تقريب القيم باستخدام الاستقامية المحلية والتخطيط الخطي
| English | العربية |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | المماس |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | الخطية المحلية |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | التقريب الخطي |
زوم بما يكفي وسيبدو المنحنى مستقيماً
- اختر أي منحنى أملس، وقم بالتكبير على نقطة واحدة، وسيتسطح ليصبح (تقريباً) خطاً مستقيماً.
- هذا الخط هو المماس، وقريباً من النقطة يلتصق بالمنحنى بإحكام.
- لذلك المماس تقريب ممتاز للدالة بالقرب منها — وهذا هو الاستقامة المحلية.
- يتيح لك تقدير قيم الدوال الصعبة باستخدام الميل ونقطة واحدة فقط.
المماس يحيط بالمنحنى
y = √x
قريباً من نقطة التماس، يتطابق الخط والمنحنى تقريباً — هذا القرب هو السبب في أن $L(x)$ يقارب $f(x)$.
الفكرة القائلة بأن المنحنى الناعم يبدو مستقيماً عن قرب تسمى الاستقامية الـ____.
الاستقامية المحلية هي أساس تقدير خط المماس.
بناء خط المماس
- المماس عند $x=a$ يمر عبر $\big(a,f(a)\big)$ بميل $f'(a)$.
- صيغة النقطة-الميل تعطي الاستقامة:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- هذه $L(x)$ هي مجرد خط المماس، أعيد تسميته كصيغة تقريب.
التخطيط الخطي لـ $f$ عند $a$ هو $L(x)=$
صيغة النقطة-الميل للمماس: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
تقدير قيمة قريبة
- لتقدير $f(x)$ لـ $x$ قريب من $a$، احسب $L(x)$ بدلاً منه — فهو عادة حساب بسيط.
- اختر $a$ لتكون نقطة قريبة حيث $f(a)$ و$f'(a)$ بسيطة (رقم "جميل").
- كلما كان $x$ أقرب إلى $a$، كان التقدير أفضل.
- مثال: لتقدير $\sqrt{4.1}$، استخدم $f(x)=\sqrt x$ عند $a=4$، حيث $f(4)=2$ نظيف.
باستخدام $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$، قدر $\sqrt{4.1}=L(4.1)$.
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
تقديرتك مبالغ فيها أم ناقصة؟ اسأل الانحدار
- خط المماس يقع على جانب واحد من الرسم البياني المنحني، لذا $L(x)$ يميل لطريقة معينة.
- انحدار لأعلى (المنحنى ينحني للأعلى، $f''>0$): المماس يكون أسفل المنحنى ← $L$ هو تقدير ناقص.
- انحدار لأسفل ($f''<0$): المماس يكون أعلى المنحنى ← $L$ هو تقدير مبالغ فيه.
- التحقق من إشارة $f''$ يخبرك بأي اتجاه تنحرف تقديراتك.
إذا كانت $f$ مقعرة نحو الأسفل靠近 $a$، فإن تقدير خط المماس $L(x)$ هو...
مقعر نحو الأسفل → المماس فوق المنحنى → تقدير مرتفع.
التخطيط الخطي يكون أدق للمدخلات البعيدة عن نقطة التماس.
إنه أدق قريباً من النقطة؛ ينخفض الدقة كلما ابتعدت.
حدد جميع استنتاجات التقدير المرتفع/المنخفض الصحيحة.
للأعلى → المماس تحت → تقديراً منخفضاً؛ للأسفل → المماس فوق → تقديراً مرتفعاً؛ وكلاهما محكوم بـ $f''$.
الاستقامة دقيقة فقط بالقرب من نقطة التماس — بعيداً عن $a$ يبتعد الخط المستقيم عن المنحنى. ويعتمد判断 التقدير الزائد/الناقص على الانحدار: انحدار لأعلى ← مماس أسفل ← تقدير ناقص؛ انحدار لأسفل ← تقدير مبالغ فيه. لا تخمن الاتجاه؛ تحقق من إشارة $f''$.
قدر $\sqrt{4.1}$ باستخدام الاستقامة عند $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$، لذا $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$؛ $\;f(4)=2$، $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$، وبالتالي $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- بما أن $\sqrt x$ منحدر لأسفل ($f''<0$)، فهذا تقدير طفيف مبالغ فيه (القيمة الحقيقية $\approx2.0248$).
الاستقامة المحلية تسمح لـخط المماس بتقريب دالة靠近 نقطة. الـاستقامة هي $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$؛ استخدمها لتقدير $f(x)$ لـ $x$ قريب من $a$. يحدد الانحدار اتجاه الخطأ: انحدار لأعلى ← تقدير ناقص، انحدار لأسفل ← تقدير مبالغ فيه.