النظرية الحركية للغازات
| English | العربية |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | النظرية الحركية |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | حركة عشوائية |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | مرن |
| momentum/məʊˈmentəm/ | العزم |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | متوسط مربع السرعة |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | الجذر لمتوسط المربع |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | متوسط الطاقة الحركية الانتقالية |
الضغط هو دقات طبول، وليس دفعاً
- البالون يبدو وكأنه يُدفع باستمرار للخارج. لا يوجد شيء يدفع بشكل مستمر. الجزيئات تصطدم بالمطاط عشوائياً، وكل ضربة تدوم جزءاً من النانوثانية.
- هناك الكثير من الضربات، قريبة جداً من بعضها البعض، بحيث يكون المتوسط ناعماً تماماً. الضغط هو دقات الطبول المسموعة من مسافة كافية使得 jednotlivые удары تختفي.
- أخذ هذه الصورة على محمل الجد، وتطبيق قوانين نيوتن عليها فقط، ينتج قوانين الغازات من الصفر ويكشف عن ماهية درجة الحرارة حقاً.
- هذه الدرس是关于 kinetic theory assumptions, pressure derivation, r.m.s. speed and the meaning of temperature.
الافتراضات
- عدد كبير من الجزيئات المتطابقة في حركة عشوائية مستمرة.
- حجم الجزيئات نفسه مهمل مقارنة بحجم الغاز.
- لا توجد قوى بين الجزيئات إلا أثناء التصادمات، لذا فإنها تسير في خطوط مستقيمة بينها.
- التصادمات مرنة تمامًا، دون فقدان أي طاقة حركية، وزمن التصادم مهمل مقارنة بالزمن بين التصادمات. تنطبق قوانين نيوتن طوال الوقت.
- تفشل هذه الفرضيات عند ضغوط عالية جدًا، حيث يصبح حجم الجزيئات ذا أهمية، وعند درجات حرارة منخفضة جدًا، حيث تصبح القوى بين الجزيئية ذات أهمية.
حدد كل افتراضات النظرية الحركية للغاز المثالي.
القوى بين الجزيئات مهملة باستثناء التصادمات (المرنة) — فهي لا تتجاذب بشدة في جميع الأوقات.
اشتقاق الضغط
- خذ مكعبًا طول ضلعه $L$ يحتوي على $N$ جزيئًا كتلته $m$، وتابع واحدًا منها يتحرك على طول $x$ بسرعة $u_1$.
- اصطدام واحد بالجدار الأيمن يعكس سرعته، لذا يتغير زخمه بمقدار $-2mu_1$، وبموجب قانون نيوتن الثالث، يستقبل الجدار $+2mu_1$.
- بين الاصطدامات بهذا الجدار يقطع مسافة $2L$، مما يعني $\Delta t = 2L/u_1$، مما يعطي قوة متوسطة $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- بجمع تأثيرات جميع الجزيئات وقسمتها على مساحة الجدار $L^2$ نحصل على $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. في ثلاثة أبعاد، التماثل يعني $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$، لذا:
جزيء واحد، جدار واحد، ثم الضرب في العدد
قانون بويل
p ∝ 1/V
عند درجة حرارة ثابتة، الضغط يتناسب عكسياً مع الحجم — اضغط على الغاز ترتفع الضغط.
يُحدث الغاز ضغطاً على وعائه لأن الجزيئات:
كل تصادم يدفع نحو الجدار؛ التأثير المجمل لعدد لا يحصى من التصادمات هو الضغط.
مثال محلول: شرح الضغط بالكلمات
- اشرح كيف يسبب حركة الجزيئات الضغط الذي يبذله الغاز. [3]
- تتحرك الجزيئات بشكل عشوائي وتتصادم مع جدران الوعاء.
- عند كل تصادم يرتد الجزيء، مما يغير زخمه؛ وبحسب قانون نيوتن الثاني يمارس الجدار قوة عليه، وبحسب القانون الثالث يمارس قوة مساوية ومعاكسة على الجدار.
- هناك عدد كبير جدًا من التصادمات كل ثانية، لذا فإن الدفعات الفردية تُعد لتصبح قوة كلية مستقرة، والضغط هو تلك القوة مقسومة على المساحة.
- ثلاث جمل، ثلاث علامات. الجملة الوسطى يجب أن تذكر كلتا قاعدتي نيوتن للحصول على علامتها.
رتب الشرح المكون من ثلاث درجات لضغط الغاز.
الحركة العشوائية، وتغير الزخم مع كلا قانوني نيوتن، والتوسط عبر العديد من الاصطدامات، ثم القوة لكل وحدة مساحة.
الصيغة الكثافة
- $Nm$ هي الكتلة الكلية للغاز، لذا $Nm/V$ هي كثافته $\rho$. نفس النتيجة تُكتب:
- استخدم هذا الإصدار عندما تعطي السؤال كثافة بدلاً من $N$ و$m$، وهو ما تفعله غالبًا.
السرعة الجذرية لمتوسط المربعات
- $\langle c^2 \rangle$ هي متوسط مربعات السرعات: قم بتربيع سرعة كل جزيء، ثم احسب المتوسط. جذره التربيعي هو السرعة الجذرية لمتوسط المربعات:
- إنه مقياس مفيد واحد لسرعة الجزيئات، أكبر قليلاً من السرعة المتوسطة لأن التربيع يعطي وزنًا أكبر للجزيئات السريعة.
- لا تتحرك جميع الجزيئات بهذه السرعة. لديهم توزيع واسع، ورفع درجة الحرارة يحرك هذا التوزيع بأكمله نحو سرعات أعلى.
توزيع، تكون فيه السرعة الجذرية لمتوسط المربعات ملخصًا واحدًا منه
سرعة الجذر التربيعي للمتوسط المربع هي الجذر التربيعي لـ ____ السرعة.
خذ المتوسط للسرعات المربعة، ثم خذ جذرها التربيعي: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
كيف يتم حساب سرعة الجذر التربيعي للمتوسط المربع من مجموعة سرعات جزيئية؟
اربع، اجمع، خذ الجذر، بنفس الترتيب. التربيع أولاً يوزن الجزيئات السريعة أكثر، ولهذا السبب تكون c_rms أكبر قليلاً من متوسط السرعة.
مثال محلول: السرعة الجذرية لمتوسط المربعات من الكثافة
- غاز مثالي عند ضغط قدره $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ له كثافة $1.9\ \text{kg/m}^3$. أثبت أن السرعة الجذرية لمتوسط المربعات لجزيئاته تقارب $500\ \text{m/s}$.
- من $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- ثم $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- في سؤال "أثبت"، استمر برقم معنوي إضافي واستشهد به (503) قبل المقارنة مع القيمة المعطاة. التقريب إلى 500 أولاً لا يثبت شيئًا.
غاز مثالي عند ضغط 1.6 x 10^5 باسكال وكثافته 1.9 كجم/م^3. ما هي السرعة الفعالة المربعة (r.m.s.) لجزيئاته بوحدة م/ث؟
استخدم p = rho <c^2>/3، إذن <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 و c_rms = 503 م/ث. في سؤال 'أثبت'، استشهد بالرقم الإضافي قبل التقريب.
ما هي درجة الحرارة فعليًا
- تعبرتان عن نفس $pV$: $pV = NkT$ من معادلة الحالة، و$pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ من النظرية الحركية. اجعلهما متساويتين، اختصر $N$ واضرب في $\tfrac32$:
- الطرف الأيسر هو متوسط الطاقة الحركية الانتقالية لجزيء واحد. إذن درجة الحرارة هي مقياس للطاقة الحركية الجزيئية المتوسطة، ولا شيء آخر.
- نتيجتان تطلبهما الامتحان. مضاعفة درجة الحرارة المطلقة يضاعف متوسط الطاقة الحركية، لذا $c_{\text{r.m.s.}}$ يزداد بمقدار $\sqrt{2}$. وفي نفس درجة الحرارة، تتحرك الجزيئات الأخف سرعة، بما أن $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ متساوٍ لكليهما.
متوسط الطاقة الحركية الانتقالية لجزيء الغاز تعتمد فقط على:
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — فقط درجة الحرارة الديناميكية الحرارية مهمة.
إذا تضاعفت درجة الحرارة المطلقة، تنمو سرعة الجذر التربيعي للمتوسط المربع بعامل قدره:
$\langle c^{2}\rangle \propto T$، لذا $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — مضاعفة $T$ تضاعفها بـ $\sqrt{2} \approx 1.41$.
عند نفس درجة الحرارة، تتحرك الجزيئات الخفيفة أسرع بشكل متوسط من الجزيئات الثقيلة.
نفس متوسط الطاقة الحركية $\tfrac{3}{2}kT$، لكن الكتلة الأصغر تعني سرعة أكبر $\langle c^{2}\rangle$ — لذلك الجزيئات الخفيفة أسرع.
بمقارنة pV = NkT مع pV = Nm<c^2>/3 يتضح أن متوسط الطاقة الحركية الانتقالية للجزيء يساوي ____ kT.
لذلك درجة الحرارة مقياس مباشر لطاقة الجزيئات الحركية المتوسطة، والطاقة الداخلية للغاز المثالي هي (3/2)nRT.
الطاقة الداخلية لغاز مثالي
- الغاز المثالي ليس لديه قوى بين الجزيئات، لذا لا توجد طاقة كامنة جزيئية: طاقته الداخلية كلها حركية.
- اضرب متوسط الطاقة الحركية في عدد الجزيئات:
- إذن تعتمد الطاقة الداخلية لغاز مثالي فقط على درجة حرارته، وليس على ضغطه أو حجمه. هذه الحقيقة الوحيدة تقوم بمعظم العمل في الدرس التالي.
الطاقة الداخلية للغاز المثالي تساوي:
جزيئات الغاز المثالي لها طاقة حركية فقط، لذا $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — متناسبة مع $T$.
علامات ضائعة
- السرعة الجذرية لمتوسط المربعات هي جذر متوسط المربعات، وليست السرعة المتوسطة. الترتيب مهم: تربيع، متوسط، ثم جذر.
- متوسط الطاقة الحركية يعتمد على درجة الحرارة فقط. غازان مختلفان عند نفس درجة الحرارة لديهما نفس متوسط الطاقة الحركية الجزيئية.
- مضاعفة $T$ تجعل $c_{\text{r.m.s.}}$ تزداد بمقدار $\sqrt{2}$، وليس بمقدار 2. الطاقة متناسبة مع $T$، لذا السرعة تتناسب مع $\sqrt{T}$.
- إجابة "اشرح الضغط" تحتاج إلى تغير الزخم، كلا قانوني نيوتن، وعدد كبير جدًا من التصادمات في الثانية.
لقد فهمت الأمر
- افتراضات: عدد كبير من الجزيئات المتطابقة في حركة عشوائية، وحجم جزيئي مهمل، وقوى معدومة إلا في التصادمات، وتصادمات مرنة ذات مدة مهملة، وتنطبق قوانين نيوتن
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$، أو $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ عندما تُعطى كثافة؛ الضغط هو تغير الزخم عند الجدران، مُعد على عدد كبير جدًا من التصادمات
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$، ملخص واحد لتوزيع واسع من السرعات
- مقارنة مع $pV = NkT$ تعطيك $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: درجة الحرارة هي متوسط الطاقة الحركية الجزيئية، لذا $U = \tfrac32 nRT$ يعتمد على درجة الحرارة فقط