | العربية |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل غير المحدد |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ثابت التكامل |
عكس اشتقاق التشغيل
- يتطلب الجزء 2 من نظرية FTC وجود مشتق عكسي — لذا دعنا نتعلم كيفية إيجادها.
- المشتق العكسي لـ $f$ هو أي دالة يكون مشتقها $f$؛ المجموعة الكاملة هي التكامل غير المحدد.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (بدون حدود) يعني "المشتق العكسي العام لـ $f$".
- كل قاعدة اشتقاق، مقروءة بعكس الاتجاه، تصبح قاعدة تكامل.
قاعدة القوة للتكامل
- عكس قاعدة القوة: أضف واحداً للأس، ثم اقسم على الأس الجديد.
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- تحقق: اشتقاق $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ يعطي $x^n$. ✓
- (حالة $n=-1$ خاصة: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
ما هو $\displaystyle\int x^3\,dx$؟
أضف واحداً للأس، واقسم عليه: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
قاعدة القوة تفشل في $n=-1$. ما هي $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$؟
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
لا تنسَ أبداً $+C$
- بما أن مشتق الثابت هو $0$، يمكن إضافة أي ثابت — لذا المشتق العكسي هو عائلة.
- دائماً أضف ثابت التكامل $+C$ إلى التكامل غير المحدد.
- بدون حدود لا يوجد طريقة لتحديد أي ثابت، لذا يبقى $+C$.
- (في التكامل المحدد يتلاشى $+C$ — هذا هو الفرق.)
عائلة مزاحة بـ +C
y = ax³ + d
جميع المشتقات العكسية لـ $f$ تختلف فقط بإزاحة عمودية $+C$ — نفس الميل في كل مكان.
يجب أن يتضمن التكامل غير المحدد ثابت التكامل $+C$.
المشتق العكسي هو عائلة؛ $+C$ جزء من الإجابة.
المشتقات العكسية القياسية
- عكس المشتقات الأولية التي تعرفها:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- ادمج مع الخطية لتكامل أي كثير حد أو مجموع حدًا تلو الآخر.
ما هو $\displaystyle\int \sin x\,dx$؟
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (انتبه للإشارة السالبة).
أوجد $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
قاعدة القوة العكسية حدًا بحد، زائد $C$.
حدد كل المشتقات العكسية الصحيحة.
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (موجب)؛ الأخير خاطئ.
أدواتان أساسيتان: أضف $+C$ دائمًا إلى التكامل غير المحدد (إنه جزء من الجواب)، وقاعدة القوة تفشل لـ $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ هي $\ln|x|+C$، وليست $\frac{x^0}{0}$. انتبه أيضًا للإشارة على $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (سالبة، تعكس مشتق $\cos$).
أوجد $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- حدًا تلو الآخر (عكس قاعدة القوة): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$؛ $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$؛ $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- تحقق بالاشتقاق: $6x^2-4x+5$. ✓
التكامل غير المحدود $\int f\,dx$ هو المشتقة العكسية العامة لـ $f$. قاعدة القوة للتكامل: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ من أجل $n\neq-1$ (و$\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). أضف دائمًا ثابت التكامل $+C$، وادمج المجاميع حدًا تلو الآخر.