الحركة الخطية: ربط الموقع والسرعة والتسارع
| English | العربية |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | الموقع |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | السرعة |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | التسارع |
| speed/spiːd/ | السرعة القياسية |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | إزاحة |
الموضع، السرعة، التسارع — سلسلة المشتقات
- الحركة على خط مستقيم هي المكان الكلاسيكي للمشتقة.
- الموضع $s(t)$ يخبرك أين يقع الجسم عند الزمن $t$.
- مشتقته هي السرعة $v(t)=s'(t)$ — مدى السرعة واتجاه الحركة.
- مشتقة السرعة هي التسارع $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
منحنى الموقع-الزمن
y = ax³ + bx² + cx
ميل هذا المنحنى للموقع هو السرعة؛ حيث ينسطح ($v=0$) يكون الجسم ساكناً للحظة.
السرعة هي مشتقة...
$v=s'$: السرعة هي مشتقة الموقع.
السرعة تحمل إشارة
- السرعة ذات إشارة: $v>0$ تعني التحرك في الاتجاه الموجب، $v<0$ في الاتجاه السالب.
- السرعة القياسية هي الحجم فقط، $|v|$ — دائماً غير سالبة.
- يكون الجسم ساكناً عندما $v(t)=0$ (متوقف مؤقتاً).
- تغيير الإشارة في $v$ يعني أن الجسم انعكس اتجاهه.
بالنسبة لـ $v(t)=3t^2-12t+9$، يكون الجسم ساكناً عندما $v=0$. أحد مثل هذه الأوقات هو $t=1$؛ أوجد الوقت الآخر.
$3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ أو $t=3$.
السرعة هي القيمة المطلقة للسرعة المتجهة، لذا لا يمكن أن تكون السرعة سالبة أبداً.
السرعة $=|v|\ge0$؛ بينما السرعة المتجهة تحمل إشارة.
تسريع أم إبطاء؟
- قارن إشارات السرعة والتسارع:
- نفس الإشارة ($v$ و$a$ كلاهما $+$، أو كلاهما $-$) → الجسم يتسارع.
- إشارات متعاكسة → الجسم يتباطأ.
- (حدس: التسارع يدفع في نفس اتجاه الحركة يزيد السرعة؛ ويدفع ضدها يقلل السرعة.)
يكون الجسم يسرع عندما تكون السرعة والتسارع لهما...
نفس الإشارة → تسارع؛ إشارات متعاكسة → تباطؤ.
عند $t=1$، $v=-2$ و $a=-6$. حدد جميع العبارات الصحيحة.
$v<0$ (اتجاه سالب)، $v,a$ نفس الإشارة (تسارع)، $|v|=2$. ليس في حالة سكون ($v\neq0$).
قراءة القصة كاملة
- الإزاحة خلال $[t_1,t_2]$ هي $s(t_2)-s(t_1)$ — التغير الصافي في الموضع (يمكن أن يكون صفراً حتى بعد الحركة).
- اتجاه الحركة = إشارة $v$؛ نقاط الانعطاف هي حيث $v=0$ يساوي صفراً ويغير إشارته.
- من $s(t)$ يمكنك الحصول على كل شيء بالاشتقاق: $v=s'$، ثم $a=v'$.
- هذه السلسلة — الموضع ← السرعة ← التسارع — هي واحدة من أكثر الأفكار اختباراً في المقرر.
التغير الصافي في الموقع خلال فترة زمنية، $s(t_2)-s(t_1)$، يُسمى ____.
الإزاحة هي التغير الصافي في الموقع.
"التسارع" ليس هو نفسه "التسارع الموجب". جسم له $v<0$ و$a<0$ يتسارع (يتحرك بسرعة أكبر في الاتجاه السالب). قارن دائمًا إشارات $v$ و$a$: نفس الإشارة → تسارع، إشارات مختلفة → تباطؤ. والسرعة المتجهة (المسجلة) ليست السرعة القياسية ($|v|$).
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (أمتار، ثوانٍ). حلل الحركة عند $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$؛ $\;v(1)=3-12+9=0$ — الجسم يكون لحظيًا في حالة سكون.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- بعد $t=1$ مباشرة، يصبح $v$ سالبًا بينما $a<0$ (نفس الإشارة) → فهي تسارع متحركة في الاتجاه السالب.
للحركة في خط مستقيم، السرعة المتجهة $v=s'$ والتسارع $a=v'=s''$. السرعة المتجهة مسجلة (اتجاه)؛ السرعة القياسية هي $|v|$؛ يكون الجسم ساكنًا عندما $v=0$. قارن الإشارات: $v$ و$a$ نفسها → تسارع، مختلفة → تباطؤ. الإزاحة خلال فترة زمنية هي التغير الصافي $s(t_2)-s(t_1)$.