تحليل الدوائر (تيار مستمر)

هذا هو المقرر الأول في الهندسة الكهربائية الجامعية: تحليل الدوائر ذات التيار المستمر. دائرة التيار المستمر هي دائرة تستقر فيها التيارات والجهد على قيم ثابتة — البطاريات، المستشعرات، مزودات المنطق، وشبكات الانحياز داخل كل مكبر. الفرق في الجهد ينقل الطاقة؛ ومعدل هذا النقل هو القدرة.

المقرر عبارة عن سلم، وكل درجة تُستخدم من قبل التالية:

• الوحدات 1.1 و1.2 تتطلب الجبر فقط: الكميات، اتفاقيات الإشارة، قانون أوم و قوانين كيرشوف.
• الوحدات 1.3 إلى 1.5 تبني منهجيات نظامية — تحليل العقد والعقد، نظريات الشبكات، والمكبر العملياتي المثالي — الذي يحول الدوائر الطويلة إلى حسابات قصيرة.
• الوحدات 1.6 و1.7 تضيف عناصر تخزين الطاقة والاستجابة الانتقالية الأولى ** ، وهي النقطة التي يبدأ فيها التفاضل والتكامل بالظهور.

كيف تقرأ كل وحدة: قصة قصيرة تقول لماذا هي مهمة؛ صورة أو قاعدة إرشادية يأتي قبل أي صيغة؛ ثم الصياغة الدقيقة؛ ثم أمثلة محلولة تتدرج في صعوبتها خطوة بخطوة، كل منها مع التحقق في النهاية؛ ثم الأخطاء التي يرتكبها الناس فعلاً؛ ثم ملخص من ثلاثة أسطر. كل رقم في الأمثلة هو شيء يمكنك التحقق منه بطريقة ثانية — حلقة مختلفة، عقدة غير مستخدمة، حالة حدية — ويجب أن تبني هذه العادة هنا: في الدورات اللاحقة يكون التحقق هو الفرق بين خطأ تم اكتشافه ومقاومة محترقة.

شاحن هاتف مُوسوم بـ"20 واط" وغلاية كهربائية مُوسومة بـ"2000 واط" كلاهما ينقل الشحنة. لماذا أكثر قوة بمئة مرة؟ للإجابة على ذلك، تحتاج إلى الكميات الست التي يحتاجها أي دائرة احفظها كسلسلة وليس قائمة: الشحنة تنتقل؛ ومعدلها هو التيار؛ والتيار عبر فرق

الجهد ينقل الطاقة؛ ومعدل هذا النقل هو القدرة. difference in potential transfers energy; the rate of that transfer is power.

• Charge $q$ is measured in coulombs (C). One coulomb is about $6.24 \times 10^{18}$ elementary charges. Charge is conserved: it is never created or consumed in a circuit, only moved.
• الجهد الكهربائي $i$ هو الطاقة لكل وحدة شحنة، بـ فولت (V): $i = dq/dt$ فولت = 1 جول/كولوم. يُقاس دائماً بين نقطتين؛ "1 فولت عند عقدة" يعني
• Voltage $v$ is energy per unit charge, in volts (V): 1 V = 1 J/C. It is always measured between two points; "5 V at a node" means 5 V between that node and the reference (ground) node.
• الطاقة $p$ هي الطاقة لكل وحدة زمن، بوحدة واط (W): $p = vi$، و 1 W = 1 J/s.
• الطاقة $w$ هي تكامل القدرة بالنسبة للزمن، $w = \int p \, dt$، بوحدة جول (J). عدادات الكهرباء تبيع كيلوواط-ساعة: $1\ \text{kWh} = 3.6\ \text{MJ}$.

استنتاج صيغة القدرة. تحريك شحنة $dq$ عبر فرق جهد $v$ وتكون الطاقة المنقولة هي $dw = v \cdot dq$. نقسم على $dt$: $p = dw/dt = v \cdot (dq/dt) = vi$. القدرة تساوي الجهد مضروباً في التيار — ليس أكثر من ذلك.

اتفاق الإشارة السلبية يزيل جميع الغموض. اختر اتجاهًا الناتج سلبياً يعني أن العنصر يستهلك القدرة؛ والناتج السالب يعني أنه يوفر القدرة. $+$ أمبير، مع رسم سهم التيار نحو طرف $p = vi$ للمصباح. بالنسبة للمصباح، result means the element consumes power; a negative result means it supplies power. الخلط في هذا الأمر هو السبب الأكثر شيوعًا للأخطاء في الإشارات طوال المقرر.

1 تمتص. خلال 12 دقيقة، يستهلك المصباح 0.25 أمبير، مع رسم سهم التيار نحو طرف $+$ للمصباح. بالنسبة للمصباح، مثال محلول $p = vi = 12 \times 0.25 = 3 \text{ W}$ (العداد يعطي رقمًا خاطئًا). مصدر مثالي قيمته 2 V يغذي $w = pt = 3 \times 120 = 360 \text{ J}$ فولت. مع رسم نفس السعار للبطارية، فإن تيار البطارية يدخل طرفها $-$، لذا فإن القدرة الممتصة لها هي $-3$ واط: فهي تزود ما تأخذه المصباح بالضبط، وتُغلق السجلات المحاسبية.

مثال محلول 2 (الجهاز يعطي الرقم الخطأ). مصدر مثالي قيمته 12 فولت يغذي مقاومتين قيمة كل منهما 10 ميجا أوم $\Omega$ متسلسلتين، لذا يجب أن يكون الجهد على كل منهما 6 فولت. وفولتميتر حقيقي ذو مقاومة إدخال تساوي 10 ميجا أوم $\Omega$ متصل عبر المقاومة السفلية لـ "التحقق". الآن يصبح الجهاز مقاومة ثانية بقيمة 10 ميجا أوم $\Omega$ توازي: فتندمج الجزء السفلي لتصبح قيمة 5 ميجا أوم $\Omega$، ويعرض الجهاز قراءة $\frac{5}{10+5} \times 12 = 4 \text{ V}$ بدلاً من 6 V. الفحص نفسه غيّر الدائرة. (عبر المصدر المثالي نفسه، سيعرض الجهاز قراءة 12 V بشكل صحيح: المصدر المثالي يحافظ على جهده بغض النظر عن المتصل به). قاعدة عامة: مقاومة الجهاز يجب أن تكون على الأقل مئة أخطاء شائعة. الإبلاغ عن "الجهد عند النقطة A" دون ذكر النقطة الأخرى. الجهد هو دائماً فرق بين نقطتين؛ حددهما. الحالة المعكوسة — عداد توالي بمقاومة غير مهملة يسرق الجهد ويقرأ تياراً منخفضاً.

أخطاء شائعة.

• الإبلاغ عن "الجهد عند النقطة أ" دون تحديد النقطة الأخرى. الجهد هو دائماً بين نقطتين؛ حددهما.
• خلط الوحدات: دقائق مع واط، مللي أمبير مع كيلو$\Omega$. قم بالتحويل أولاً؛ ثم وحدة الإجابة تنحدر تلقائياً ($\text{V}/\Omega = \text{A}$).
• الثقة في العداد دون سؤال عن المقاومة التي يضيفها.

ملخص: ستة كميات، سلسلة واحدة (شحنة إلى تيار إلى طاقة إلى قدرة); القدرة هي $vi$ تحت约定 الإشارة السلبية؛ يجب أن تكون العدادات شبه مرئية للدائرة (أميتر توالي = قصر تقريب، فولتميتر توازي = مفتاح تقريب).

يصل مقاومان إلى عقدة ويخرج واحد. كم التيار الذي يأخذ كل مخرج؟ الإجابة تحتاج إلى القانونين اللذين سُميا على اسم كيرشوف — وهما ليسا فيزياء جديدة. أحدهما "الشحنة لا تتراكم"؛ والآخر "توازن حسابات الطاقة". كلاهما كان مخفياً في 1.1.

قانون أوم يربط بين مقاومة: $v = Ri$، مع $R$ بوحدة أوم ($\Omega$). الموصلية $G = 1/R$ (سيمنز) تكون أحيانًا أكثر ملاءمة. القدرة في مقاومة تُمتص دائمًا، ودمج $v = Ri$ مع $p = vi$ يعطي المعادلات الثلاثة أشكال مكافئة لـ $p = vi = i^{2}R = v^{2}/R$ — استخدم المتغير الذي تعرفه مسبقًا.

بالنسبة للعناصر الموصولة على التوالي، تتجمع المقاومات ويتشارك تيار واحد؛ أما بالنسبة للعناصر الموصولة على التوازي، فتتجمع الموصلاتيات ويتشارك جهد واحد. عند توصيل مقاومتين على التوازي، يُحسبهما كحاصل الضرب مقسومًا على حاصل الجمع، $R_{1} \parallel R_{2} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ — ويكون الناتج دائمًا أصغر من كل منهما على حدة.

استنتاج قاسم الجهد. مقاومتان موصولتان على التوالي عبر مصدر يحملان تيارًا واحدًا $i = v_{s}/(R_{1}+R_{2})$. الجهد على $R_{2}$ يساوي هذا التيار مضروبًا في $R_{2}$، لذا $v_{2} = v_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$ — وهو قاسم الجهد. نفس argument on two parallel resistors fed by a current source gives the current divider: $i_{1} = i_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$. Notice the swap: each قانون كيرشوف للتيار (KCL) يعيد صياغة قانون حفظ الشحنة:

حيث أن مجموع التيارات ذات الإشارات الخارجة من أي سطح مغلق يساوي صفرًا. العقدة هي تقاطع عنصرين أو أكثر؛ فإن كل اتصال لسلك واحد يمثل عقدة واحدة، بغض النظر عن عدد الفروع التي يلتقي فيها هناك. مهما كان عدد الفروع التي تتقابل هناك.

قانون كيرشوف للجهد (KVL) يعيد صياغة حفظ الطاقة: أن مجموع الجهود ذات الإشارات حول أي حلقة مغلقة يساوي صفراً. امشِ حول الحلقة وجمع الارتفاعات والانخفاضات: فالعلامة التي ترتفع في مسار واحد تكون نفس العلامة التي تنخفض عند العودة، لذا يجب أن يكون المجموع صفراً — لا يمكنك اكتساب الطاقة بالمشي في دائرة.

مثال محلول 1 (مقسم جهد، مُفحوص بطريقتين). مصدر 9 V يغذي $R_{1} = 6$ k$\Omega$ على التوالي مع $R_{2} = 3$ k$\Omega$. التيار هو $i = 9 \text{ V} / 9 \text{ k}\Omega = 1 \text{ mA}$، لذا $v_{2} = 1 \text{ mA} \times 3 \text{ k}\Omega = 3 \text{ V}$ — نفس النتيجة التي نحصل عليها من قانون مقسم الجهد $9 \times 3/9$. التحقق باستخدام قانون كيرشوف للجهد (KVL): $-9 + 6 + 3 = 0$. التحقق باستخدام القدرة: المصدر $9 \times 1 \text{ mA} = 9$ mW؛ المقاومات $6$ mW $+ 3$ mW $= 9$ mW.

مثال محلول 2 (مقسم تيار، ثم العقدة التي يغذيها). مصدر 2 A يغذي 6 $\Omega$ على التوازي مع 3 $\Omega$. المزدوج المتوازي يساوي $6 \times 3/9 = 2\ \Omega$, لذلك كلاهما يرى 4 V، والتيارات هي $4/6 = 0.667$ A و$4/3 = 1.333$ A — مقسم ادخل في التعقيد: عند تلك العقدة، يخرج فرع آخر بتيار غير معلوم $0.667 + 1.333 = 2$ أيضاً؛ إذا تدفق تيار آخر قيمته $i_{4}$ A إلى الداخل من مكان آخر، فإن معادلة KCL تصبح تيار آخر 0.5 A يتدفق من الخارج إلى هذه النقطة، وقانون كيرشوف للتيار (KCL) ينص على $-0.667 - 1.333 - 0.5 + i_{4} = 0$، إذن $i_{4} = 2.5$ A يخرج. الشحنة لم تختفِ؛ بل إعادة توجيه.

أخطاء شائعة.

• اختيار طريقة العقد لدائرة مليئة بمصادر التيار — حيث يصبح كل مصدر حينئذٍ التيارات الخارجة = 0" واترك الإشارات تتكلم.
• التعامل مع كتلتين منفصلتين من الأسلاك كعقدة واحدة (وهما عاقدتان فقط إذا كانتا متصلتين).
• مقاومات التوازي تُجمع لتصبح قيمة أكبر — لكن المحصلة تكون دائماً أصغر من أصغر مقاومة.

ملخص: قانون أوم ومبدأا الحفظ يحلان كل دائرة تيار مستمر مقاومتية؛ مقسّمات الجهد تنبع منهما، لا من الحفظ؛ ضع علامة على كل سهم أولاً، ثم وثق بالجبر — لأن الإجابة السالبة هي معلومة، وليست خطأً.

يمكن حل دائرة ذات أربع عقد وست فروع تخمينات ذكية — مرة واحدة فقط. تظهر نفس الدائرة مئة مرة في التصميم، يجب أن يتحول التخمين إلى وصفة يمكن للحاسوب تنفيذها. يوجد وصفتان؛ كلاهما يؤدي إلى عدد قليل من المعادلات المتزامنة. وصفتان موجودتان؛ كلاهما ينتهي بعدد قليل من المعادلات المتزامنة. المعادلات المتزامنة.

التحليل العقدي يستخدم قانون كيرشوف للتيار (KCL). اختر عقدة مرجعية (أرضي)، ضع علامات على جهود $n-1$ العقد المتبقية، واكتب معادلة KCL واحدة لكل عقدة مجهولة، مع كتابة تيار كل فرع كفرق جهد مقسوماً على المقاومة. هذه الطريقة هي الأداة الأساسية لمحاكيات الدوائر (SPICE تحل هذه المعادلات بالضبط، الملايين منها).

تحليل الحلقات يستخدم قانون كيرشوف للجهد (KVL). حدد تيار حلقة محلي لكل نافذة في دائرة مستوية واكتب معادلة KVL واحدة لكل حلقة؛ الممانعة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تيارَي الحلقة. اختر الطريقة ذات عدد أقل من المعادلات، وتذكر: مصدر الجهد يحدد فرق جهد بين عقدتين (تحليل يصبح أسهل)، بينما يثبت مصدر التيار تفرعاً معيناً (تصبح حلقة الشبكة أسهل).

استنتاج المعادلة العقدية. عند العقدة $A$ المتصلة بمقاومات $R_{1}$ إلى عقدة المصدر $V_{s}$ و$R_{2}$ إلى الأرض، يعطي قانون كيرشوف للتيارات (مجموع التيارات الخارجة): $\frac{V_{A}-V_{s}}{R_{1}} + \frac{V_{A}-0}{R_{2}} = 0$. اضرب جميع الحدود وأعد تجميعها: المعادلة خطية بالنسبة لـ $V_{A}$ — دائماً. كل تحليل عقد هو هذه المعادلة المتكررة لكل عقدة.

مثال محلول 1 (عقدة مجهولة واحدة). مصدر جهد 12 V متصل عبر مقاومة 2 $\Omega$ إلى العقدة $A$؛ من العقدة $A$، توجد مقاومة 6 $\Omega$ متصلة بالأرض ومصدر تيار 1 A يدفع تياراً إلى العقدة $A$. تطبيق قانون كيرشوف للتيارات عند العقدة $A$، التيارات الخارجة:

اضرب في 6: $3(V_{A} - 12) + V_{A} - 6 = 0$، وبالتالي $4V_{A} = 42$ و $V_{A} = 10.5$ V. تحقق باستخدام فرع المصدر: يمر تيار $(12 - 10.5)/2 = 0.75$ A من المصدر، بالإضافة إلى تيار 1 A من مصدر التيار؛ تحمل المقاومة 6 $\Omega$ تياراً قدره $0.75 + 1 = 1.75$ A، وتياراً قدره $10.5/6 = 1.75$ A — المسار غير المستخدم يؤكد صحة الإجابة.

مثال محلول 2 (حلقتان، مقاومة مشتركة). الحلقة أ: مصدر جهد 12 V (يزداد في الاتجاه مع عقارب الساعة) مع مقاومة 2 $\Omega$. الحلقة ب: مقاومة 6 $\Omega$ مع مصدر جهد 3 V (عكس الاتجاه). تتشارك الحلقتان مقاومة 4 $\Omega$. تطبيق قانون كيرشوف للجهد مع تيارات الشبكة مع عقارب الساعة $i_{A}$، $i_{B}$:

تجميع: $6i_{A} - 4i_{B} = 12$ و$-4i_{A} + 10i_{B} = -3$. بحل المعادلات، $i_{A} = 2.455$ A و$i_{B} = 0.682$ A، وبالتالي التحمل الكهربائي للمقاومة المشتركة $i_{A}-i_{B} = 1.773$ اتجاه هبوط في شبكة A. تحقق بالتعويض العكسي في إحداهما المعادلتين الأصليتين: كلاهما يعيد صفرًا ضمن حدود التقريب.

أخطاء شائعة.

• نسيان تيار المقاومة المشتركة هو فرق تيارات الحلقات.
• اختيار طريقة بدون عدّ المعادلات: مصادر التيار تناسب التحليل العقدي مباشرة، بينما مصادر الجهد تناسب تحليل الشبكات مباشرة.
• افتراض أن العقدة المرجعية يجب أن تكون الطرف السالب للمصدر. يمكن لأي عقدة أن تكون مرجعية؛ قد يسهّل اختيار طرف مصدر الجهد المعادلات.

ملخص: طريقة العقد = قانون كيرشوف للتيار لكل عقدة مجهولة (اختيار المحاكيات)؛ طريقة الشبكة = قانون كيرشوف للجهد لكل نافذة؛ العناصر المشتركة تتعرض لفرق التيارات؛ اختر بعدد المعادلات.

استبدل لوحة المصدر وتوهجت المصباح الذي تغذيه قليلاً. ماذا كانت اللوحة تبدو عليه المصباح؟ ليس مخططه — مصدر واحد ومقاومة واحدة. ثلاثة نظريات تجعل هذا الاستبدال دقيقًا، وكلها تقول شيئًا واحدًا: الشبكة الخطية هي غير قابلة للتمييز عن سلوكها عند طرفين.

• نظرية ثيفينن: أي شبكة خطية ذات طرفين من المصادر و المقاومات تتصرف، عند أطرافها، كمصدر جهد واحد $V_{th}$ على التوالي مع مقاومة واحدة $R_{th}$. $V_{th}$ هي جهد الدائرة المفتوحة؛ $R_{th}$ هي المقاومة المرئية مع تصفير المصادر (تم توصيل مصادر الجهد، وفصل مصادر التيار). تم فتح الدائرة).
• نظرية نورتون هي نفس عبارة مصدر تيار $I_{N} = V_{th}/R_{th}$ على التوازي مع $R_{th}$. الاثنان يمثلان **المصدر التحويل: التبديل بينهما عندما يكون الحساب أبسط.
• التراكب: في دائرة خطية بها عدة مصادر مستقلة، فإن الاستجابة هي مجموع الاستجابات لكل مصدر يعمل بمفرده (مع تصفير المصادر الأخرى). إنها استراتيجية حسابية، وليست خاصية لمكون واحد.

استنتاج أقصى نقل للطاقة. مصدر ثيفينين $V_{th}$، مقاومة $R_{th}$، يتغذى $R_{L}$. طاقة الحمل هي $P = \left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_{L}}\right)^{2} R_{L}$. اشتق بالنسبة إلى $R_{L}$ واجعل الناتج مساويًا للصفر: تقع القيمة القصوى عند $R_{L} = R_{th}$، حيث $P_{max} = V_{th}^{2}/(4R_{th})$ — وتتحمل مقاومة المصدر حينها نفس مقدار الطاقة التي يوفرها الحمل تمامًا: كفاءة 50%، لا أكثر من ذلك.

أقصى نقل للطاقة هو قاعدة إشارة، وليست قاعدة طاقة: أنظمة الصوت وRF تطابق المعاوقة للحفاظ على قوة الإشارات؛ شبكات الطاقة لا تفعل ذلك أبدًا (لأن كفاءة 50% ستضاعف كل فاتورة). لا يحافظ المكافئ لثيفينين على الخسائر الداخلية للشبكة الأصلية؛ يجب حساب كفاءته بناءً على المصادر الفعلية.

مثال محلول 1 (إيجاد المكافئ، ثم توصيل الحمل به). مصدر 10 V ومقاومة 4 $\Omega$ تشكل فرعًا واحدًا على التوالي عبر مقاومة 6 $\Omega$. أوجد المكافئ الذي يراه حمل خارجي مُوصَّل عبر تلك المقاومة 6 $\Omega$. ومع فصل الحمل الخارجي، تكون جهد الطرف: $V_{th} = 10 \times 6/10 = 6$ V (مقسّم جهد). عند تصفير المصدر يتبقى 4 $\Omega$ متوازيًا مع 6 $\Omega$: $R_{th} = 2.4\ \Omega$. مع وجود $R_{L} = R_{th} = 2.4\ \Omega$، تكون تيار الحلقة $6/(2.4+2.4) = 1.25$ A وتكون قدرة الحمل $1.25^{2} \times 2.4 = 3.75$ W. تحقق من ذلك بالمعادلة: $V_{th}^{2}/(4R_{th}) = 36/9.6 = 3.75$ W.

مثال محلول 2 (التراكب، التحقق المباشر). مصدر 12 V عبر 2 $\Omega$ يغذي العقدة $A$؛ ومصدر تيار 3 A يضاف أيضًا إلى $A$؛ 4 $\Omega$ متصلان بين $A$ الأرضي. باستخدام مبدأ التراكب: المصدر وحده 12 V (3 A مفتوح) يقود 4 $\Omega$ عبر مقسّم جهد $2+4$: $V_{A1} = 12 \times 4/6 = 8$ V. أما مصدر التيار 3 A وحده (بعد قصر 12 V) فيرى $2\ \Omega \parallel 4\ \Omega = 1.333\ \Omega$: $V_{A2} = 3 \times 1.333 = 4$ V. المجموع الكلي $V_{A} = 8 + 4 = 12$ V. التحقق المباشر باستخدام طريقة واحدة معادلة العقدة: $(V_{A}-12)/2 + V_{A}/4 - 3 = 0$ تعطي $V_{A} = 12$ فولت — الطريقتان متطابقتان تمامًا.

أخطاء شائعة.

• حساب $R_{th}$ مع وجود المصادر المستقلة نشطة. قم بإيقاف تشغيلها: قص مصادر الجهد المستقلة المثالية وافتح مصادر التيار المستقلة المثالية. احتفظ بالمصادر المعتمدة واستخدم مصدر اختبار عند الحاجة.
• تطبيق مبدأ التراكب على الطاقة (لأنها غير خطية بالنسبة للجهد والتيار، بل تربطهما مربعاً — احسب الاستجابات أولاً، ثم مربّعها). مربّعها).
• الاعتقاد بأن نقطة كفاءة 50% هي هدف تصميمي لتوصيل الطاقة.

ملخص: قِس شيئين ($V_{th}$ دائرة مفتوحة، $R_{th}$ مصفر)، وأي ثنائي طرف خطي يصبح بطارية ومقاومة؛ تبديل الصيغ المتسلسلة↔المتوازية بحرية؛ اجمع الاستجابات، لا تجمع Powers؛ طابق المقاومة لأقصى طاقة إشارة، وليس للأناقة الاقتصادية. المحول أحادي الطرف يصبح بطارية ومقاومة؛ تبديل الأشكال المتسلسلة↔التوازي بحرية؛ جمع الاستجابات، ولا تجمع القوى أبداً؛ مطابقة المقاومة لأقصى قدرة إشارة، وليس للتوفير الاقتصادي.

يُنتج الميكروفون 10 مللي فولت. ويريد السماعة 2 فولت. يجب أن يُضرب شيء ما في 200 — مع مقبض ضبط لتحديد مقدار الضرب بدقة. ذلك الشيء هو مكبر العمليات، والوحدة بأكملها تعتمد على حيلتها الوحيدة: التغذية الراجعة تجعل جهازًا عالي الكسب بشكل مفرط يتصرف كجهاز ذو كسب دقيق ومنخفض.

المكبر العملياتي هو مكبر جهد تفاضلي ذو كسب كبير جداً، يُرسم كمثلث به مدخلان $+$ و$-$ ومخرج واحد. المكبرات ومقاومة إدخال لا نهائية ومقاومة خرج صفرية. النموذج المستخدم في التحليل يفترض كسب حلقة مفتوحة لا نهائي، مقاومة إدخال لا نهائية ومقاومة إخراج صفرية.

لماذا تتبع القواعد الذهبية من التغذية الراجعة. مع التغذية الراجعة السلبية (مسار من المخرج يعود إلى مدخل $-$)، يقوم المخرج بكل ما يلزم لجعل فرق الإدخال قريباً من الصفر — وبكسب يزيد عن $10^{5}$، يحتاج مخرج بمقدار الفولت إلى فرق إدخال بالميكروفولت، مما يُقرب القيمة للصفر. تنطبق القاعدتان الذهبيتان: hold:

1. فرق الجهد بين المدخلين يساوي صفرًا — وهو اختزال افتراضي.
2. فرق الجهد بين المدخلين يساوي صفراً — وهو الوصلة الوهمية. استنتاج كسب المعكوس. العنصر الأساسي هو مكبر المعكوس:

استنتاج كسب العاكس. العنصر المحوري هو المكبر العاكس: إدخال عبر $R_{in}$ إلى العقدة $-$، وتغذية راجعة عبر $R_{f}$، و$+$ مدخل مؤرض. القاعدة 2 تثبت العقدة $-$ عند 0 V (أرضية افتراضية). تنص القاعدة 1 على أن الإدخال تيار $v_{in}/R_{in}$ لا يمكنه الدخول إلى الشريحة، لذا يتدفق بالكامل عبر $R_{f}$:

يتم ضبط الكسب بواسطة مقاومتين — حيث يلغي كسب الشريحة الهائل نفسه من الإجابة. يعمل مكبر غير معكوس بوضع الإشارة عند $+$ وقسم جهد عند $-$: $v_{out}/v_{in} = 1 + R_{f}/R_{in}$، دائماً ما يكون على الأقل وحدة واحدة (عند الوحدة الواحدة هو متتبع الجهد، وهو عازل).

مثال محلول 1 (مرحلة معكسة، محسوبة بالكامل). $R_{in} = 10$ k$\Omega$، $R_{f} = 100$ k$\Omega$، $v_{in} = +0.2$ V. الكسب هو $-100/10 = -10$، لذا $v_{out} = -2$ V، داخل حدود إمدادات $\pm 15$ V بسهولة. تيار التغذية الراجعة هو $0.2/10\text{k} = 20\ \mu\text{A}$ ويتدفق نحو المخرج؛ يحمل المدخل المثالي لا تيار. تحقق من الأرضية الافتراضية: تقع العقدة $-$ عند $0$ V، لذا فإن الانخفاض في $R_{f}$ هو $0 - (-2) = 2$ V $= 20\ \mu\text{A} \times 100$ k$\Omega$.

مثال محلول 2 (مخلط، وفخ تشبع). قم بتوسيع المرحلة المعكسة إلى مدخلين ($R_{1} = R_{2} = 10$ k$\Omega$، نفس $R_{f} = 100$ k$\Omega$): تجمع الأرضية الافتراضية كلا التيارين، لذا $v_{out} = -\left(\frac{R_f}{R_1}v_{1} + \frac{R_f}{R_2}v_{2}\right)$ — وهو مكبر جمع. مع $v_{1} = 0.2$ V و$v_{2} = -0.05$ V: $v_{out} = -(10 \times 0.2 + 10 \times (-0.05)) = -(2 - 0.5) = -1.5$ V. الآن الفخ: استبدل $R_{f}$ بـ 1 M$\Omega$ (باكتساب $-100$ لكل مدخل) ونفس المدخلات تطلب $-(100 \times 0.2 + 100 \times (-0.05)) = -15$ V. توقف قاعدة التشبع: لا يمكن للخروج أن يتجاوز إمداداته المسارات، ومكبر عمليات $\pm 15$ V يستقر بالقرب من $-13.5$ V. لقد توقفت القواعد الذهبية عن التطبيق بصمت — أبلغ عن التقليم، وليس الجهد المستحيل. عند توقف التطبيق — أدرج قيمة التقييد، لا الجهد المستحيل.

أخطاء شائعة.

• نسيان الإشارة السالبة للمرحلة العاكسة (أو "تصحيحها").
• تطبيق قاعدة 2 عندما لا يوجد مسار تغذية راجعة سلبية — بدون تغذية راجعة، لا يوجد وهمي وصلة وهمية.
• دفع الإجابة خارج حدود السقوط وتقريرها على أي حال.

ملخص: الكسب اللانهائي الذي يُضبط بالمغذية العكسية يعطي قاعدتين ذهبيتين؛ المرحلة العاكسة تحوله إلى $-R_{f}/R_{in}$، والمرحلة غير العاكسة إلى $1 + R_{f}/R_{in}$؛ الوهمية لا يمكن لأي ترتيب من المقاومات تخزين شيء ما؛ فالمقاومات تبذر الطاقة؛ والعنصران الجدد يخزنانه، وهذا التغيير الوحيد هو ما يجعل الدوائر ديناميكية ويستحق دراسة التفاضل والتكامل.

كل وميض في كاميرا الهاتف يجمع الطاقة ببطء ويطلقها في جزء من الثانية. لا يمكن لأي ترتيب للمقاومات تخزين شيء — فالمقاومات تبذط الطاقة؛ والعنصران الجديدان يخزنان الطاقة، وهذا التغيير الفردي هو ما يجعل الدوائر ديناميكية ويستحق دورة في التفاضل والتكامل.

المكثف يخزن الشحنة المنفصلة بعازل: صفيحتين مع مجال كهربائي بينهما. سعته $C$، بـ فاراد (F)، هي الشحنة لكل فولت، $q = Cv$. بالاشتقاق: التيار هو معدل تغير الجهد،

لذا يحمل المكثف تياراً فقط أثناء تغير جهده: التيار المستمر المستقر يمثل دائرة مفتوحة له. بتكامل نفس القانون نحصل على الطاقة المخزنة $w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ — وهو حالة ذاكرة تعتمد فقط على الجهد الحالي، وليس على كيفية وصوله إليه.

المُحَرِّك (الملف) يخزن الطاقة في مجال مغناطيسي يحيط بالملف. إن الحث الذاتي $L$، بوحدة هنري (H)، يُعطي القانون المرآوي،

لذا يطور المحث جهداً فقط أثناء تغير تياره: التيار المستمر المستقر يمثل دائرة موصلة له. الطاقة المخزنة هي $w = \frac{1}{2}Li^{2}$.

لماذا تعكس المجموعات قواعد المقاومة. المكثفات المتوازية تشترك في نفس الجهد، لذا تتجمع الشحنات: $C_{eq} = C_{1}+C_{2}$ (تتجمع المساحات). المحثات المتسلسلة تشترك في نفس التيار، لذا تتجمع الروابط الطيفية: $L_{eq} = L_{1}+L_{2}$ (تتجمع الأطوال). المكثفات المتسلسلة والمحثات المتوازية تتحد حسب قاعدة المقلوب — وهي انعكاس دقيق لقاعدة المقاومة العمل الحسابي، لأن قوانين التخزين تعكس أدوار $v$ و$i$.

مثال محلول 1 (طاقة واحدة، وحدتان). مكثف سعة 100 ميكروفاراد مشحون بجهد 12 فولت يمر به تيار $w = \frac{1}{2} \times 100\times10^{-6} \times 12^{2} = 7.2$ أمبير يحتوي على 10 مليجول. كلاهما صغير يمر به تيار مقداره 2 أمبير ويخزن طاقة $w = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 2^{2} = 20$ مليجول. كلاهما صغيران بالنسبة لمعايير الغلايات، لكن طاقة المكثف 7.2 مليجول الموصلة خلال 1 ميلي ثانية تساوي 7.2 واط — وفي 1 ميكرو ثانية ستصل إلى 7.2 كيلو واط. الطاقة المخزنة متواضعة؛ المعدل هو ما يجعلها دراماتيكية، وهذا السبب في تفريغ المكثفات الكبيرة قبل لمسها.

بمقدار 2 فولت/ثانية؛ يكون التيار 10 ملي أمبير — ثابتاً، لأن الميل ثابت. الآن نجمع: مكثف سعته 100 ميكروفاراد ومكثف سعته $i = C\,dv/dt = 10\times10^{-6} \times 100 = 1$ ميكروفاراد في ثابتة، لأن الميل ثابت. الآن ندمج: مكثف سعته 2 ميكروفاراد ومكثف سعته 3 ميكروفاراد موصولان على التوالي يعطيان نتيجة $2 \times 3/5 = 1.2$ ميكروفاراد (لأن كل منهما يحمل نفس الشحنة، لذا فإن "السعة لكل تصغير الجهد)؛ على التوازي يعطيان 5 ميكروفاراد. محثان 10 مللي هنري و20 مللي هنري على التوالي يعطيان 30 مللي هنري؛ نفس المحثين على التوازي يعطيان $10 \times 20/30 = 6.67$ مللي هنري.

⚠ تيار المحث مستمر: فتح مفتاح في مسار المحث يفرض $di/dt$ أن يكون هائلاً، والجهد المستحث $L\,di/dt$ يمكن أن يتسرب عبر الملامحات. هذا واقع وليس نظريًا — هكذا عملت ملفات الإشعال القديمة لإنتاج الشرارة.

أخطاء شائعة.

• استخدام $w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ مع فولت تم استبدالها بشيء آخر — تحقق من الوحدات: الفاراد مضروبة في مربع الفولت تعطي جول.
• جمع السعات المتصلة على التوازي كمعكوس (هذه قاعدة التوالي).
• الاعتقاد بأن المكثف "يحجب" التيار المستمر فورًا — إنه يحجب التيار المستمر الثابت؛ أثناء التغيرات يحمل تيارًا بسعادة.

ملخص: المكثفات تتذكر الجهد، والمحثات تتذكر التيار؛ $i = C\,dv/dt$ و $v = L\,di/dt$؛ الطاقة $\frac{1}{2}Cv^{2}$، $\frac{1}{2}Li^{2}$؛ المجموعات تعكس حساب المقاومات مع تبديل $v$ و$i$؛ لا تقم بقطع مسار المحث فجأة.

تضغط زر فتخفت الضوء تدريجيًا خلال ثانية — أو قراءة المستشعر تتسلل إلى قيمتها الجديدة خلال أجزاء من الألف من الثانية. قم بتبديل مصدر، وعنصر يخزن الطاقة، ومقاومة في ترتيب جديد، ولا يمكن للكمية المخزنة أن تقفز: بل تنزلق نحو قيمتها المستقرة الجديدة. الدائرة التي تحتوي على عنصر تخزين واحد هي من الرتبة الأولى، وكل دائرة من هذا النوع لها نفس شكل الإجابة — تعلم الشكل مرة واحدة. قيمة جديدة مستقرة. الدائرة التي تحتوي على عنصر تخزين واحد تكون من الرتبة الأولى، وكل دائرة من هذا النوع لها نفس شكل الحل — ادرس الشكل مرة واحدة.

عرّف الاستجابة الطبيعية بأنها التناقص من حالة ابتدائية بعد إزالة المصدر، والاستجابة الدرجية كالتحول من حالة ابتدائية إلى قيمة مُجبرَة جديدة $V_{F}$. لجهد المكثف،

استنتاجه. بعد فتح المفتاح، يفرغ مكثف $C$ عبر $R$: يعطي قانون كيرشوف للتيار (KCL) $C\,dv/dt + v/R = 0$. افصل المتغيرات: $dv/v = -dt/(RC)$، وأعد التكامل: $\ln v = -t/(RC) + \text{const}$، وبالتالي $v = V_{0}e^{-t/RC}$ — وهو دالة أسية تتجه نحو الزمن $\tau = RC$؛ الحل العام هو الثابت زائد فرق متناقص: دالة أسية نحو القيمة الجديدة، دائماً. تعكس الدائرة RL يستبدل $V_{F}$ بـ الأسّي للقيمة الجديدة، دائمًا. المرآة RL تحل محل $\tau = RC$ بـ $\tau = L/R$.

عند $t = \tau$ يكون الفارق قد انخفض إلى 37% من حجمه الابتدائي؛ بعد $5\tau$ تصبح الدائرة ضمن هامش 1% وتُعتبر استقرت. القيمة الابتدائية $V_{0}$ تنبع من الطاقة المخزنة (استمرارية الجهد للمكثف C، واستمرارية التيار للملف L)، والقيمة $V_{F}$ تنبع من الدائرة التي تركها المفتاح خلفه، مع اعتبار عنصر التخزين في حالته المستقرة مفتوحة (للمكثف C) أو موصولة مباشرة (للملف L).

مثال محلول 1 (تفريغ RC). مكثف سعته 100 ميكروفاراد مشحون بجهد 12 فولت يفرغ عبر 10 k$\Omega$. $\tau = RC = 10\,000 \times 100\times10^{-6} = 1$ s، لذا $v(t) = 12e^{-t}$ فولت. بعد 2 ثانية، $v = 12 \times e^{-2} = 1.62$ فولت. بعد 5 ثانية ($5\tau$) تصبح $12e^{-5} = 0.08$ فولت — مستقرة. تحقق من القصة الطاقية: الطاقة الأولية 7.2 مليجول تذهب بالكامل إلى المقاومة بحلول ذلك الوقت.

مثال محلول 2 (الشحن بين قيمتين غير صفريتين). نفس دائرة RC، ولكن المفتاح ينقل المقاومة من مصدر 2 V إلى مصدر 9 V والمكثف بالفعل عند 2 V. $V_{0} = 2$، $V_{F} = 9$، لذا $v(t) = 9 + (2-9)e^{-t} = 9 - 7e^{-t}$ فولت. عند $t = 1$ ثوانٍ ($= \tau$) يصل إلى $9 - 7 \times 0.368 = 6.42$ V — الفاصل (7 V) غُطّي بنسبة 63.2%، وهو التعريف الدقيق. التحقق من النقاط النهائية: $v(0) = 2$ V و $v(5) = 9 - 0.047 \approx 9$ V.

مثال محلول 3 (نظير RL، سريع). ملف حثي 20 mH على التوالي مع 100 $\Omega$ مفتوح على مصدر 10 V. $\tau = L/R = 0.02/100 = 0.2$ ms، التيار النهائي $I_{F} = 10/100 = 0.1$ A، لذا $i(t) = 0.1(1 - e^{-t/0.2\text{ms}})$. عند $t = 0.6$ ms (ثلاثة ثوابت زمنية) وصل إلى 95%: $0.095$ A. نفس شكل جهد المكثف — قانون واحد، عنصران.

طريقة لكل مشكلة تبديل: (1) أوجد $V_{0}$ من الدائرة القديمة؛ (2) أوجد $V_{F}$ من الدائرة الجديدة؛ (3) احسب $\tau$ من الدائرة الجديدة مع Source مفرغاً الصفر؛ (4) اكتب إجابة سطر واحد وتحقق منها عند كلتا endpointين.

أخطاء شائعة.

• استخدام الدائرة القديمة لـ $V_{F}$ أو الجديدة لـ $V_{0}$ — القيم مستمدة من لقطات مختلفة، عمداً.
• حساب $\tau$ والمصدر لا يزال موجوداً — صفر المصدر لرؤية المقاومة الحقيقية التي يواجهها عنصر التخزين.
• الاعتقاد بأن $5\tau$ ثابت فيزيائي — إنه约定 هندسي 1%.

ملخص: عنصر تخزين واحد يعني أسياً واحداً؛ $V_{0}$ من الاستمرارية، $V_{F}$ من الدائرة النهائية، $\tau$ من مقاومة المصدر المصفّر؛ $\tau = RC$ أو $L/R$; $5\tau$ محلول لأغراض عملية، وكل إجابة تتحقق عند الطرفين.