مقدمة عن معدلات مرتبطة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | معدلات التغير المرتبطة |
| time/taɪm/ | الزمن |
عندما يقود معدل واحد آخر
- انفخ بالونًا: ينمو نصف قطره، وبسبب ذلك، ينمو حجمه أيضًا.
- المعدلان مرتبطان — معرفة مدى سرعة تغير نصف القطر تخبرك بمدى سرعة تغير الحجم.
- مسائل مثل هذه هي المعدلات المرتبطة: كميات عديدة تتغير معًا عبر الزمن.
- المحرك الذي يربط بينهما هو قاعدة السلسلة، المطبقة بالنسبة لـ الزمن.
مسألة معدلات مرتبطة تربط بين معدلات كميات تتغير بالنسبة لـ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتغيرات هي دوال للزمن، مرتبطة عبر قاعدة السلسلة.
ابدأ بمعادلة تربط المتغيرات
- أولاً، أوجد معادلة تربط الكميات معًا — عادةً هندسة أو صيغة.
- بالون: $V=\tfrac43\pi r^3$ يربط بين الحجم ونصف القطر.
- سلم ينزلق على جدار: $x^2+y^2=L^2$ (فيثاغورس) يربط بين المسافتين.
- هذه المعادلة الرابطية صحيحة في كل لحظة، لذا يمكننا اشتقاقها بالنسبة للزمن.
الحجم ينمو مع نصف القطر
y = a·x³ (V مقابل r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ يرتفع بشدة — معدل نصف قطر صغير ينتج معدل حجم كبير عندما $r$ كبيرة.
الخطوة الأولى هي كتابة ____ يربط المتغيرات المتغيرة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
عادة ما تكون علاقة هندسية أو فيزيائية.
سلالم بطول $L$ يستند إلى جدار. أي معادلة تربط المسافة من القاعدة $x$ والارتفاع $y$؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
فيثاغورس: الجدار والأرضية يشكلان زاوية قائمة، لذا $x^2+y^2=L^2$.
اشتق بالنسبة للزمن
- كل متغير يعتمد بشكل خفي على $t$، لذا فإن الاشتقاق يستدعي معدلًا لكل منها — عبر قاعدة السلسلة.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ يعطي $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- يساهم كل حد بعامل "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — تمامًا مثل الاشتقاق الضمني، لكن المتغير المخفي هو $t$.
- الآن تربط المعادلة المعدلات $\tfrac{dV}{dt}$ و$\tfrac{dr}{dt}$.
اشتقاق $V=\tfrac43\pi r^3$ بالنسبة لـ $t$ يعطي $\dfrac{dV}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
قاعدة السلسلة في الزمن: $4\pi r^2$ ضرب $\tfrac{dr}{dt}$.
رتب المعطيات والمجهول
- اقرأ المسألة وسمّها: أي معدلات معطاة، وأي معدل فردي مطلوب؟
- "ينمو نصف القطر بمعدل $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ معطى.
- "ما مدى سرعة نمو الحجم؟" → $\tfrac{dV}{dt}$ هو المجهول.
- لاحظ أيضًا أي كميات ثابتة (مثل نصف القطر في اللحظة المطلوبة).
اشتقاق $r^3$ بالنسبة للزمن يعطي فقط $3r^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إنه يعطي $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — العامل المعدلي ضروري.
"ينمو نصف القطر بمعدل $2$ سم/ثانية؛ ما سرعة نمو الحجم؟" حدد جميع العلامات الصحيحة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
معدل نصف القطر مُعطى، ومعدل الحجم مطلوب، و $V=\tfrac43\pi r^3$ يربط بينهما.
متغيرات معدلات مرتبطة هي دوال لـ الزمن، لذا فإن اشتقاق $r^3$ يعطي $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — لا فقط $3r^2$. نسيان $\tfrac{dr}{dt}$ (عامل معدل قاعدة السلسلة) هو الخطأ المحدد. تساهم كل كمية متغيرة في معدلها الخاص $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
حجم بالون هو $V=\tfrac43\pi r^3$. ضع معادلة المعدلات المرتبطة.
- اشتق بالنسبة لـ $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- هذا يربط معدل نمو الحجم بمعدل نمو نصف القطر.
- بمعلومية $\tfrac{dr}{dt}$ ونصف القطر الحالي $r$، يمكننا الآن حل $\tfrac{dV}{dt}$ (في الدرس التالي).
مسألة المعدلات المرتبطة تربط معدلات تغير كميتين أو أكثر في الزمن. اكتب معادلة تربط المتغيرات (غالبًا هندسة)، وشتقها بالنسبة إلى $t$ باستخدام قاعدة السلسلة (كل متغير يحصل على $\tfrac{d(\ )}{dt}$)، وحدد أي من المعدلات معطاة وأي منها مطلوب.