قاعدة الضرب
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قاعدة الضرب |
لماذا المنتجات تحتاج قاعدتها الخاصة
- مغرٍ ولكن خاطئ: مشتقة المنتج ليست حاصل ضرب المشتقات.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$، لكن $f'g'=1\cdot1=1$. هما يختلفان.
- المنتجات تحصل على أداة خاصة: قاعدة الضرب.
- تأخذ في الاعتبار كلا العاملين المتغيرين في آن واحد.
مشتقة $f\cdot g$ تساوي $f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إنها $f'g+fg'$، وليست $f'g'$.
القاعدة
- لمنتج دالتين:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- بالكلمات: "مشتقة الأولى مضروبة في الثانية، زائد الأولى مضروبة في مشتقة الثانية."
- كل حد يشتق عاملًا واحدًا ويترك الآخر دون تغيير؛ ثم تجمع.
تنص قاعدة الضرب على $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مشتقة الأول مضروبة في الثاني، زائد الأول مضروباً في مشتقة الثاني.
نمط عمل منظم
- اشتق $y=x^2\,e^x$. ليكن $f=x^2$ و$g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- أخرج عامل مشترك إذا طُلب: $y'=x e^x(2+x)$.
تغير ميل حاصل الضرب
y = ax² + bx
حاصل ضرب مثل $x^2 e^x$ له ميل يدمج بين العاملين — وتلخص قاعدة الضرب تغيرهما معاً.
اشتق $y=x^2 e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
بالنسبة لـ $y=x\sin x$، استخدم قاعدة الضرب لإيجاد $y'$ عند $x=0$. (تذكر $\sin 0=0$، $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$؛ عند $0$: $0+0\cdot1=0$.
عندما تحتاجها حقًا
- إذا كان المنتج يمكن فك ضربه أولاً، افعل ذلك — قد يكون أسهل ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- لكن عندما لا يمكن تبسيط العوامل (مثل $x^2\sin x$ أو $e^x\ln x$)، تكون القاعدة مطلوبة.
- ادمجها بحرية مع قاعدة القوة والمشتقات الأساسية لكل عامل.
- عيّن $f,f',g,g'$ أولاً — المحاسبة المنظمة تمنع الأخطاء.
أفضل خطوة أولى لـ $y=x^2\cdot x^3$ هي...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التبسيط أولاً ليصبح $x^5$ أسهل: $5x^4$. استخدم قاعدة الضرب فقط عندما لا يمكن دمج العوامل.
في كل حد من حدود قاعدة الضرب، أي مما يلي صحيح؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يتم اشتقاق عامل واحد لكل حد؛ ويتم جمع الحدين. اشتقاق الاثنين في حد واحد هو الخطأ الكلاسيكي.
قاعدة الضرب هي $f'g+fg'$، وليس $f'g'$. كلا الحدين مطلوبان، وكل واحد يحافظ على العامل الآخر دون اشتقاق. خطأ شائع جداً هو اشتقاق كلا العاملين في نفس الحد — لا تفعل ذلك. يتم اشتقاق عامل واحد بالضبط في كل حد.
اشتق $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- لم يكن أي عامل قابلاً للتبسيط، لذا كانت قاعدة الضرب ضرورية.
قاعدة الضرب: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — اشتق عاملاً واحداً في كل مرة واجمع. استخدمها whenever منتج دوال قابلة للاشتقاق لا يمكن تبسيطه أولاً. إنه ليس $f'g'$؛ كل حد يشتق عاملاً واحداً بالضبط.