مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

AA: ملاحظات تدريس المقرر

الإصدار: التقييم الأول 2021

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

1 · الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

الطريقة

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة لـ HCF وأكبرها لـ LCM.
قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.

حالة محلولة

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

مثال

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

العملية الحسابية الدقيقة والتقدير — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

يقسم HCF كلا الرقمين؛ وLCM هو مضاعف لكلا الرقمين.
يجيبان على أسئلة مختلفة.
التقدير العشري ليس كسرًا دقيقًا.

انتبه

غير صحيح: القاسم المشترك الأكبر لعدد صحيحين موجبين يكون أكبر من أي منهما. القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، لذا لا يمكن أن يكون أكبر من الأصغر: القاسم المشترك الأكبر لـ 72 و90 هو 18.

تطبيقه

لورقة اختبار بدون آلة حاسبة، حافظ على الكسور دقيقة وأظهر الاختصار.
في ورقة الآلة الحاسبة، أدخل التعبير الكامل وقارنه بتقديرك.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.

الفكرة الرئيسية

العامل الأولي: عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً.
تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
انتبه إلى: القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين؛ والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلا العددين.

1 · الأسس، الجذور الصارمة والصيغة القياسية

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
الأس السالب يعني المقلوب؛ والأس الكسري يمثل الجذر.
الصيغة القياسية لها 1≤a<10.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

مثال

0.000072=7.2×10^(-5). أيضًا 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم أزل الجذر من المقام 1/√2=√2/2.

المؤشرات والجذور الصارمة والصيغة القياسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.

انتبه

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقه

تحقق من أسس العشرات مقابل الكمية الأصلية.
استخدم الجذور المربعة للحسابات الهندسية الدقيقة، وقم بالتقريب فقط للطول النهائي عندما تطلب السؤال قيمة عشرية.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

1 · المتتاليات، المتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

مثال

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

انتبه

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقه

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

1 · النسب المئوية، التناسب والاستدلال النسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

الطريقة

الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
لإرجاع النسبة المئوية، اقسم على المضاعف.
في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.

حالة محلولة

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

مثال

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

Percentages, ratio and proportional reasoning — original teaching diagram

أين يكمن الخطأ

تستخدم النسبة المئوية أساساً مذكوراً.
طرح النسب المئوية يفقد ذلك الأساس.
للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.

انتبه

غير صحيح: انخفاض بنسبة 20% يليه زيادة بنسبة 20% يعيد السعر الابتدائي. لكن الزيادة بنسبة 20% تُحسب على مبلغ أصغر: 100×0.8×1.2=96، وليس 100.

تطبيقه

للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x.
احسب k من زوج معلوم قبل استخدام قيمة جديدة.
أدرِ ما أبقيت ثابتاً.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

المُضَرِّب: عامل يُجرّي تغييراً مئوياً في عملية ضرب واحدة.
الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
انتبه: يستخدم النسبة المئوية أساساً مُصراَحاً عنه.

1 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
المرافق هو a-bi، وz ضرب مرافقه = a²+b².
المعيار هو √(a²+b²)؛ والذروة تتطلب الربع الصحيح.
الجذور المرافقة تظهر في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

الأعداد المركبة والجذور — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

ارسم المحور الحقيقي أفقيًا والمحور التخيلي عموديًا.
بالنسبة للضرب، تُضرب المعايير وتُجمع الذروات؛ وتمتد هذه النمط الهندسي للأسس عبر نظرية دموافر.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

1 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.

الطريقة

بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
عندما يكون n عدداً غير صحيح، قم بفك (1+x)^n على الصورة 1+nx+n(n-1)x²/2+... حيث |x|<1.
أخرج الثوابت كعامل مشترك قبل استخدام هذه الصيغة.

حالة محلولة

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

مثال

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.

التوسع ذات الحدين والتقديرات الصالحة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.
مفكوكات الأسس الصحيحة الموجبة تكون محدودة ولا تخضع لهذا القيد الخاص بالتقارب.

انتبه

غير صحيح: ليس كل مفكوك ثنائي هو كثير حدود محدود؛ فبعض الأسس ليست أعداداً صحيحة موجبة. وفي حالة الأس السالب أو الكسري، يكون المفكوك سلسلة لانهائية صالحة فقط عندما يكون |x|<1.

تطبيقه

حدد مجال الصلاحية بجانب أي تقريب.
احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وميز بين المعامل والحد الكامل الذي يحتوي على x.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

معامل ثنائي: عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة ما.
بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
انتبه: في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.

1 · المتسلسلات، والفروق المنتهية، وتوسعات تايلور

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
يدرس هذا الدرس كثير الحدود التايلور: وهو كثير حدود يتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.

الطريقة

حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
عند a=0 يكون توسع ماكلورين.
يمكن تبسيط المجاميع المنتهية أيضاً عن طريق الإلغاء أو صيغ المجاميع القياسية.

حالة محلولة

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

مثال

المصطلحات الثلاثة الأولى لـ e^x هي 1+x+x²/2. عند x=0.1 يعطي هذا 1.105، قريباً من e^0.1≈1.105170. بالنسبة لمجموع k² من k=1 إلى 5، فإن n(n+1)(2n+1)/6 يعطي 5×6×11/6=55.

السلاسل، الفروق المنتهية وتوسعات تايلور — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ينتمي المضروب إلى المقام في كل معامل تايلور.
مركز التوسع ليس دائماً صفراً.
التقريب القريب من مركزه قد يكون سيئاً بعيداً عنه.

انتبه

غير صحيح: كثيرة حدود تايلور دقيقة للدالة الأصلية عند كل مدخل. كثيرة حدود تايلور هي تقريب؛ وهي عادةً دقيقة فقط بالقرب من مركزها.

تطبيقه

للسلسلة التلسكوبية، اكتب عدة حدود وحدد كلا الطرفين الباقيين.
لتقريب تايلور، حدد رتبه وقارنه بقيمة معروفة أو تقدير للباقي حيثما لزم الأمر.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

كثيرة حدود تايلور: كثيرة حدود تتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.
حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
انتبه: المضروب ينتمي إلى المقام في كل معامل تايلور.

2 · المجالات، الدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

الطريقة

حدد المجال والمدى.
بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية على مجالها.
تركيب fg يعني تطبيق g أولاً، ثم f؛ يجب أن يكون الناتج الوسيط مدخلًا مسموحًا به لـ f.

حالة محلولة

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

مثال

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور حلول زائدة.
تقييد مجال القطع المكافئ ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية.
الإزاحة الأفقية داخل f تحمل إشارة معاكسة لحركة الرسم البياني.

انتبه

غير صحيح: كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. الدالة التربيعية على جميع الأعداد الحقيقية تكون متعددة الصورة (f(1)=f(−1) من أجل x²)، لذا يجب تقييم مجالها أولاً.

تطبيقه

تحقق من أن f(المعكوس(x))=x على مجال المعكوس.
استخدم رسمًا مبدئيًا لاختبار ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.
حدد المجال والمدى.
انتبه: التربيع قد يُدخل حلولاً زائدة.

2 · الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

مثال

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ x و y الموجبين، فإن ln(x+y) لا يساوي ln x+ln y. لا توجد قاعدة بسيطة لوغاريتم المجموع، بينما قاعدة الضرب تنص على أن ln(xy)=ln x+ln y.

تطبيقه

قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

3 · استنتاج الزوايا، التشابه والقياس الهندسي

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

الطريقة

للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
نصّ على أسباب الزوايا صراحةً.
مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس.

حالة محلولة

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

مثال

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياسات الهندسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

تساوي الزوايا وحدها ي establishes التشابه، وليس المساواة في الحجم.
استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب.
حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو اربع/كعب معامل التحويل بشكل صحيح.

انتبه

غير صحيح: مضاعفة كل طول لجسم ثلاثي الأبعاد تضاعف حجمه. يتغير الحجم بمقدار مكعب عامل الطول: مضاعفة كل طول تضاعف الحجم 8 مرات.

تطبيقه

يجب أن يذكر الإثبات الهندسي النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة.
الرسم المقياسي يُعد دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

معامل المقياس: المعامل الضربي الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.
للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
انتبه: الزوايا المتساوية وحدها تُثبت التشابه، وليس الحجم المتساوي.

3 · المثلثات القائمة والمثلثات غير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
للمثلثات الأخرى، استخدم قانون الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.

انتبه

غير صحيح: ينطبق فيثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات بدون زاوية قائمة. يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة؛ للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.

تطبيقه

استخدم مخططاً أو منظراً عمودياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث.
اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

3 · الراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

الزاوية بالراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
لا تعطي جميع الحلول.
القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.

انتبه

غير صحيح: القيمة العكسية الرئيسية للجيب هي الحل الوحيد في دورة كاملة. يأخذ الجيب معظم القيم مرتين في دورة كاملة: sin x=0.5 يعطي 30° و150°.

تطبيقه

اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

3 · المتجهات والتحويل الهندسي

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

أضف مركبات المتجهات المقابلة.
إزاحة من A إلى B تساوي OB - OA.
المتوازيات هي مضاعفات عددية.
المتجه له مقدار واتجاه؛ المسافة كمية قياسية.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

مثال

مع a=(4,1) و b=(1,3)، فإن a+b=(5,4). حاصل الضرب القياسي هو a·b=4×1+1×3=7. مقدار a هو √17. بالنسبة لـ A=(1,2)، B=(5,5)، فإن AB=(4,3) و |AB|=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.

انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

بالنسبة للانقلاص، كل نقطة تستخدم نفس الإزاحة.
لمسائل الخطوط المتقدمة، ميّز بين متجه الموضع ومتجه الاتجاه وحل المعادلات المعلمية بشكل متسق.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
أضف مركبات المتجهات المقابلة.
انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

4 · ملخص البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

مثال

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

انتبه

غير صحيح: ارتفاع عمود المدرج التكراري يساوي تكراره، حتى مع عدم تساوي أوسع الفئات. مع عدم تساوي أوسع الفئات، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

4 · الاحتمال، الأشجار الاستدلالية والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

مثال

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

انتبه

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقه

الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

4 · نماذج ذات الحدين، الطبيعية وبوسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
E(X) = np و Var(X) = np(1 - p).
لنموذج التوزيع الطبيعي استخدم z = (x - μ) / σ.
يصف نموذج بواسون العدود بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.

حالة محلولة

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

مثال

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.

انتبه

غير صحيح: كل عداد للنجاحات يتبع التوزيع الثنائي بغض النظر عن الاستقلالية. النموذج الثنائي يحتاج تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المرتبطة تحطمه.

تطبيقه

اكتب الحدث كمتباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة.
اميز بين P(X < k) و P(X ≤ k) ومكمل الذيل.
صغ الافتراضات في سياق المسألة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.

الفكرة الرئيسية

القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

5 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

لا تعني المشتقة الصفرية دائماً وجود قيمة عظمى أو صغرى: الدالة y=x³ ساكنة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة.
يمكن للنقطة الطرفية أيضاً أن تنتج قيمة قصوى أو دنيا على مجال محدود.

انتبه

غير صحيح: كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. يمكن للمشتقة الصفرية أن تكون أيضاً نقطة انعطال: الدالة y=x³ عند x=0 ليست neither عظمى nor صغرى.

تطبيقه

في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة أو الضرب أو القسمة هناك.
في المستوى المتقدم، اربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
انتبه: المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود قيمة عظمى أو صغرى؛ فالمنحنى y=x³ يكون ثابتًا عند 0 ولكنه يستمر في الارتفاع.

5 · التكاملات، المساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
التكامل المحدد هو تراكم مُعلَم بإشارة.
قسّم عند تغير الإشارات عند حساب المساحة الكلية أو المسافة.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

مثال

لـ v(t)=3t²-3 خلال 0≤t≤2، الإزاحة=[t³-3t]_0^2=2. بما أن v يغير إشارته عند t=1، المسافة=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. تلغي الثوابت فقط في حالة التكامل المحدد.

التكاملات، المساحة والتراكم — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.
يمكن أن تكون المساحة المُمَلَّمة صفرًا حتى عندما تكون المساحة المحصورة الكلية موجبة.

انتبه

غير صحيح: التكامل المحدد يساوي إجمالي المساحة الموجبة، حتى عندما يتقاطع المنحنى مع المحور. تُحسب المساحة تحت المحور كقيمة سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أصغر من المساحة الكلية، أو حتى صفرًا.

تطبيقه

حدد ما يعنيه التكامل وضمن الوحدات الصحيحة.
معدل مقاس بالثانية يُوَظَّف ليُنتج الكمية الأصلية، لا معدلًا آخر.
اشتق الدالة المضادة للتكامل للتحقق منها.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
انتبه إلى: تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.

5 · اشتقاق السلسلة، والجداء، والحاصل، والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

5 · الاستبدال، الأجزاء والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.

انتبه

غير صحيح: تكامل الضرب يساوي ضرب التكاملات المنفصلة. يتطلب الضرب طريقة مثل التكامل بالتجزئة أو التعويض: ∫x·x dx=x³/3، وليس (x²/2)(x²/2).

تطبيقه

تحقق عن طريق الاشتقاق.
لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

5 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد A.
طريقة أويلر تأخذ y التالية = y+h f(x,y)، مع خطوة مختارة h.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

غير صحيح: كل حجم خطوة يعطي تقريبًا لأويلر مطابقًا تمامًا. تعتمد طريقة أويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، ادمج الدالة التكميلية مع تكامل خاص مناسب، ثم طبق الشروط الابتدائية المطلوبة.
هذا ضمن نطاق الرياضيات المتقدمة؛ تحقق من الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

IA · تخطيط الاستكشاف الرياضي

ما الذي يجعل التحقيق رياضياً؟

طالب يرغب في توقع وقت الانتظار في طابور الكافتيريا المدرسية. يحتاج الاستكشاف المفيد إلى سؤال وبيانات ورياضيات يمكن للطالب شرحها.
تدرس هذه الحصة الفرض: وهو شرط يُتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.

الطريقة

صيغ سؤالًا مركّزًا بمتغيرات قابلة للقياس وطريقة ممكنة.
احتفظ بسجل مؤرخ للقرارات والمصادر والحجج الرياضية.
استخدم التكنولوجيا لدعم التحليل، واشرح كل مخرجات مهمة بكلماتك الخاصة.

حالة محلولة

$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$

مثال

سجل الطيار متوسط أوقات انتظار قدرها 3,5,7 دقيقة عندما يكون 10,20,30 أشخاصاً في المقدمة. نموذج أولي هو t=1+0.2n. عند n=25 يتوقع 6 دقيقة. انتظار فعلي قدره 8 يعطي باقٍ 2؛ تحقق من معدلات الخدمة المتغيرة بدلاً من إخفاء عدم التطابق.

أين يكمن الخطأ

لا تنسخ استكشافاً نموذجياً، ولا تخترع بيانات أو تصنع تفاعلاً شخصياً مصطنعاً.
التوقع ليس دليلاً حتى يتم مقارنته بالملاحظات.
الموافقة والخصوصية أمران مهمان عند جمع بيانات المدرسة.

انتبه

Not true: The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. The exploration is an extended piece of written work assessed on its own criteria; a timed exam tests something different.

تطبيقه

تشرف المدرسة على اعتماد الموضوعات، والنقاط المرجعية، والأصالة، والتقييم.
بالنسبة لمنهج 2021 الحالي، استخدم دليل ومعايير المدرسة الحالية؛ معايير الاستقصاء 2029 تابعة لنسخة تقييم مختلفة.

في مسارك الدراسي

التحليل والمناهج HL، أول تقييم للمادة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

الفكرة الرئيسية

افتراض: شرط تم تبنيه لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.
صيغ سؤالًا مركّزًا بمتغيرات قابلة للقياس وطريقة ممكنة.
انتبه: لا تنسخ استكشافاً نموذجياً، ولا تخترع بيانات أو تصنع تفاعلاً شخصياً مصطنعاً.

ملاحظات الدراسة

AA: ملاحظات تدريس المقرر

1 · الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الأسس، الجذور الصارمة والصيغة القياسية

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · المتتاليات، المتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · النسب المئوية، التناسب والاستدلال النسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · المتسلسلات، والفروق المنتهية، وتوسعات تايلور

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · المجالات، الدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · استنتاج الزوايا، التشابه والقياس الهندسي

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · المثلثات القائمة والمثلثات غير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

3 · الراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية