فيزياء GRE

فيزياء GRE الجامعية المعروضة عبر الحاسوب

حوالي 70 سؤال من نوع اختيار من متعدد في 120 دقيقة. الميكانيكا، الكهرومغناطيسية، البصريات/الموجات، الديناميكا الحرارية/الإحصائية، الفيزياء الكمومية/الذرية، النسبية، طرق المختبر والمواضيع المتخصصة. لا يُدّعى تكافؤ مستوى A-Level.

النطاق الرسمي: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

CM · ميكانيكا كلاسيكية

• قانون نيوتن الثاني هو عبارة متجهية. اختر الإحداثيات وحدد القيود قبل تفكيكها إلى مركبات.
• ينطبق حفظ الطاقة عند حساب الشغل الناتج عن القوى غير المحافظة؛ ويحتاج حفظ الزخم إلى صفر للاندفع الخارجي الصافي.
• للتذبذبات الصغيرة، قم بالتقريب الخطي حول حالة توازن مستقرة. إن وجود حد استعادة طردي مع الإزاحة ينتج عنه حركة توافقية.
• تستخدم معادلات لاغرانج L=T−V والإحداثيات المعممة. هذا Formalism الجامعي مختلف عن التعويض بالقوى على مستوى المدرسة.

مثال مدقق

بالنسبة لكتلة m على ناب k، تكون L=(1/2)m xdot²−(1/2)kx². تعطي معادلات أويلر-لاغرانج m xddot+kx=0. وبالتالي فإن التردد الزاوي هو sqrt(k/m). مضاعفة الكتلة تقلل التردد بعامل sqrt(2)، وليس بعامل two.

خطأ شائع

لا ينطبق قانون حفظ الطاقة الحركية على كل التصادمات، حتى عندما يكون الزخم محفوظًا.

EM · الكهرومغناطيسية

• المجال الكهربائي هو السالب التدرج للجهد. القيمة والتغير المكاني كميتان مختلفتان.
• استخدم قانون غوس مع التماثل. knowing التدفق الكلي وحده لا يعطي المجال عند كل نقطة على السطح.
• قوانين كيرشوف تتتبع الشحنة والطاقة في الدوائر. القوة الدافعة المستحثة تتبع التدفق المغناطيسي المتغير بإشارة قانون لينز.
• تربط معادلات ماكسيل المجالات الكهربائية والمغناطيسية. في الفراغ، موجة لها E/B=c وتحمل الطاقة.

مثال مدقق

داخل قشرة كروية ذات شحنة موزعة بانتظام، يعطي التماثل وقانون غوس E=0. جهدها ثابت داخلها، وليس بالضرورة صفرًا. بالنسبة لتفريغ RC، V(t)=V₀ exp(−t/RC)، وبعد ثابت زمني واحد تكون V₀/e.

خطأ شائع

لا تستخدم قانون غوس للمدعي بمجال موحد على سطح عشوائي غير متماثل.

WO · الموجات والبصريات

• اجمع سعات الموجات، ثم احسب الشدة. تتناسب الشدة مع مربع السعة في نفس الوسط.
• يعطي فرق المسار فرق طور 2πΔ/λ. المصادر المتماسكة تحتاج إلى طور نسبي مستقر.
• للفتحة المفردة، تحقق الشروط الصغرى من a sin θ=mλ للأعداد الصحيحة غير الصفرية m. أما الفتحتان المزدوجتان فلهما شرط تداخل مختلف.
• البصريات الهندسية تتطلب تحديد قاعدة إشارات. تأثيرات الموجة تصبح مهمة عندما تكون الفتحات مقاربة للطول الموجي.

مثال مدقق

موجة متماسكتان متساويتان لكل منهما سعة A. عندما تكونان في طور واحد، تكون السعة الكلية 2A والشدة 4I₀. ومع فرق طور π، تكون السعة والشدة المثالية صفرًا. جمع الشدات مباشرة يتجاهل التداخل.

خطأ شائع

لا يتم الحصول على الحد الأقصى المركزي للفتحة المفردة عن طريق جعل m=0 في شرط الحدود الصغرى.

TS · الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية

• نصّ قاعدة إشارات القانون الأول: ΔU=Q−W عندما يكون W هو الشغل المبذول بواسطة النظام.
• للمحرك العكسي بين خزانين، تُحَدَّد الكفاءة بـ 1−Tc/Th باستخدام درجات الحرارة المطلقة.
• أوزان بولتزمان هي exp(−E/kT). يتطلب حساب الاحتمالات القسمة على دالة التقسيم.
• التمييز بين افتراضيات ماكسويل-بولتزمان وبوز-أينشتاين وفيرمي-ديراك. لا يمكن للفرميونات مشاركة حالة جسيم مفرد متطابقة.

مثال مدقق

تُعطى خزانات عند 600 K و300 K كفاءة عكسى قصوى 1−300/600=0.5. محرك يستهلك 1000 J يمكنه إنتاج ما لا يزيد عن 500 J من الشغل تحت هذه الظروف. الحفظ وحده لا يفرض هذا الحد.

خطأ شائع

لا يمكن استخدام نسب درجات الحرارة المئوية في معادلة كفاءة كارنو.

QM · ميكانيكا الكم والفيزياء الذرية

• يجب أن يحقق دالة الموجة للحالة شروط الحدود الخاصة بالنموذج وأن يكون الاحتمال الكلي مساويًا واحدًا: قم بتكامل ⟦|ψ(x)|²⟧ على النطاق المسموح به. بالنسبة لحالات متعامدة ومطبوقة (orthonormal) φ_j، فإن التراكب ψ=Σc_jφ_j له مربع المعيار Σ|c_j|² لأن الحدود المتقاطعة تكافئ الصفر عند التكامل. وبالتالي فإن التراكب المتساوي لـ N حالة متعامدة ومطابقة له مقدار معامل 1/sqrt(N). احتمال العثور على أحد مكونات الطاقة هو |c_j|²، وليس c_j. قد تؤثر الأطوار النسبية على احتمالات الموقع حتى عندما تكون احتمالات الطاقة ثابتة.
• يتم تمثيل القابلية للقياس بمؤثر هيرميتي. قيمه الذاتية حقيقية، وتُعطى القيمة المتوقعة لحالة مطبقة بـ ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. القيمة المتوسطة هي متوسط عبر تحضيرات متكررة، وليست بالضرورة نتيجة قياس واحد. إذا كان A يحقق متطابقة كثير حدود، طبقها على الحالة الذاتية: بالنسبة لـ A⁴=I، يجب أن تكون القيمة الذاتية الحقيقية +1 أو −1. يُستبعد الجذر الرابع المركب بسبب خاصية الهيرميتية، رغم أنه يحل المعادلة كثير الحدود.
• For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²ℏ²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for ℏ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.
• المؤثرات تتبادل عندما [A,B]=AB−BA=0؛ يمكن للقابليات للقياس المتوافقة أن تمتلك أساسًا ذاتيًا مشتركًا. بما أن الطاقة الحركية p²/(2m) هي دالة لـ p، فهي تتبادل مع p. عادة ما يجعل جهد تابع للموقع H=p²/(2m)+V(x) يفشل في التبادل مع p. زاوية الزخم تتبع [J_x,J_y]=iℏJ_z والتدويرات الدورية، بينما J² تتبادل مع كل مكون. الانتقالات الذرية تتبادل طاقة فوتون موجية تساوي فرق المستويات؛ تقيد قواعد الاختيار الخاصة بزاوية الزخم والآلية المحددة أي الانتقالات تحدث.

مثال مدقق

بالنسبة لجهد لا نهائي، E2=4E1 و E3=9E1. انتقالات من n=3 إلى n=2 تُطلق 5E1. ضِعف L يخفض كل طاقة بعامل أربعة. n=0 سيعطي دالة موجية صفرية، وليس حالة فيزيائية.

خطأ شائع

الحالة المستقرة يمكن أن تمتلك طاقة غير صفرية على الرغم من أن كثافة احتمالية زمنية مستقلة.

RA · النسبية، والأساليب المخبرية، والمواضيع المتخصصة

• النسبية الخاصة تستخدم γ=1/sqrt(1−v²/c²). الطاقة الساكنة هي mc² والطاقة الكلية هي γmc².
• بالنسبة لقيم عدم اليقين المستقلة الصغيرة، اجمع المساهمات جذرياً تربيعياً؛ أما عدم اليقين المترابط فيحتاج إلى حدود التغاير.
• التشتت العشوائي يؤثر على الدقة؛ بينما يحيز المعايرة يؤثر على الدقة. يمكن أن يكشف الرسم البياني اللوغاريتمي عن قانون القوة.
• أسئلة الفيزياء النووية وجسيمات المادة المكثمة والفيزياء الفلكية تتطلب مفردات ونماذج جامعية. لا تمثل فيزياء المدرسة وحدها إعداداً كاملاً للدراسة.

مثال مدقق

بالنسبة لـ v=0.6c، يكون γ=1/sqrt(0.64)=1.25. الطاقة الكلية هي 1.25mc²؛ الطاقة الحركية هي (γ−1)mc²=0.25mc². بالنسبة لـ y=ab مع عدم اليقين النسبي الصغير المستقل 3% و4%، فإن عدم اليقين النسبي هو sqrt(3²+4²)%=5%.

خطأ شائع

إن جمع عدم اليقين النسبي خطيًا يعطي حدًا أسوأ، وليس عدم اليقين الإحصائي المستقل القياسي.

AT · الطيف الذري وقواعد الاختيار

• لأيونات أحادية الإلكترون الشبيهة بالهيدروجين، تتناسب طاقات الارتباط مع −13.6 Z²/n² eV في أبسط نموذج غير نسبي. يتطلب الانبعاث انتقالاً هبوطياً وطاقة فوتون موجبة.
• زاوية الزخم المداري لها l=0,…,n−1 و m_l=−l,…,l. يدور إلكتروني يضيف s=1/2؛ يتحد زاوية الزخم الكلية المساهمات المدارية والدوارة.
• تشمل قواعد اختيار ثنائي القطب الكهربائي Δl=±1 و Δm=0,±1. تتعلق هذه القواعد بآلية انتقالية محددة؛ ممنوع لا يعني مستحيلًا بواسطة كل آلية.
• البنية الدقيقة، وتأثيرات اللف-الدوران وانقسام زيمان تحسّن الصورة الأبسط للهيدروجين. في الذرات متعددة الإلكترونات، تلغي الحماية والتفاعلات الإلكترونية التعويض المباشر لطاقة هيدروجين.

مثال مدقق

في الهيدروجين، E1=−13.6 eV و E2=−3.4 eV. انبعاث 2p→1s يُطلق 10.2 eV ويحقق Δl=−1. انتقال 2s→1s له Δl=0، لذا فهو ممنوع كهربائي-ثنائي القطب رغم وجود نفس فرق الطاقة.

خطأ شائع

لا تجعل طاقة الحالة النهائية ناقص طاقة الحالة الابتدائية سالبة لفوتون مُعْتَدٍ.

SN · نماذج الحالة الصلبة والنووية والجسيمات

• لا يمكن للحزم الممتلئة نقل تيار عادي دون وجود حالات قريبة متاحة. المعادن تمتلك حزمًا جزئية ممتلئة أو متداخلة؛ أشباه الموصلات لديها فجوة حزمة صغيرة. تغيير التلويح بالمُقدِّم والمُقبِل يُعدّل populations الحاملات.
• احتلال فيرمي-ديراك هو 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. عند الصفر المطلق يتحول إلى خطوة عند طاقة فيرمي؛ التوسع الحراري لا يجعل كل حالة مشغولة بنصفها.
• مجتمعات المشعيات تخضع للعلاقة N=N0e^(−λt)، والنشاط λN، والعمر النصفي ln2/λ. تأتي طاقة الربط من النقص الكتلي مضروبًا في c²؛ قارن طاقة الربط لكل نووية عند مناقشة الاستقرار.
• يجب أن تحافظ العمليات النووية وجسيمات التفاعل على الشحنة والطاقة والزخم والأرقام الكمومية ذات الصلة. يتضمن تحلل بيتا نيوترينو أو ضده؛ لا يمكن لقصة جسيمين تتكون من إلكترون فقط أن تفسر طيفه الطاقي المستمر.

مثال مدقق

بعد ثلاثة أعمار نصفية، N/N0=(1/2)^3=1/8، لذا النشاط أيضًا ثمنه إذا كان λ ثابتًا. نقص كتلة قدره 0.010 وحدة ذرية كتل يقابل تقريبًا 9.315 MeV باستخدام 1 u c²=931.5 MeV.

خطأ شائع

النشاط والمجتمع المتبقي كلاهما ينحل، لكن وحداتهما مختلفة: النشاط هو انتقالات في الثانية.

AH · ميكانيكا هاميلتونون والتقياس الفلكي

• الزخم Canonical هو p=∂L/∂qdot. يعطي تحويل Legendre H=p qdot−L هاملتونيانًا عندما يمكن التعبير عن السرعات بدلالة الإحداثيات والزخم.
• معادلات Hamilton هي qdot=∂H/∂p و pdot=−∂H/∂q. بالنسبة لمتذبذب عادي H=p²/(2m)+kq²/2، فإنها تعيد إنتاج معادلة نيوتن.
• بالنسبة لمسار جاذبي دائري v²=GM/r والفترة²=4π²r³/(GM). تشمل الافتراضات كتلة مركزية مسيطرة وتقريب دائري؛ المسارات الإهليلجية تستخدم نصف المحور الرئيسي في قانون كبلر. بالنسبة لقمر صناعي دائري كتلته m، مقدار زاوية الزخم هو mrv=m sqrt(GMr)، لذا فإن الأقمار المتطابقة يكون فيها L متناسبًا مع sqrt(r). نسبة شعاع 9 تعطي لذلك نسبة زاوية زخم 3، بينما نسبة الفترة هي 27. ينتج هذا التمييز من نفس علاقة القوة المركزية؛ لا تستخدم مقياس الفترة لزوايا الزخم.
• اللمعان والتدفق المستقبَل يخضعان للعلاقة F=L/(4πd²) للإشعاع المتجانس. الجسم الأسود له L=4πR²σT⁴؛ يتحرك ذروته الطيفية عكسيًا مع درجة الحرارة. افرق بين اللمعان الداخلي والسطوع المرصود.

مثال مدقق

بالنسبة للمتذبذب، qdot=p/m و pdot=−kq، ومن ثم qddot=−(k/m)q. إذا كانت نجمة مطابقة أخرى تبعد ضعف المسافة، فإن التدفق المستقبَل يكون ربع الكمية، بينما تظل اللمعان ثابتًا.

خطأ شائع

يتساوى الهاملتونيان مع الطاقة الميكانيكية الكلية فقط تحت افتراضات النظام ذات الصلة؛ لا تستنتج ذلك عالميًا من اسمه.

CM.1 · التصادمات، والشغل، وطاقة المهتزاز

• اختر نظامًا معزولًا خلال الاصطدام القصير. مع اندفاع خارجي مهمل، احفظ الزخم الكلي بشكل منفصل في كل اتجاه ديكارتي. إذا التصقت الكتل m1 و m2، فإن سرعتهما المشتركة هي (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). ابحث عن المقدار فقط بعد جمع المتجهات. الطاقة الحركية الأولية هي مجموع ½m|v|² لكل منها؛ الطاقة الحركية النهائية تستخدم الكتلة الكلية والسرعة المشتركة. fark بينهما يصبح طاقة داخلية أو تشوهًا، ليس زخمًا مفقودًا. الاصطدام غير المرن تمامًا يعني الالتصاق، ليس السكون النهائي.
• نظرية الشغل والطاقة ΔK=∫F·dr تستخدم القوة المحصلة على طول الإزاحة. لقوة ثابتة موازية لمسافة s، يكون ΔK=Fs. مضاعبة السرعة تربيع الطاقة الحركية. انحفاظ الطاقة الميكانيكية عبارة مستقلة تتطلب عدم وجود عمل غير محافظ لم يحسب. عند إزاحة زنبرك x، تكون U=½kx². تحت نفس القوة المطبقة F، يكون استطالة الاتزان F/k والطاقة المخزنة F²/(2k): الزنبرك الأكثر صلابة يتمدد أقل ويخزن طاقة أقل. تحت نفس الاستطالة، يخزن أكثر. حدد أي شرط يُثبت ثابتاً.
• بالقرب من توازن مستقر x0، قم بتوسيع U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²؛ الصلابة الفعالة موجبة U″(x0). الحركة تخضع لمعادلة m xddot=−k_eff(x−x0)، مع ω=sqrt(k_eff/m) ودور 2π/ω. يتبع البندول البسيط θddot+(g/L)sinθ=0. للزوايا الصغيرة sinθ≈θ، لذا T=2πsqrt(L/g). يفسر هذا التقريب مقياس الدور-الطول؛ السعات الكبيرة تتطلب تصحيحاً، وتختزل الكتلة للبندول المثالي.
• للمتذبذب التوافقي غير المخفض، الطاقة الكلية هي ½m v²+½kx²=½kA². عند الاتزان تكون كل طاقته حركية؛ وعند نقطة الانعطاف تكون سرعته صفراً وكل طاقته كامنة. التردد الزاوي ليس التردد العادي: ω=2πf. إذا كان لنفس المتذبذب سرعة اتزان vmax، فإن A=vmax/ω. اميز اللحظة التي تُقاس فيها السرعة عن إزاحة الإطلاق، واحتفظ بوحدات SI عندما يُطلب الجواب بالميليجول.

مثال مدقق

عربة كتلتها 2 kg سرعتها (3,0) m/s التصقت بعربة كتلتها ⟨1⟩ kg سرعتها (0,3) m/s. الزخم هو (6,3) kg·m/s، لذا السرعة النهائية هي (2,1) m/s. الطاقة الحركية الأولية K=9+4.5=13.5 J؛ الطاقة الحركية النهائية K=½·3·5=7.5 J. زيادة الطاقة الداخلية هي 6 J. بشكل منفصل، متذبذب كتلته ⟨0.5⟩ kg لديه سرعة اتزان ⟨0.2⟩ m/s؛ طاقته الكلية هي ⟨0.01⟩ J، أو ⟨10⟩ mJ.

خطأ شائع

لا تجمع مقادير السرعات الواردة كزخم، ولا تحفظ الطاقة الحركية في تصادم الالتصاق. مقارنات الزنبرك بالقوة الثابتة والاستطالة الثابتة لها إجابات معاكسة.

CM.2 · الدوران، والقوة الدافعة، وتوازن السرعة النهائية

• عزم القوة حول محور ثابت هو r×F؛ مقدارها يستخدم ذراع العزم العمودي. قضيب موحد طوله L مثبت في أحد طرفيه، الجاذبية تؤثر في مركزه L/2 وعزم القصور الذاتي هو ML²/3. إذا كان الزاوية θ مقاسة من الرأس، فإن مقدار عزم الجاذبية هو Mg(L/2)sinθ، لذا مقدار التسارع الزاوي هو 3g sinθ/(2L). حدد اتجاه الدوران الموجب قبل تعيين الإشارة. استخدام عزم القصور الذاتي لمركز الكتلة ML²/12 بدون تصحيح المحور الموازي يعطي تسارعًا خاطئًا.
• جسم يدور دون انزلاق يحقق العلاقة v=Rω. اكتب الطاقة الحركية الكلية على شكل ½Mv²+½Iω². مع I=βMR²، الكسر الدوراني هو β/(1+β)؛ للقرص الصلب β=1/2 والكسر هو 1/3. الحلقة لها β=1 والكسر 1/2. الاحتكاك الساكن يمكن أن يوفر العزم المطلوب للدوران دون تبديد الطاقة عند نقطة تلامس ساكنة لحظياً على سطح ثابت. الجسم المنزلق لا يحقق علاقة عدم الانزلاق تلقائياً.
• بالنسبة لجسم مركب عائم، يساوي قوة الطفو وزن السائل المُزاح، مجموعًا عبر كل جزء مغمور. لنفترض أن كتلة خشبية حجمها V وحجر كثيف حجمه Vs. إذا كان الحجر فوق سطح الماء، فإن الخشب المغمور فقط هو الذي يساهم: ρwater g fV يساوي الوزن الكلي. إذا كان الحجر مثبتًا أسفل الماء ومغمورًا تمامًا، فإن حجمه المُزاح يُقلل من الكسر العائم المطلوب للخشب إلى f−Vs/V. لا يتوقف الحجر عن وزن شيء؛ بل تزود الماء الآن بعض دعمه. تحقق مما إذا كانت التوجه والطفو المفترضان فيزيائيان ممكنان.
• السرعة الحدية تعني تسارعًا صفرًا، وليس سرعة صفرًا أو قوة صفرًا. مع مقاومة تربيعية C v² ووزن للأسفل Mg، بتجاهل الطفو نحصل على vt=sqrt(Mg/C). كرتان متطابقتان تقريبًا يشاركان معامل المقاومة C؛ مضاعفة الكتلة تضاعف السرعة الحدية بمقدار sqrt(2). إذا كان الطفو مهمًا، استبدل Mg بـ (M−ρfluid V)g. نموذج مقاومة خطي يعطي بدلاً من ذلك مقياس كتلة مختلف. حدد قانون المقاومة المحدد وقارن توازن القوى، ولا تنقل معادلة بين النماذج.

مثال مدقق

قرص صلب يدور دون انزلاق: I=MR²/2 يعطي طاقة دوران K=¼Mv²، وطاقة انتقال K=½Mv² وكسر الدوران 1/3. مركب خشب-حجر يُزاح في البداية 0.60V من خلال الخشب وحده. إذا كان للحجر حجم 0.10V وتم غمره بالكامل تحت الماء، فإن حجم الخشب المغمور المطلوب هو 0.50V. يبقى الحجم الكلي المُزاح 0.60V.

خطأ شائع

استخدم عزم القصور الذاتي حول نقطة الارتكاز المختارة. في الطفو، اشمل حجم الحجر المزاح بالإضافة إلى وزنه. يتطلب السرعة الحدية قانون مقاومة محدد.

CM.3 · التسارع المقترن والحركة النسبية

• لكتلة m1 على طاولة أفقية غير محتكة متصلة عبر بكرة مثالية عديمة الكتلة بكتلة معلقة m2، اختر حركة الطاولة والحركة الرأسية للأسفل كموجبة. خيط مشدود غير قابل للتمدد يعطي مقدار تسارع واحد. اكتب T=m1a و m2g−T=m2a. بجمع المعادلتين يُستبعد الشد الداخلي، فتكون a=m2g/(m1+m2) و T=m1m2g/(m1+m2). وبالتالي T<m2g عندما تكون الكتل موجبة. مساواة الشد بالوزن المعلق تفترض صامتاً تسارعاً صفراً.
• افتراض الشد المشترك يتطلب خيطاً مثالياً عديم الكتلة وبكرة ذات احتكاك وقصور دوراني مهميل. البكرة ذات القصور الدوراني قد يكون لها شد مختلف، حيث (T2−T1)R=Iα و a=Rα إذا لم ينزلق الخيط. ارسم كل جسم على حدة: قوة داخلية للنظام المدمج تظل قوة خارجية لجسم واحد مختار. قوى القيد قد تتلاشى من معادلة النظام بينما لا تزال مطلوبة للحركة الفردية.
• لإطارين مرجعيين قصوريين بسرعة نسبية ثابتة V، تحويل سرعات غاليلي هو v_relative=v_ground−V. الحمولة التي تُفلت من طائرة أفقية تبدأ بسرعة أفقية للطائرة. مع إهمال مقاومة الهواء، تظل السرعة الأفقية للأرض ثابتة وتصبح السرعة الرأسية −gt إذا كانت الاتجاه لأعلى موجباً. بالنسبة لتلك الطائرة، السرعة الأفقية صفر والسرعة لأسفل هي gt. الموقع مسألة مختلفة: الإزاحة الرأسية هي −½gt². لا تخلط بين سرعة الأرض والسرعة النسبية.
• تحقق من الحالات الحدية بعد الحل. كلما اقتربت m1 من الصفر، يقترب التسارع المرتبط المثالي من g ويقترب الشد من الصفر؛ وكلما كبرت m1 جداً، يقترب التسارع من الصفر ويقترب الشد من m2g من الأسفل. اشتقاق الطاقة يعطي m2g s=½(m1+m2)v² للإفلات من السكون وبكرة مثالية، مما يتوافق مع v²=2as. هذا التوافق يفحص المعادلات؛ لكنه لا يسمح بحفظ الطاقة إذا كان الاحتكاك أو شغل آخر غير محسوب موجوداً.

مثال مدقق

مع m1=3 kg، m2=2 kg و g=10 m/s²، التسارع هو 4 m/s² والتوتر هو 12 N، أقل من وزن التعليق 20 N. من السكون بعد هبوط مسافة 0.5 m، v²=2·4·0.5=4، إذن v=2 m/s. حمولة تُطلقها طائرة بسرعة أفقية ثابتة 80 m/s لها سرعة أرضية (80,−30) m/s بعد 3 s، لكن السرعة النسبية (0,−30) m/s.

خطأ شائع

البكرة المثالية عديمة الكتلة تساوي الشد، وليس الشد والوزن. اطرح سرعات الإطار مركباً بمركب قبل حساب مقدار السرعة.

EM.1 · تراكب الكهرباء الساكنة، والتدفق، والموصلات

• لشحنة نقطية Q عند الموضع r0، E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). اجمع المتجهات، لا مقادير المجال. لشحنتين موجبتين تجذبان إلكترونًا، تكون القوى في نفس الاتجاه مضافة؛ وفي اتجاهات معاكسة مطروحة؛ وتتكون المركبات المتعامدة باستخدام نظرية فيثاغورس. عرّف نقطة المراقبة واتجاه كل قوة أولاً. الجهد هو المجموع القياسي V=ΣQ/(4πε0r) مع الصفر عند اللانهاية. جهد صفر لا يعني عمومًا مجالًا صفرًا، لأن E=−∇V.
• قانون غاوس هو التكامل السطحي المغلق ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. يحدد هذا القانون مجلاً محلياً ببساطة فقط عندما يجعل التماثل المجال العمودي منتظماً أو يجعل مساهمات التدفق الأخرى معدومة. شحنة قريبة من مستوى لانهائي ترسل نصف تدفقه الكلي عبر ذلك المستوى مقداراً: المستوى يشغل زاولة صلبة 2π من أصل 4π. النتيجة مستقلة عن المسافة والموضع الأفقي، لكن إشارتها تعتمد على اتجاه الناظم المختار وإشارة الشحنة. المستوى المفتوح لا يحيط بشحنة؛ استخدام صيغة سطح مغلق له أمر غير صحيح.
• في الاتزان الإلكتروستاتيكي، يكون المجال الكهربائي داخل المادة الموصلة صفراً وللموصل جهد ثابت. ضع شحنة Q في مركز قشرة كروية موصلة نصف قطرها الداخلي a ونصف قطرها الخارجي b وشحنتها الصافية q. يتطلب سطح غاوس داخل المادة شحنة سطحية داخلية −Q، لذا تكون الشحنة السطحية الخارجية q+Q. يجعل التماثل الكروي المجال الخارجي وكأنه ناتج عن مجموع Q+q عند المركز. جهد المادة (مع الصفر عند ما لا نهاية) هو (Q+q)/(4πε0b)، وهو مستقل عن نصف قطر رصد المادة.
• في التجويف الخاص بتلك القشرة ذات الشحنة المركزية، يكون المجال Q/(4πε0r²) شعاعياً من أجل 0<r<a. يتضمن الجهد كل من مساهمة الشحنة النقطية ومساهمات القشرة الثابتة؛ ويحدث الاستمرارية عبر كل سطح حتى لو كان هناك قفز للمجال العمودي عند شحنة سطحية. حافظ على فصل التجويف ومادة الموصل والخارج. الشحنة غير المركزية لا تزال تحرض شحنة داخلية كلية −Q، لكن مجال تجويفها لم يعد بعد ذلك مجرد مجال شعاعي مركزي بسيط. يتبع مجال الموصل الداخلي الصفري الاتزان، وليس افتراضاً بأن توزيع شحنة السطح موحد.

مثال مدقق

خُذ Q=+2 nC، وشحنة القشرة الصافية q=−1 nC، وb=0.30 m. الشحنة السطحية الداخلية هي −2 nC؛ والشحنة السطحية الخارجية هي +1 nC. باستخدام 1/(4πε0)=9×10⁹، يكون الجهد في جميع أنحاء المادة الموصلة 30 V، بينما يكون مجاله صفراً. بشكل منفصل، تتحد مركتا الجذب 3 N أفقياً و4 N رأسياً لتعطي المقدار 5 N، وليس 7 N.

خطأ شائع

لا تخلط بين نتيجة نصف التدفق للمستوى المفتوح والشحنة المحصورة. إن مجال الموصل الصفري يثبت جهداً ثابتاً، وليس بالضرورة جهداً صفرياً.

EM.2 · طاقة الدوائر، الحث وحركة الجسيمات المشحونة

• لمدارات المقاوم المثالية المستقرة، تضاف المقاومات على التوالي وتُضاف المواسعات (الممانعة العكسية) على التوازي. قلل الشبكة مع الحفاظ على العقد التي تشترك في نفس الجهد. مع مصدر 24 V ومقاومة على التوالي 2 Ω وفرعين على التوازي 3 Ω و6 Ω، فإن المكافئ التوازي هو 2 Ω. التيار الكلي هو 6 A، وجهد الفرع هو 12 V، وتيارات الفروع هي 4 A و2 A. ليس بالضرورة أن يكون التيار المار في كل مكون هو التيار الكلي؛ تحقق من مجموعتي كيرشوف للتيار والجهد بعد التخفيض.
• للتيار الجيبي I=Imax sin(ωt−φ)، Irms=Imax/sqrt(2). دائرة RLC متسلسلة لها ممانعة مقدارها sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) وقدرة متوسط استهلاك Irms²R=Vrms Irms cosφ. محثات/مكثفات مثالية تتبادل الطاقة المخزنة بدون فقد متوسط. إذا كان تيار RMS معطى بالفعل، فلا تدرج عامل آخر 1/2. ثنائي تصحيح مثالي يمرر التيار في اتجاه الأمام ويمنعه في الخلف: ثنائي متصل على التوالي بشكل مناسب يقص النصف السلبي لجهد المقاورة الجيبية؛ ولا يخلق مستحيز موجي كامل بمفرده.
• التدفق المغناطيسي هو ∫B·dA، أو BA cosθ لحقل منتظم حيث θ تُقاس من ناظم المساحة. القوة المحركة الكهربية لفاراداي هي −N dΦ/dt. بالنسبة لحقل عمودي متغير وهندسة حلقة ثابتة، يكون مقدارها المتوسط NA|ΔB|/Δt. حدد الإشارة أو اتجاه التيار باستخدام المعارضة لتغير التدفق، وليس المعارضة للحقل نفسه. الحقل المغناطيسي في مركز حلقة دائرية واحدة هو μ0I/(2R)، تم الحصول عليه من بيو-ساڤار: يساهم كل عنصر في نفس الاتجاه المحوري. ملف مكثف عدد لفاته N يضرب هذه النتيجة في N.
• لجسيم مشحون غير نسبي سرعته عمودية على مجال مغناطيسي منتظم B، قوة مغناطيسية |q|vB توفر القوة المركزية mv²²/r. وبالتالي r=mv/(|q|B) والتردد الزاوي للدورة هو |q|B/m، وهو مستقل عن السرعة في هذا التقريب. إشارتا الشحنة تحددان اتجاه الدوران. الديوترون كتلته ضعف كتلة البروتون تقريباً ونفس شحنته، بينما جسيم ألفا كتلته أربعة أضعاف كتلة البروتون وشحنته ضعفها؛ تردد كل منهما نصف قيمة البروتون. في حقول E وB المتقاطعة، يتطلب الحركة دون انحراف أن تكون القوى الكهربائية والمغناطيسية متعاكسة وأن v=E/B. تحقق من اتجاهات المتجهات قبل استخدام هذه القيمة المطلقة.

مثال مدقق

في شبكة 24 V، 2 Ω على التوالي مع (3 Ω على التوازي 6 Ω) يعطي إجمالي 4 Ω، تيار 6 A وتيار فرع 6 Ω هو 2 A. ملف عدد لفاته 100 ومساحة 0.020 m² له ارتفاع مجال عمودي 0.030 T في 0.10 s: مقدار القوة الدافعة الكهربائية المتوسطة هو 0.60 V. مختار سرعة مع E=6000 V/m و B=0.20 T يختار سرعة 30000 m/s.

خطأ شائع

لا تطبق جهد البطارية على كل فرع أو ضاعف قدرة تيار الجذر التربيعي للمتوسط المربع (rms) مرة أخرى. زاوية التدفق تستخدم العمودي على المساحة؛ يحتاج المحدد أيضاً اتجاهات قوى متعاكسة.

EM.3 · موجات ماكسويل، تدفق الطاقة وشروط الحدود

• قانون أمبير-ماكسويل في الفراغ هو ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). يعتمد الحد المضاف لتيار الإزاحة على معدل تغير التدفق الكهربائي عبر السطح المختار. يضمن ذلك نتائج متسقة لحلقة يكون سطحها الممتد إما يقطع سلك مكثف أو يمر بين صفيحه. تيار الإزاحة ليس تدفقاً مغناطيسياً ولا تكاملاً للتدفق الكهربائي السابق. لحقل لوح منتظم، مساهمة الفجوة هي ε0A dE/dt؛ تتبع الإشارات السطح الموجه.
• في عازل متجانس خطي بلا خسارة مع نفاذية مغناطيسية μ وتسامح ε، تعطي معادلات ماكسويل سرعة موجة v=1/sqrt(με) ومعامل انكسار n=c/v=sqrt(μrεr). للمواد غير المغناطيسية μr≈1، لذا v=c/sqrt(εr). استخدم ثوابت المادة المعتمدة على التردد المذكورة عندما يكون التشتت مهماً؛ قد لا تصف ثابت العزل الساكن كل تردد بصري. موجات الفراغ لها E/B=c؛ في هذه المادة البسيطة العلاقة هي E/B=v.
• لموجة مستوية تنتشر على طول متجه الوحدة n، B=(n×E)/v. كلا الحقلين عموديان على الانتشار وعلى بعضهما البعض. طور kz−ωt ينتشر نحو +z، بينما kz+ωt ينتشر نحو −z. إذا كان E على طول x+y والانتشار +z، فإن B يكون على طول −x+y، لأن z×x=y و z×y=−x. متجه بوانتييه S=E×H (E×B/μ في هذه المادة) يشير إلى نقل الطاقة. في منطقة الإشعاع لجسيم مشحون متسارع، التدفق الطاقي خارجي من المصدر، وليس بالضرورة في اتجاه حركة الجسيم اللحظي.
• معادلة تباعد ماكسويل ∇·B=0 تعطي استمرارية المركبة العمودية لـ B عبر الواجهة: علبة حبوب رقيقة ليس بها شحنة مغناطيسية داخلها. قفز H المماسي مرتبط بالتيار السطحي؛ ولا يلزم أن ينعدم. تحت نموذج مايسنر للموصل المثالي الفائق مع B داخلي صفر، يجب أن تكون المركبة العمودية الخارجية عند الحدود صفرًا، تاركة أي B خارجي غير صفري مماسيًا للسطح. هذا الاستنتاج مشروط بالنموذج المعروض للداخلي الصفري؛ لا يتبع بفرض أن جميع المجالات الخارجية صفر. للكهرب الساكنة، يمكن لـ D العمودي أن يقفز بسبب الشحنة السطحية الحرة.

مثال مدقق

وسط غير مغناطيسي εr=9 له سرعة موجة c/3=1.0×10⁸ m/s. لموجة +z حيث E متناسب مع x+y، اتجاه المغناطيس هو −x+y و E×B يشير إلى +z. عند حدود مايسنر المستوية مع B داخلي صفر، قد يكون المجال الخارجي مماسيًا لكن لا يمكن أن يحتوي على مركبة عمودية غير صفرية.

خطأ شائع

تيار الإزاحة يستخدم التدفق الكهربائي المتغير. B الداخلي الصفري يثبت المركبة العمودية الخارجية، لا كل مركبة خارجية. ميّز بين انتشار الموجة وحركة الجسيم.

WO.1 · صدى دوبلر الصوتي وحدود الموجات الموقوفة

• بالنسبة للصوت في وسط ساكن، افصل بين حركة المصدر وحركة المراقب. عندما يقترب مصدر بسرعة u_s، يتقارب تباعد القمم الموجية وينتج تردد مستقبلاً f = c/(c−u_s) عند مراقب ثابت. وعندما يقترب مراقب من مصدر ثابت بسرعة u_o، يلتقي بعدد أكبر من القمم الموجية في الثانية ويقيس f(c+u_o)/c. تُقاس السرعات بالنسبة للوسط؛ الصيغ الخاصة بالمصدر والمراقب ليست متماثلة عند تبديل الأدوار. تحرك التراجع يعكس الإشارة المناسبة. تفترض هذه التعبيرات حركة دون صوتية على طول خط الانتشار.
• لجرس إنذار يتحرك نحو جدار عاكس ثابت بسرعة u، يستقبل الجدار أولاً f_wall = fc/(c−u). يحافظ الانعكاس من جدار ثابت على التردد في إطار الوسط. يقترب السائق المتحرك بعد ذلك من قمم الموجة العائدة ويستقبل f_echo = f_wall(c+u)/c = f(c+u)/(c−u). عند قيم صغيرة لـ u/c، يكون الانزياح النسبي تقريباً 2u/c، لكن التعبير الدقيق له بسط ومقام مختلفان. السطح العاكس المتحرك يحتاج إلى خطوة دوبلر خاصة به؛ لا تعيد استخدام نتيجة الجدار الثابت بشكل أعمى.
• عند نهاية أنبوب مفتوح مثالي، تكون إزاحة الهواء قمة (antinode) وتغير الضغط عقدة (node). عند طرف مغلق صلب، تكون الإزاحة عقدة والضغط قمة. لكلا الطرفين المفتوحين، يحتوي الطول L على n نصف موجة، مما يعطي f_n = nc/(2L)، حيث n=1,2,… . لطرف واحد مغلق، يحتوي على عدد فردي من ربع موجات، مما يعطي f_n=(2n−1)c/(4L). قد تحتاج الأنابيب الحقيقية إلى تصحيحات طرف؛ يستخدم نموذج GRE المثالي الطول المذكور دون اختراع تعديل.
• إغلاق أحد طرفي أنبوب كان مفتوحاً من كلا الطرفين يقلص تردده الأساسي للنصف ويترك فقط المضاعفات الفردية من هذا التردد الأساسي الجديد. كانت تردده القديمة مضاعفات صحيحة لـ c/(2L)، وهي مضاعفات زوجية لـ c/(4L)، لذا فلا واحدة منها تمثل تردداً مسموحاً في الطيف المثالي لطرف واحد مغلق جديد. هذا يختلف عن حذف التوافقيات الزوجية فقط مع الاحتفاظ بالتردد الأساسي القديم. عندما يبقى الوسط دون تغيير، تظل سرعة الموجة دون تغيير؛ يتغير التردد والطول الموجي معاً لإشباع هندسة الحدود الجديدة.

مثال مدقق

جرس إنذار 500 Hz يقترب من جدار ثابت بسرعة 10 m/s في هواء سرعته c=340 m/s. الصدى المسموع بواسطة السائق هو 500·350/330=530.3 Hz. بالنسبة لأنبوب مثالي طوله 0.85 m في نفس الهواء، فإن التردد الأساسي لكلا الطرفين المفتوحين هو 200 Hz، بينما يبدأ طيف طرف واحد مغلق بـ 100، 300، 500 Hz. لم يتم الاحتفاظ بأي من خطوط 200، 400، 600 Hz الأصلية.

خطأ شائع

الصدى يتطلب كلتا عاملَي دوبلر. تغيير الأنبوب يغلق طرفه يغير التردد الأساسي؛ تُحسب التوافقيات الفردية بدءاً من التردد الأساسي الجديد، وليس القديم.

WO.2 · الأدوات البصرية، فروق المسار والانكسار

• بالنسبة لتلسكوب فلكي مثالي مضبوط للرؤية المريحة عند ما لا نهاية، تُكوِّن العدسة الشيئية صورتها في المستوى البؤري وتجمع العدسة العينية الضوء الخارج. مسافة العدستين هي f_شيئية+f_عيونية؛ مقدار التكبير الزاوي هو f_شيئية/f_عيونية. ينتج التلسكوب المعتاد المكون من عدستين مقعرتين صورة مقلوبة، ممثلة بتكبير زاوي مسبق سالب تحت اتفاقية متسقة. تغيير مسافة الصورة النهائية يغير مسافة العدستين؛ لا تستخدم ضبط اللانهاية دون التحقق من الشرط.
• قوة التحليل R=λ/Δλ تصف أصغر فاصل طولي موجي يمكن تمييزه بالقرب من λ. لشبكة حيود مثالية في رتبة m مع N شق مضاء، R=mN. هذا معيار دقة، وليس مجرد صيغة الموقع الزاوي d sinθ=mλ. زيادة عدد الشقوق المضاءة تشحذ القمم الرئيسية؛ زيادة تباعد الشقوق يغير مواقعها الزاوية primarily. قياس λ=600 nm و Δλ=3 nm يعطي R=200، بغض النظر عن تحويل كلا الطولين إلى الأمتار لأن نسبتهما تستخدم وحدات مطابقة.
• يعتمد تداخل مايكلسون على الفرق في المسار البصري بين الذراعين. إذا احتوى أحد الذراعين خلية غاز بطول هندسي L وتغير معامل الانكلاق من n إلى 1 عند التفريغ، فإن المرور المزدوج يغير المسار بمقدار 2L(n−1). إذا مرت N أشرطة، فإن مقدار هذا التغير هو Nλ، لذا n−1=Nλ/(2L). بالنسبة للمرآة المتحركة بدلاً من ذلك، الإزاحة Δx تعطي تغير مسار 2Δx. عدد الأشرطة يحسب دورات الطور؛ شريط واحد هو طول موجي واحد للمسار البصري، وليس طول موجي واحد لحركة المرآة.
• قانون سنيل n1 sinθ1=n2 sinθ2 يستخدم الزوايا من عمود السطح المحلي. الانعكاس له زوايا دخول وخروج متساوية من نفس العمود. في كتلة مستطيلة، أعمدة الوجوه المجاورة متعامدة: زاوية السقوط المقاسة من عمود ما هي مكملة لزاية نفس الشعاع من العمود الآخر. ارسم الشعاع والأعمدة قبل التعويض. بالنسبة للسقوط من معامل n إلى الهواء، يحدث الانعكاس الكلي الداخلي فقط عندما sinθ>1/n؛ المساواة تمثل الحالة الحرجة الغاشية. يجب أن يحقق الشعاع المنكسر جزئيًا المذكور شرط الانتقال.

مثال مدقق

تلسكوب برؤية مريحة له مسافة عدسات تساوي 80 سم وطول بؤري لعينية 16 سم. طول بؤري شيئي له 64 سم ومقدار التكبير هو 4. إخراج خلية غاز بطول 5 سم يسبب 80 أهداب عند طول موجي 500 نانومتر: n−1=80·500×10⁻⁹/(2·0.05)=0.0004. معامل انكسار الغاز الأولي هو 1.0004، وليس 1.0008.

خطأ شائع

استخدم المسار البصري، ليس مجرد المسافة الهندسية. تقاس زوايا الانكسار من عمود السطح الفعلي، وجمع أطوال بؤرة التلسكوب يفترض وجود صورة نهائية عند اللانهاية.

WO.3 · تناظر فورييه وتراكب الموجات

• لدالة حقيقية 2-دورية منتظمة بما يكفي f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. المعاملات هي a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx و b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx، مع a0 باستخدام n=0. دوال جيب وجيب التمام متعامدة على دورة كاملة. المتوسط هو a0/2، وليس a0؛ احتفظ بالحد الثابت حتى لو اختفت جميع معاملات التردد غير الصفري من إحدى العائلتين.
• إذا كانت f زوجية بالنسبة للمبدأ المختار، فإن f(x)sin(nx) فردية وتكاملها المتماثل يساوي صفراً، لذا تختفي جميع b_n. إذا كانت f فردية، فإن متوسطها وجميع a_n تختفي. التماثل يعتمد على المبدأ: إزاحة نفس الإشارة الفيزيائية يمكن أن تخلط معاملات الجيب وجيب التمام مع ترك تردداتها التوافقية دون تغيير. يمكن لذلك لشكل موجي مثلثي غير سالب متماثل حول x=0 أن يحتوي على توافقيات جيب التمام ومتوسط غير صفري بدون أي توافقيات جيب.
• تمديد الدالة f(x)=|x| على [−π,π] لتصبح 2-دورية، متوسطه هو π/2. تكامل x cos(nx) بالتجزئة على [0,π] يعطي a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²)، لذا معاملات جيب التمام ذات n الزوجي تساوي صفراً ومعاملات n الفردية هي −4/(πn²). جميع معاملات الجيب تساوي صفراً. تناقص 1/n² يعكس دالة متصلة مع عدم استمرارية في الميل. عدم الاستمرارية القفزية غالباً ما يعطي تناقصاً أبطأ للمعاملات وتجاوزاً في المجموع الجزئي؛ لا تستنتج نفس سلوك التقارب لكل شكل موجي.
• مجموع فورييه يجمع السعات مع أطوارها. بالنسبة لسعات أحادية اللون متجانسة متساوية A تلتقي بفرق طور φ، مربع السعة المحصلة هو 2A²(1+cosφ)، لذا الكثافة هي 2I0(1+cosφ). إنها 4I0 في الطور وصفر عند φ=π. متوسط عدم التجانس يزيل الحد المتبادل، مما ينتج 2I0. التوافقيات ذات الترددات المختلفة يمكن أن تشكل شكلاً عبر الزمن؛ مجموعها اللحظي ليس مجموع كثافاتها الفردية. حدد ما إذا كان السؤال يتعلق بشكل موجي أو قدرة متوسطة زمنياً أو تداخل متجانس.

مثال مدقق

بالنسبة لتمديد f(x)=|x| دوريًا، التقريب الأول لجيب التمام هو π/2−(4/π)cos x. إنه زوجي وله معاملات جيب صفرية. عند x=0 يعطي π/2−4/π≈0.298، وهو يقترب من القيمة الدقيقة 0 كلما أضفت المزيد من حدود جيب التمام الفردية. موجتان متساويتان متجانستان بفرق طور π/2 لهما كثافة 2I0؛ حقولهما لا تلغي بعضها البعض تمامًا.

خطأ شائع

التناظر الزوجي يلغي معاملات الجيب، ولا يلغي الحد الثابت أو كل توافق جيب التمام. تحقق من نقطة الأصل للتناظر وما إذا كانت الحقول متسقة قبل جمع الشدات.

TS.1 · عمليات الغاز، الإنتروبي والدورات العكوسة

• استخدم ΔU=Q−W، حيث Q هي الحرارة الداخلة للنظام وW هو الشغل المبذول منه. شغل الحدود شبه الساكن هو ∫P dV، ويكون موجباً أثناء التمدد. لكمية ثابتة من الغاز المثالي، تعتمد الطاقة الداخلية فقط على درجة الحرارة. عند حجم ثابت W=0، لذا ΔU=Q؛ لعملية غاز مثالي متساوية الحرارة ΔU=0، لذا Q=W. العملية الأدياباتي تعني Q=0، وليست درجة حرارة ثابتة. خلال دورة كاملة، يعود النظام إلى حالته الأصلية وتكون ΔU=0، لذا الحرارة الصافية تساوي الشغل الصافي حتى لو كانت transfers الحرارة الفردية مختلفة.
• للتمدد الأدياباتي العكسي لغاز مثالي، يكون PV ثابتاً. مع ثوابت السعة الحرارية، تتبع المسار الأدياباتي العكسي العلاقة PV^γ=ثابت، حيث γ=Cp/Cv>1؛ عبر نفس الحالة الابتدائية، ينخفض الضغط بشكل أسرع مع زيادة الحجم. المسار المتساوي الضغط يكون أفقياً على مخطط P–V. الدورة المغلقة المتجهة مع عقارب الساعة لها ∮P dV موجبة؛ عكس الاتجاه يغير الإشارة. للحلقة المستطيلة، المقدار هو ΔPΔV، وللمثلث نصف مساحة مستطيل الإحاطة المقابل. استخدم Pa و m³ للجول، لا قيمة اللتر غير المحولة.
• للانتقال الحراري العكسي، dS=δQ_rev/T؛ الإنتروبيا دالة حالة بينما الحرارة تعتمد على المسار. عملية عكسية للنظام والمحيط لها صفر تغير إنتروبي كلي، لكن إنتروبيا النظام وحدها يمكن أن تزداد أو تنقص. العمليات اللاعكسية التلقائية تنتج إنتروبيا كلية غير سالبة. التمدد الأدياباتي العكسي يزيد إنتروبيا الغاز بمقدار nR ln(V2/V1)؛ يفقد الخزان نفس الكمية. العكسية لا تتطلب درجة حرارة نظام ثابتة، أو شغل صفري، أو تغير صفر في الطاقة الداخلية.
• محرك عكسي بين TH وTC له كفاءة W/QH=1−TC/TH. مبرد عكسي بدلاً منه له COP=QC/W=TC/(TH−TC)، ومضخة حرارية لها QH/W=TH/(TH−TC). استخدم درجات الحرارة المطلقة بالكلفن. على مخطط T–S العكسي، مقدار الحرارة على طول خط متساوي الحرارة هو T مضروباً في التغير الإنتروبي؛ مساحة مستطيل كارنو هي مقدار الشغل. التبريد ينقل الحرارة من البارد إلى الساخن باستهلاك الشغل، بعكس دورة المحرك. يمكن أن يتجاوز COP الواحد دون انتهاك الحفظ لأن الحرارة المنقولة ليست مزودة حصراً بالشغل.

مثال مدقق

مستطيل P–V متجه مع عقارب الغلاف 1×10⁵ إلى 3×10⁵ باسكال و0.001 إلى 0.004 م³. الشغل والحرارة الصافية الداخلة هما 600 جول. عكسه يعطي −600 جول. يعمل مبرد كارنو عند TC=280 كلفن وTH=300 كلفن مع انتقال إنتروبي 2 جول/كلفن: QC=560 جول، QH=600 جول، شغل الإدخال=40 جول وCOP=14.

خطأ شائع

صفر إنتاج إنتروبي كلي لا يعني صفر تغير إنتروبي للنظام. يستخدم المبرد TC/(TH−TC)، وليس معادلة كفاءة المحرك.

TS.2 · توزيعات السرعات ومجموعات إحصائية

• لكثافة احتمال سرعة مستمرة f(v)، f(v)dv تقريب الاحتمال في فترة ضيقة و∫from0to∞ f(v)dv=1. الكثافة لها وحدات عكس السرعة وليست احتمالا بحد ذاتها. إذا كان P(v)dv يعد الجسيمات في تلك الفترة، فإن مساحتها هي عدد الجسيمات N وf=P/N. شبه منحرف يرتفع على عرض v0، يبقى مسطحاً على عرض 2v0، ثم ينخفض على عرض v0 له مساحة 3av0 لارتفاع a. طبع بالمساحة قبل حساب متوسط أو تفسير ارتفاع مرسوم بيانياً.
• في غاز متوازن متجانس دون تدفق جماعي، تكون توزيعات كل مركبة من السرعة متماثلة، لذا ⟨v_vector⟩=0. السرعة v=|v_vector| غير سالبة ولها متوسط موجب. بالنسبة لغاز مثالي كلاسيكي، يكون كثافة ت_distribution Maxwell للسرعة متناسباً مع v²exp[−mv²/(2kBT)]. وقيمته الأكثر تكراراً (mode) هو sqrt(2kBT/m)، ومتوسطه هو sqrt(8kBT/(πm))، وسرعته الجذرية التربيعية هي sqrt(3kBT/m). هذه كميات مختلفة. عامل v² يجعل كثافة السرعة صفراً عند v=0، على الرغم من أن كثافة متجه السرعة تكون أكبر عند المتجه صفر.
• لتوزيع مستمر، فإن احتمال سرعة محددة تماماً يساوي صفراً؛ الاحتمالات غير الصفرية تتعلق بفترات. لا يفيد هذا أنه لا توجد جسيمات بسرعات صغيرة جداً، أو أن كاشف ذو دقة محدودة لا يمكنه تسجيل خانة صفر. يغير درجة الحرارة مقياس توزيع Maxwell: السرعات المميزة تتناسب مع sqrt(T/m). مضاعفة درجة الحرارة لا تضاعف السرعة، والجسيمات الأثقل أبطأ متوسطاً عند نفس درجة الحرارة.
• في مجموعة قنونية عند درجة حرارة T، الحالة ذات الطاقة E_i وزنها exp(−E_i/(kBT)). اقسم على دالة التقسيم Z=Σexp(−E_i/(kBT)) للحصول على الاحتمالات. إذا كان لمستوى طاقة انحلال g_i، فإن احتمال المستوى هو g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. تساوي الطاقة للحالة لا يعني تساوي الاحتمال للمستوى عندما تختلف الانحلالات. لمستوى أرضي بانحلال 1 ومستوى مثار بانحلال 2 عند Δ=kBT ln2، الوزن الكلي للمستوى المثار هو 2e^(−ln2)=1: كل من المستويين له احتمال 1/2. افتراضات Maxwell–Boltzmann الكلاسيكية تختلف عن اشغالات Bose–Einstein وFermi–Dirac الكمومية.

مثال مدقق

شبه منحرف لكثافة العدد لديه N=90 جسيمات، v0=2 م/ث وعرض مستوى 2v0. مساحته 3av0، مما يعطي a=15 جسيم لكل وحدة سرعة. لمجموعة المستويين مع الانحلال 1 و2 والفارق kBT ln2، Z=2 واحتمال المستوى المثار هو 1/2. كل حالة مثارة فردية لها احتمال 1/4.

خطأ شائع

ارتفاع الكثافة ليس احتمالا. متوسط السرعة، ومتوسط السرعة القياسية، والقيمة الأكثر تكراراً تختلف؛ يجب تضمين الانحلال قبل تطبيع احتمالات المستويات.

LM.1 · إحصاء العد، عدم اليقين والنماذج الأبعادية

• بالنسبة لـN جسيم ساقط مستقل يتم كشفه باحتمال p، يكون العد X بتوزيع Binomial: متوسط Np وتباين Np(1−p). الانحراف المعياري هو sqrt[Np(1−p)]، وليس التباين نفسه. مع N كبيرة وp صغيرة، تقريب Poisson له متوسط λ=Np وتباين λ، إذن انحراف sqrt(λ). بالنسبة لـN=200 وp=0.05، المتوسط الدقيق هو 10 والانحراف sqrt(9.5)≈3.08، بينما Poisson يعطي sqrt(10)≈3.16. لا يضمن أي نموذج عداً ثابتاً. الاكتشافات المترابطة أو وقت الموت قد تلغي الاستقلالية.
• لدالة مقاسة ناعمة y(x1،...)، قم بالتقريب الخطي للتغيرات باستخدام مشتقاتها الجزئية. تتجمع عدم اليقين الصغيرة المستقلة تربيعياً: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². المدخلات المترابطة تتطلب حدوداً متقاطعة للتغاير. بالنسبة لـy=x^a، عدم اليقين النسبية للانحراف المعياري هي تقريباً |a|σ_x/|x|. لذلك الطاقة الحركية K=½mv² مع عدم يقين كتلة مهمل يكون عدم اليقين النسبي ضعف ذلك الخاص بالسرعة. مع عدم يقين الكتلة المستقل، اجمع (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². تحتاج هذه التقديرات لأخطاء صغيرة ونموذج خطي محلي مناسب.
• التشتت العشوائي يقيس الدقة؛ تحيز معايرة شائع يؤثر على الدقة ولا يختفي بمتوسط التكرارات. للقراءات المكررة المستقلة، ينخفض عدم اليقين المعياري للمتوسط بمقدار 1/sqrt(n)، لكن الخطأ المنهجي المشترك لا. عدم اليقين للانتشار الفيزيائي وعدم اليقين لمتوسطه المقدر كميات مختلفة. حدد ما إذا كانت النسبة المئوية المذكورة هي عدم يقين معياري أو فترة ثقة أو حد أسوأ. جمع المساهمات المطلقة هو حد محافظ، وليس قاعدة التربيع لأخطاء المعيار المستقلة.
• التحليل البعدي يساوي أسس الكتلة والطول والزمن، بدلاً من الأحجام العددية. بالنسبة لصيغة طول بلانك G^a ℏ^b c^d، الأبعاد هي [G]=L³/(MT²)، [ℏ]=ML²/T و[c]=L/T. بتطلب الطول نحصل على −a+b=0، 3a+2b+d=1 و−2a−b−d=0. ومنه a=b=1/2 وd=−3/2، لذا الطول هو sqrt(Gℏ/c³). لا يستطيع التحليل البعدي تحديد معامل بلا أبعاد عشوائي أو إثبات أن الثوابت المختارة كافية فيزيائياً. ارفض الصيغة ذات الوحدات الخاطئة قبل إدخال الأرقام.

مثال مدقق

بالنسبة لـN=200 وp=0.05، العد المتوقع للكاشف هو 10 مع انحراف معياري sqrt(9.5). إذا كانت السرعة بها 4% عدم يقين معياري صغير وعدم يقين الكتلة مهمل، فإن عدم يقين الطاقة الحركية هو تقريباً 8%. تعطي الأسس البعدية (1/2,1/2،−3/2) قوة كتلة صفر وطول واحد وقوة زمن صفر لجذر (Gℏ/c³).

خطأ شائع

لا تخلط بين المتوسط الحسابي والعدد المضمون، أو التباين والانحراف المعياري، أو الخطأ المعياري العشوائي وانحياز المعايرة. الاتساق البعدي ضروري ولكنه غير كافٍ.

RA.1 · عمر النسبية، الطاقة وانزياح دوبلر

• بالنسبة للسرعة النسبية v، عرّف β=v/c و γ=1/sqrt(1−β²). يُقاس الزمن الصحيح على طول خط عالم الجسيم بواسطة ساعة في حالة سكون معه. إذا كان متوسط عمره الصحيح هو τ0، فإن متوسط عمره في المختبر هو γτ0 ومتوسط المسافة المقطوعة هو vγτ0 عند سرعة ثابتة. التحلل عملية إحصائية؛ فمتوسط العمر ليس وقت تحلل مضمونًا لكل جسيم. عند β=0.8، يكون γ=5/3. احسب أحداث الزمكان بشكل متسق في إطار واحد؛ فالزمن الصحيح والزمن الإحداثي كميتان مختلفتان.
• الطاقة الكلية هي E=γmc²، والزخم p=γmv والثابت هو E²−p²c²=m²c⁴. عندما تُعبّر عن E وpc بوحدات طاقة متساوية، أوجد mc²=sqrt(E²−(pc)²)، وليس E−pc. الجذر التربيعي غير السالب مطلوب للكتلة الساكنة الموجبة. بالنسبة لـ E=13 GeV و pc=12 GeV، تكون الطاقة الساكنة 5 GeV والكتلة 5 GeV/c². الجسيم عديم الكتلة له E=pc ولكن لا يشترط أن يكون طاقته أو زخمه صفراً. تتعلق هذه العلاقات بعزم رباعي للجسيم المعزول، وليس بـ mv الكلاسيكية عند السرعة النسبية.
• الشغل المبذول لتسريع جسيم من السكون يساوي الطاقة الحركية K=E−mc²=(γ−1)mc². عند β=0.6، يكون γ=1.25 و K=0.25mc²، بينما يعطي النموذج الكلاسيكي ½mv² قيمة 0.18mc². الطاقة الحركية الكلاسيكية هي توسع منخفض السرعة وتصبح غير دقيقة بالقرب من c. إن الشغل المنجز لتسريع محدود يزيد من γ بدلاً من السماح لجسيم ذري بتوصيل أو تجاوز سرعة c. حافظ على التمييز بين الطاقة الكلية والطاقة الساكنة والطاقة الحركية عند تفسير وحدات الإجابة.
• للانحياز النسبي الطولي الخالص في النسبية الخاصة، نسبة الطول الموجي r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). بإعادة الترتيب نحصل على β=(r²−1)/(r²+1). نسبة r=2 تعطي β=3/5، وليست c times r−1 من تقريب السرعة المنخفضة. الانزياح الأزرق يستخدم r<1 ومعامل انحياز سلبي تحت هذه الاتفاقية. تفترض الصيغة أن الانزياح ديناميكي بالكامل؛ التوسع الكوني أو الانزياح الأحمر الجاذبي يتطلب نموذجًا مختلفًا. نصّ النموذج المطلوب في السؤال قبل تفسير نسبة طيفية.

مثال مدقق

لجسيم عمر صحيح متوسط 3 ميكروثانية ويتحرك بسرعة 0.8c. عمره في المختبر هو 5 ميكروثانية ومتوسط المسافة المقطوعة هو 0.8·3×10⁸·5×10⁻⁶=1200 متر. نسبة طول موجي طولي 2 تعني سرعة انسحاب 0.6c. جسيم لطاقة كلية 13 GeV و pc=12 GeV لديه طاقة ساكنة 5 GeV.

خطأ شائع

لا تستخدم العمر الصحيح كزمن مختبر، ولا اطرح pc من E لإيجاد الكتلة الساكنة، ولا تطبق تقريب دوبلر الكلاسيكي على نسبة طول موجي كبيرة.

AT.1 · الإلكترونات الضوئية، الكتلة المخفضة والإثارة الذرية

• الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات الضوئية هي Kmax=hν−ϕ عند تردد فوتون أعلى من العتبة ν0=ϕ/h. مقدار جهد الإيقاف يحقق eVs=Kmax، لذا يكون Vs خطياً بالنسبة للتردد ν فوق العتبة. زيادة الشدة عند تردد ثابت يزيد عدد الفوتونات المتاحة وعادة ما يزيد التيار الضوئي، وليس الطاقة القصوى للإلكترونات الضوئية. تحت العتبة، لا يبعث النموذج البسيط أحادي الفوتون أي إلكترونات ضوئية بغض النظر عن الشدة. دالة العمل خاصية للسطح، وليست متناسبة مع تردد الإضاءة.
• تنشأ الأشعة السينية المميزة عندما تملأ إلكترون شغافاً في غلاف داخلي، مشعراً فوتوناً مساوياً لفرق طاقة الغلاف. تعتمد خطوطها الحادة على ذرات الهدف. ينشأ الإشعاع الكبحي (Bremsstrahlung) من إبطاء الإلكترونات عالية الطاقة في المجالات الكهربائية النووية وينتج خلفية مستمرة، حيث يتم تحديد نقطة نهاية الطاقة بطاقة الإلكترون الساقط. يمكن ظهور خلفية مستمرة وخطوط منفصلة معاً؛ لا يستبعد وجود أحدهما الآخر. تختلف هذه الآليات عن الفلورة المرئية وتشتت الفونونات والتقاط الجسيمات.
• لذرة ثنائية الجسم شبيهة بالهيدروجين، استبدل كتلة الإلكترون بالكتلة المختزلة μ=m_eM/(m_e+M). في نموذج كولوم البسيط، تتدرج مستويات الطاقة حسب −μZ²/n²، لذا تتدرج الترددات الطيفية حسب μZ² والطول الموجي عكسياً. بالنسبة للبوليترونيون M=m_e، μ=m_e/2 وثابت ريدبرج له نصف قيمة كتلة النواة اللانهائية. بالنسبة لنواة ثقيلة يقترب μ من m_e. في الذرات متعددة الإلكترونات، استخدم ملء المدارات وقاعدة هوند بدلاً من نموذج الهيدروجين: يتم ملء المدارات المتساوية الطاقة فردياً مع دوران متوازي قبل الاقتران. يعطي الكربون 2p² إلكترونين غير مقترنين ودوران كلي S=1؛ ويعطي الأكسجين 2p⁴ إلكترونين غير مقترنين أيضاً وS=1. المجموعات المملوءة تساهم بدوران صافي صفر.
• في تجارب فرانك-هيرتز، تفقد الإلكترونات المسرعة طاقتها من خلال الإثارة اللامرنة بمجرد الوصول إلى عتبة ذرية. تكرار انخفاض التيار أو تباعد الذروات في جهد التسريع يمكن بالتالي تحديد نفس طاقة الإثارة المفقودة مرة أو مرتين أو أكثر. تباعد ΔV يتوافق مع طاقة eΔV؛ الذروات عند 4,8,12 V لا تمثل بالضرورة ثلاث طاقات مستويات مثارة منفصلة. يمكن للجهد التلامسي والمجالات المثبطة أن تحرك مواقع الذروة المطلقة، لذا استخدم التباعد وشروط الجهاز المعلنة. إذا عاد الذرة المثارة بفوتون واحد من تلك الطاقة، يكون الطول الموجي hc/(eΔV).

مثال مدقق

باستخدام h=4.136×10⁻¹⁵ eV·s، ضوء بتردد 8×10¹⁴ Hz له طاقة فوتون 3.3088 eV. مع دالة الشغل 2.0 eV، Kmax=1.3088 eV والقيمة المطلقة للإيقاف 1.3088 V. مسافة الإثارة 4 V تعطي 4 eV، وباستخدام hc≈1240 eV·nm، فوتون عودة بطول موجي 310 nm. أطوال موجات طيف البترون-إلكترون ضعف قيم الهيدروجين ذات الكتلة اللانهائية عند انتقالات مطابقة.

خطأ شائع

شدة التيار وجهد الإيقاف يجيبان عن أسئلة مختلفة. تضم الكتلة المخفضة والانحلال المداري، واستخدم مسافة فرانك-هرتز بدلاً من اعتبار كل قمة كمستوى طاقة جديد.

QM.1 · التشتت، الانحلال وعوامل باولي

• لجهد ثابت V وطاقة E>V، تكون الحلول المكانية عوامل انتشارية exp(±ikx)، حيث k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. عند خطوات محدودة بنفس كتلة الجسيم، تكون الدالة الموجية ومشتقتها الأولى متصلة. في مسألة تشتت بسقوط من اليسار وبدون شعاع قادم من اليمين، يحتوي الحل الأبعد يميناً فقط على العامل المنتشر يميناً Ae^(ikx). إذا عاد الحقل المحدود إلى جهد الخارج الأصلي، فإن رقم الموجة الخارجي المنقول يساوي الساقط، رغم اختلاف رقم الموجة الداخلي. تصف الحلول المتناقصة أسيًا مناطق E<V، وليس كل حقل محدد.
• For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.
• يتفكك متذبذ isotropic ثلاثي الأبعاد إلى أوضاع x,y,z بأعداد صحيحة غير سالبة n_x,n_y,n_z. طاقته هي (N+3/2)ℏω، حيث N=n_x+n_y+n_z. لجسيم واحد قابل للتمييز وعزم دوران صفر، الانحلال المكاني هو عدد مثل هذه الثلاثيات: (N+1)(N+2)/2. هذا يحسب التوزيعات المختلفة، وليس فقط التقسيمات غير المرتبة. بالنسبة لـ N=2، الحالتان الستة هي تبديلات (2,0,0) و(1,1,0). بالنسبة لـ N=3، الانحلال هو 10. قيود إضافية حول العزم الدوراني أو الجسيمات المتطابقة ستغير مسألة العد.
• مصفوفات باولي هي σ_x=[[0,1],[1,0]]، σ_y=[[0,−i],[i,0]]، σ_z=[[1,0],[0,−1]]. كل منها عند تربيعه يعطي الوحدة. الضرب المباشر يعطي σ_xσ_y=iσ_z و σ_yσ_x=−iσ_z، مما يعني أن مصفوفات باولي المختلفة لا تتبادل الإشارات (anticommute). المنتجات الدورية x→y→z تعطي i موجباً؛ عكس الترتيب يغير الإشارة. المتطابقة العامة هي σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. ترتيب المصفوفة مهم: σ_xσ_z=−iσ_y، وليس iσ_y أو ببساطة σ_y. هذه المصفوفات اللامقاسية تصبح عوامل الغزل S_i=ℏσ_i/2، مضافة وحدات فيزيائية ومعاملات.

مثال مدقق

عبر خطوة بدون خسارة مع k2=3k1، r=−1/2 و t=1/2. R=1/4، T=3·1/4=3/4 ومجموعهما يساوي واحداً. متذبذ isotropic عزم دوران صفر عند E=(9/2)ℏω له N=3 وانحلال 10. ضرب σ_x في σ_y يعطي diag(i,−i)=iσ_z.

خطأ شائع

احتمالية النقل تحتاج إلى نسبة تيار رقم الموجة. انحدار الاهتزاز يحسب triples الأوضاع المرتبة. لا عكس ترتيب مصفوفات باولي دون تغيير إشارتها.

SN.1 · الربط النووي، عائلات الجسيمات وحاملات هال

• طاقة الربط B هي الطاقة اللازمة لفصل نواة إلى نيوكليونات حرة مكونة لها، وتساوي عجز الكتلة المقابل مضروباً في c². طاقة الربط لكل نيوكليون B/A هي المقارنة ذات الصلة عبر أعداد الكتلة المختلفة؛ يمكن للنواة الأثقل أن تمتلك طاقة ربط كلية أكبر لكن طاقة ربط لكل نيوكليون أقل. يقع الحد الأقصى الواسع لـ B/A بالقرب من منطقة الحديد/النيكل. اندماج النوى الخفيفة وانشطار النوى الثقيلة جداً يمكن أن يحرر طاقة عندما يكون مجموع طاقة الربط للمنتجات أكبر. للتفاعل، Q=(كتلة الراحة الابتدائية − كتلة الراحة النهائية)c²؛ القيمة الموجبة لـ Q تعني تحرر الطاقة. قارن دائماً النظائر المحددة فعلياً والمنتجات النهائية، وليس فقط أسماء العناصر.
• الليبتونات مثل الإلكترونات والميونات والنيوترينوات ليست مكونة من كواركات مكونة في النموذج القياسي. الميون السالب شحنته −e ودورانه 1/2، كالإلكترون، لكنه يمتلك كتلة مختلفة وينتمي لعائلة نكهة أخرى؛ فهو ليس ميزوناً على الرغم من اسمه التاريخي. الهادرونات تحتوي على كواركات: الميزونات العادية لها كوارك واحد وأنتيكوارك واحد، والباريونات العادية لها ثلاثة كواركات. الباريونات المضادة المقابلة لها ثلاثة أنتيكواركات. هذه النماذج التصنيفية الأولية لا تعني أن كل جسيم مركب هو باريون أو ميزون بسيط.
• تحقق من الشحنة والطاقة والزخم ورقم الباريون وأرقام الليبتون ذات الصلة في عملية مقترحة. كواركات البروتون uud تجمع شحنة +e؛ النيوترون udd يجمع صفرًا. اضمحلال بيتا سالب n→p+e−+antineutrino يحافظ على الشحنة الكهربائية ويشمل antineutrino لموازنة رقم الليبتون والحركيات. كتلة الجسيم وحدها لا تصنفه ككوارك أو ليبتون أو هادرون. قد تتطلب عتبات التفاعل طاقة حركية beyond فرق كتلة الراحة الطارد للحرارة when other constraints apply.
• في موصل أحادي الحامل بسيط، قوة لورنتز المغناطيسية العرضية تبني مجالًا كهربائيًا لهال حتى تتوازن قوة الحامل العرضية. مع تناظر/اتفاقية إشارة معلنة، معامل هال هو R_H=1/(nq)؛ الشحنة السالبة q تعطي معاملًا سالبًا شبيهًا بالإلكترون، والشحنة الموجبة q تعطي معاملًا موجبًا شبيهًا بالثقوب. مقدار المقاومة النوعية وحدها يكشف عن هذه الإشارة. حدد اتجاهات التيار والمجال المغناطيسي والجهد بشكل متسق قبل قراءة القطبية الخام. أشباه الموصلات التي تساهم فيها الإلكترونات والثقوب معًا تتطلب نموذجًا ثنائي الحامل بوزن الحركة؛ المعامل البسيط لا يجب أن يساوي مقلوب كثافة الحامل الكلية.

مثال مدقق

إذا كان النواة A لديها B=24 MeV وA=4، فإن B/A الخاص بها هو 6 MeV؛ إذا كانت النواة B لديها B=80 MeV وA=10، فإن B/A الخاص بها هو 8 MeV رغم أن كليهما لديه طاقة ربط موجبة. شحنات الكواركات uud تجمع +e، udd تجمع 0. في عينة أحادية الحامل بكثافة n وشحنة −e، R_H=−1/(ne)؛ إشارة جهد هال الخام ذات معنى فقط مع اتجاهات ثابتة للسلك/المجال.

خطأ شائع

قارن الربط لكل نيوكليون، ليس فقط الربط الكلي. الميون هو ليبتون، وإشارة هال تتطلب اتفاقية القياس المعلنة ونموذج الحامل.

CM.4 · القيود، المعادلات المتغيرة والإحداثيات الدورية

• يزيل القيد إحداثياً مستقلاً قبل تكوين الطاقة الحركية. لقلّاء طوله ثابت اختر θ من الرأسي للأسفل: x=l sinθ و y=−l cosθ. باشتقاق الإحداثيين نحصل على v²=l²θdot²، وليس l² sin²θ θdot². إذن T=ml²θdot²/2 و V=mgl(1−cosθ)، مع جهد صفري في الأسفل. الطول الثابت هو قيد هولونومي: إنه علاقة بين الإحداثيات وربما الزمن. قيد السرعة الدائرية يحتاج تحليله الخاص؛ لا تعامل كل قيد تلقائياً كتعويض للإحداثيات.
• بالنسبة للقيود المثالية ونظام محافظ معتاد، تكون معادلة الفعل الساكن d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 حيث L=T−V. الاختلافات تتلاشى عند طرفي الزمن. يعطي القلّ ∂L/∂θdot=ml²θdot و ∂L/∂θ=−mgl sinθ، لذا ml²θddot+mgl sinθ=0. اشتقاق الزخم يؤثر على كل عامل يعتمد على الزمن: لنصف قطر متغير، d(mr²θdot)/dt يحتوي على 2mr rdot θdot. طريقة التغير لا تعني أن الطاقة الميكانيكية محفوظة في نظام يعتمد على الزمن.
• للحركة المركزية المستوية، L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). الزاوية θ دورية لأن L لا تعتمد صراحةً على θ، حتى لو كانت L تعتمد على θdot. زخمهاCanonical pθ=mr²θdot ثابت. المعادلة القطرية هي m rddot=mrθdot²−dV/dr. الحد الأول جزء من تسارع الإحداثيات، وليس قوة خارجية حقيقية جديدة في إطار مرجعي قصوري. حفظ pθ يجعل السرعة الزاوية تزداد عندما تقل r؛ والسرعة الزاوية الثابتة حالة مختلفة تقودها خارجياً.
• قرب نقطة توازن مستقرة q0، قم بتوسيع V إلى الرتبة الثانية واستخدم قصراً محلياً ثابتاً M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. بعد ذلك يكون تردد الإزاحة الصغيرة sqrt(V″/M). للقلّ، sinθ≈θ بالراديان، لذا ω=sqrt(g/l)؛ التقريب يتطلب سعة صغيرة. يعطي V″ السالب عدم استقرار، وليس اهتزازاً بتردد تخيلي قابل للقياس. تحقق أولاً من المعادلة غير الخطية الكاملة، ثم أذكر التقريب وقارن الوحدات: يجب أن يكون V″/M بوحدة مقلوب مربع الزمن.

مثال مدقق

مع l=2 م و g=10 م/ث²، فإن θddot=−5 sinθ. عند θ=0.10 راديان، التسارع الدقيق هو −0.4992 راديان/ث²، قريب من −0.500 من التقريب الخطي. فترة الزوايا الصغيرة هي 2π/sqrt(5)=2.810 ث. بالنسبة لمسار القوة المركزية، إذا تقلص r من 3 م إلى 1.5 م مع حفظ pθ، فإن θdot يتضاعف بـ 4، وليس 2.

خطأ شائع

الإحداثي الدوراني غائب عن L نفسه؛ سرعته قد لا تكون غائبة. لا تتجاهل المشتقة الزمنية لعامل r² المتغير.

CM.5 · إطارات مرجعية متسارعة ودوارة

• في إطار انتقالي بتسارع مبدأ A، تصبح معادلة نيوتن m a′=F_real−mA. لذلك مصعد يتسارع للأعلى لديه N−mg=ma في الإطار الأرضي، أو N−mg−ma=0 لمسافره الثابت في إطار المصعد. كلاهما يعطي نفس التنبؤ. الحد الإضافي قوة ظاهرية ناتجة عن الإحداثيات المتسارعة المختارة؛ ليست اتصالاً جديداً بجسم آخر. الانتقال المنتظم مع A=0 يغير السرعة ولا يحتاج لقوة ظاهرية.
• لأساس دوّر، اشتقاق متجه يضيف Ω×ذلك المتجه. بتطبيق هذا مرتين نحصل على a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. هنا r و v′ مقاسة بالنسبة للمبدأ المتحرك في محاوره الدوارة؛ يجب التعبير عن جميع المتجهات في الحساب في نفس الأساس في نفس اللحظة. حوّل الحدود الثلاثة الأخيرة للدوران إلى جانب القوة للحصول على كوروليس −2mΩ×v′، طرد مركزي −mΩ×(Ω×r)، وأويلر −mΩdot×r. الدوران الثابت يلغي حد أويلر، لا حد كوروليس.
• خذ Ω على طول +z، ومنصة تدور عكس عقارب الساعة عند النظر من الأعلى، وجسيم في r على طول +x. القوة الطاردة المركزية تكون على طول +x بمقدار mΩ²r. إذا تحرك الجسيم للخارج بسرعة v′ على طول +x، فإن Ω×v′ يكون +y، لذا فإن قوة كوريوليس تتجه نحو −y. عكس السرعة النسبية يعكس قوة كوريوليس؛ وبإبقاء v′=0 تختفي هذه القوة. قوة كوريوليس عمودية على v′ ولا تبذل شغلاً فورياً على تلك الحركة النسبية. القوة الطاردة المركزية تكون بعيداً عن محور الدوران، وليس بالضرورة بعيداً عن نقطة الأصل المختارة في موضع ثلاثي الأبعاد عشوائي.
• جسم ساكن على المنصة له a′=v′=0. مع دوران ثابت ونقطة أصل ثابتة، يجب أن تكون قوته الحقيقية mΩ×(Ω×r)، نحو الداخل، لتعادل الحد الظاهري الخارجي في المعادلة الدوارة. إذا تغير الدوران، يجب أيضاً أن توازن قوة حقيقية مماسية حد أويلر. تحقق دائماً من Ω→0 و A→0: يجب أن تعود الحركة نيوتنية قياسية غير متسارعة. لا تخلط بين المتطلبات الحقيقية للمركزية الموجهة للداخل ورد فعل حقيقي موجه للخارج مضاف على نفس الجسم؛ شركا التفاعل يوضعان في مخططات جسم حر منفصلة.

مثال مدقق

لـ m=2 كجم، Ω=2 راديان/ث على طول +z، r=1 م على طول +x وv′=3 م/ث للخارج، القوة الطاردة المركزية هي +8 نيوتن في x والقوة الكوروليوس هي −24 نيوتن في y. قوة أويلر تساوي صفرًا عند ثبات Ω. إذا كانت القوة الحقيقية صفرًا، فإن a′=(4,−12) م/ث² في هذه اللحظة. راكب مستقل كتلته 10 كجم في مصعد يتسارع لأعلى بسرعة 2 م/ث² له N=120 نيوتن مع g=10.

خطأ شائع

السرعة النسبية v′ تنتمي لحد كوروليوس. استخدام السرعة القصرية الكاملة يحسب الدوران مرتين.

CM.6 · استمرارية الموائع وطاقة الضغط والتدفق اللزج

• For steady flow, the mass passing successive cross-sections per unit time is equal: ρAv is constant. An incompressible liquid has nearly constant ρ, so Q=Av is the volume flow rate. Halving pipe radius quarters area and multiplies mean speed by four for the same Q. Pressure does not determine Q without a model of the rest of the system. In a stationary liquid, dp/dz=−ρg with z upward; therefore pressure increases by ρgh a distance h below a surface. Use absolute or gauge pressure consistently on both sides.
• لحركة مستقرة، غير قابلة للانضغاط، بدون لزوجة على طول خط تيار دون مضخة أو فقدان تبديدي، يعطي معادلة برنولي p+ρv²/2+ρgz=constant. هذه الحدود الثلاثة تمثل الطاقة لكل وحدة حجم ولها وحدات الضغط. عند ارتفاع متساوٍ، تتطلب السرعة الأكبر ضغطًا ساكنًا أصغر تحت هذه الافتراضات. المنفذ الأعلى يستخدم أيضًا الضغط/الطاقة الحركية لكسب الطاقة الكامنة الجاذبية. لا يعني تطبيق برنولي على خط تيار واحد بالضرورة وجود نفس الثابت على خطوط تيار مختلفة في التدوران. نقطة الركود تكون فيها v=0 وتحول طاقة السرعة المحلية إلى ارتفاع في الضغط في النموذج المثالي.
• اللزجة تنقل الزخم بين طبقات المائع المجاورة. للتدفق الطبقي المستقر والمطور بالكامل لسائل نيوتني غير قابل للانضغاط في أنبوب دائري، Q=πR⁴Δp/(8ηL). هنا Δp هو هبوط الضغط على طول الأنبوب، η اللزوجة الديناميكية و L طول الأنبوب. مضاعفة نصف القطر عند ثبات Δp و η و L تضاعف Q sixteen مرة. مضاعفة Q عند ثبات الهندسة تحتاج ضعف هبوط الضغط. هذا الفقد اللزج في الضغط لا يمكن إضافته لمعادلة برنولي خالية من الفقد وكأنه لا يوجد تغيير؛ قم بتضمين فقد الضغط/الرأس التبديدي أو استخدم النموذج اللزج.
• رقم رينولدز Re=ρvD/η يقارن بين التأثيرات القصورية واللزجة باستخدام سرعة مميزة v وطول D. بالنسبة لأنبوب استخدم متوسط السرعة والقطر الداخلي، وليس نصف القطر. Re بلا وحدة: الكثافة ضرب السرعة ضرب الطول له نفس وحدات اللزجة الديناميكية. صغر Re favore viscous dominance; التحول إلى الاضطراب يعتمد على الهندسة والمضطرابات، لذا العتبة الواحدة ليست قانوناً عالمياً. مقاييس بوازوي ليس آمناً بعد افتراض تدفق مضطرب. تحقق من استمرارية الحجم، إشارة تغير الضغط والنظام قبل اختيار صيغة.

مثال مدقق

ماء بكثافة ρ=1000 kg/m³ يتدفق أفقيًا من مساحة 4 cm² بسرعة 1 m/s إلى 1 cm². تعطي الاستمرارية v₂=4 m/s و Q=0.0004 m³/s. تتنبأ برنولي المثالية بأن p₁−p₂=1000(16−1)/2=7500 Pa. في أنبوب طولي منفصل عند ثبات هبوط الضغط، زيادة نصف القطر من 1 mm إلى 2 mm تضاعف Q بمقدار 16؛ هذا ليس نفس تجربة ثبات Q.

خطأ شائع

يضمن الاستمرارية ثبات Q عبر أنبوب واحد ثابت؛ يقارن بوازوي Q بين أنظمة مختلفة عند هبوط ضغط محدد. حدد ما الذي يُثبَت قبل مقارنة قوى نصف القطر.

EM.4 · الاستقطاب، المغناطيسية ومجال المادة

• الاستقطاب الكهربائي P هو عزم ثنائي القطب الكهربائي لكل وحدة حجم، تقاس بـ C/m². عرّف D=ε₀E+P بحيث ∇·D=ρ_free؛ الشحنة الكلية، بما في ذلك الشحنة المرتبطة، لا تزال تظهر في ∇·E=ρ_total/ε₀. الشحنة الحجمية المرتبطة هي ρ_b=−∇·P والشحنة السطحية المرتبطة هي σ_b=P·n، حيث n تتجه خارجاً من المادة. P المنتظم لا يعطي شحنة مرتبطة في الحجم ولكن يمكن أن يعطي شحنات سطحية بعكس الإشارة. العازل الكهربائي ليس معدناً مثالياً: الاستقطاب قد لا يجعل مجاله الكهربائي الداخلي صفراً.
• لعازل كهربائي خطي متجانس، P=ε₀χ_e E و D=εE حيث ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. هذه العلاقات القياسية البسيطة تفترض استجابة خطية وتتجاهل عدم التجانس، التشتت القوي والتأثيرات غير الخطية. في مكثص ألواح متوازية كبير ممتلئ بالكامل مع تأثيرات حواف مهملة، D العمودي على الألواح يساوي كثافة الشحنة الحرة السطحية. إذا بقي σ_free ثابتاً، فإن زيادة ε تقلل E=σ_free/ε. الشحنات المرتبطة تعاكس المجال المطبق؛ مقدارها ليس مساوياً تلقائياً لشحنة الصفيحة الحرة.
• بالنسبة لمساحة صفيحة A ومسافة d، C=εA/d. فصل البطارية يثبت الشحنة الحرة Q: V=Q/C ينخفض والطاقة المخزنة U=Q²/(2C) تنخفض عندما يزيد العازل C. ترك مصدر جهد مثالي متصل يثبت V: Q=CV والطاقة المخزنة U=CV²/2 يرتفعان. المصدر يزود بالطاقة وحركة العازل قد تتضمن شغلاً ميكانيكياً؛ قارن كمية الطاقة الكهربائية المعلنة بدلاً من افتراض أن المكثف نظام معزول. عند واجهة مادة n·(D₂−D₁)=σ_free، بينما E المماسي الساكن مستمر. يتغير E العمودي عادةً عندما تتغير السماحية.
• المغناطيسية M هي عزم ثنائي القطب المغناطيسي لكل وحدة حجم، وتقاس بوحدة A/m. في النظام الدولي، B=μ₀(H+M)؛ بالنسبة لاستجابة خطية متساوية الاتجاه M=χ_m H و B=μ₀(1+χ_m)H. B و H لهما وحدات وأدوار مختلفة. الملف الطويل المتجانس له H≈nI عندما تكون تأثيرات الأطراف والتخفيف المغناطيسي مهملة؛ عندها تتغير استجابة المادة B. تيار السطح الحر يُعطى بالعلاقة n×(H₂−H₁)=K_free، ويبقى B العمودي مستمراً. لا يمكن تمثيل الهستيريزيس المغناطيسي والاشباع بثابت χ_m واحد على مدى كل مجال.

مثال مدقق

خذ مكثفاً ممتلئاً بالكامل بـ ε_r=4 وكثافة صفيحة حرة ثابتة σ. قانون غوس لـ D يعطي D=σ، ثم E=σ/(4ε₀) و P=ε₀(4−1)E=3σ/4. يرتفع C أربعة أضعاف، مما يجعل جهد Q الثابت والطاقة المخزنة ربع ما كان عليه. مع توصيل البطارية بدلاً من ذلك، تظل V وE=V/d ثابتتين بينما تصبح Q وU أكبر بأربعة أضعاف. بشكل منفصل، H=400 A/m و χ_m=0.5 يعطيان M=200 A/m و B=μ₀(600 A/m)≈0.754 mT.

خطأ شائع

استخدم الشحنة الحرة في معادلة D والشحنة الكلية في معادلة E. لا تخلط بين Q الثابت وV الثابت، أو تعيّن B عدديًا مع H.

EM.5 · انتقالات RC و RL والمعاوقة والرنين

• لمقاومة R على التوالي مع مكثف C ومصدر تيار مستمر V_s، ينص قانون كيرشوف للجهد على R dq/dt+q/C=V_s. عرّف V_C=q/C وτ=RC. بعد التبديل إلى مصدر ثابت، يكون V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). لذلك، بالنسبة لمكثف غير مشحون في البداية، يكون V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) وتيار الشحن I=(V_s/R)exp(−t/τ). عند إزالة المصدر وتوصيل المقاومة عبره، يكون V_C=V_C(0)exp(−t/τ). جهد المكثف متصل عبر المفتاح إذا لم يكن هناك تيار نبضي؛ قد يتغير تيار المقاومة فورًا.
• في دائرة RL على التوالي، يعطي قانون كيرشhoff L dI/dt+RI=V_s وτ=L/R. بعد القيادة الثابتة، يكون التيار I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). تيار الملف متصل لجهد محدود؛ قد يتغير جهده بشكل مفاجئ عندما يغير التبديل dI/dt. في الأوقات المتأخرة، يعمل ملف مثالي في دائرة DC كاتصال بصفر جهد، بينما يكون للمكثف المثالي تيار DC صفري. الطاقة المخزنة هي LI²/2 وCV_C²/2. أثناء التلاشي عبر مقاومة، تتحول الطاقة المخزنة مبدئيًا إلى حرارة في المقاومة بدلاً من أن تختفي عند فصل المصدر.
• استخدم اصطلاح الفازور المعلن exp(iωt). للمقاومة معاوقة R، وللفل iωL وللمكثف 1/(iωC)=−i/(ωC). وبالتالي، تكون دائرة RLC على التوالي Z=R+iX حيث X=ωL−1/(ωC). قسّم فازور الجهد المصدر على Z للحصول على التيار. مقدارته هو V_rms/sqrt(R²+X²) عند استخدام الكميات الجذرية لمتوسط التربيع (rms). زاوية الطور للمعاقة φ تحقق tanφ=X/R؛ يتأخر التيار عن الجهد من أجل X>0 ويتقدم عليه من أجل X<0. إضافة المقادير القياسية R وωL و1/(ωC) تفقد معلومات الطور المتجهية.
• Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

مثال مدقق

لـ R=2000 Ω، C=0.001 F، V_s=12 V وV_C(0)=0، τ=RC=2 s. عند t=τ، V_C=12(1−e^(−1))=7.585 V وI=(12/2000)e^(−1)=2.207 mA. دائرة RL منفصلة مع L=0.4 H، R=2 Ω وV_s=10 V لها τ=0.2 s وI(τ)=5(1−e^(−1))=3.161 A. لـ R=10 Ω على التوالي، L=0.1 H، C=0.001 F وV_rms=20 V، ω₀=100 rad/s؛ الرنين يعطي I_rms=2 A والقدرة المتوسطة 40 W.

خطأ شائع

للمحور RC يكون τ=RC، بينما للمحور RL يكون τ=L/R. لا تخلط بين سعة التيار وتيار RMS، أو رنين مقاومة محرضة وتردد الاهتزاز الحر المخمد.

WO.4 · الاستقطاب، سلاسل المحللين والطور

• للانتشار على طول z، يمكن للحقل الكهربائي المستعرض أن يحتوي على مركبات x وy. الاستقطاب الخطي يعني أن الحقل يتذبذب على طول خط ثابت واحد؛ ينقل المحلل المثالي الإسقاط على محوره. يصبح سعة الحقل E cosθ، لذا تصبح الشدة I cos²θ. هنا θ هي الزاوية بين الاستقطاب الوارد ومحور المحلل، وI هي الشدة مباشرة قبله. الحزمة غير المستقطبة هي مزيج إحصائي للتوجهات المستعرضة؛ يمر أول محلل مثالي نصف شدة متوسطة له. تكون الحزمة الخارجة مستقطبة خطيًا على طول محور الفلتر. لا تطبق عامل نصف جديد عند كل فلتر لاحق، أو استخدم زاوية واحدة نحو المصدر الأصلي لكل السلسلة.
• After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.
• اكتب E_x=A cosωt وE_y=B cos(ωt+δ) عند نقطة ثابتة. تعطي الطور المتساوي أو المعاكس خطًا، بما في ذلك خطًا بزاوية مائلة؛ وتساوي السعات غير الصفرية مع فرق طور ربع دورة يعطي دائرة. سعات غير متساوية مع فرق طور ربع دورة تعطي إهليلجًا. يضيف صفيحة ربع موجية طورًا نسبيًا قدره π/2 بين محاورها الرئيسية تحت ظروف تصميمها. مدخل خطي بزاوية 45° يوفر مكونات متساوية، لذا يمكن أن يكون الحقل الخارج دائريًا. المدخل الخطي على طول محور رئيسي له مكون واحد فقط ويبقى خطيًا. بالنسبة للمدخل الدائري، يمر كل محلل خطي مثالي نصف الشدة؛ وتتطلب الاتجاهية تحديد اتجاه مشاهدة وتقليد طور.
• For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

مثال مدقق

Unpolarised I₀=80 W/m² passes axes 0°, 45°, 90°. Intensities are 40, 20 and 10 W/m²; without the middle filter the crossed pair would give zero. Equal E_x=3 cosωt and E_y=3 sinωt trace a circle with E_x²+E_y²=9. From n₁=1 to n₂=1.5, θ_B=atan(1.5)=56.31° and refraction is 33.69°; the reflected beam is s polarised.

خطأ شائع

شدة مالوس تستخدم cos² للزاوية مع الاستقطاب السابق مباشرةً؛ اللوح الطوري يغير الطور النسبي، بينما المحلل يزيل مكون الحقل.

WO.5 · غلافات الحيود ورتب التداخل المفقودة

• لشق مضاء بانتظام بعرض a، تصل مساهمات المجال البعيد عبر فتحته مع تدرج طوري k sinθ. أضف سعاتها المركبة قبل التربيع: التكامل المعيّر على x من −a/2 إلى a/2 هو sinβ/β، حيث β=πa sinθ/λ. نسبة الشدة هي (sinβ/β)². عند θ=0 خذ النهاية sinβ/β→1، بدلاً من اعتبار المركز غير معرف أو مظلم. تظهر الأصفار عند a sinθ=mλ مع عدد صحيح غير صفري m. يقع الذروة المركزية بين الأصفار الأولى وعرضها ضعف عرض فترة صفر-صفر مجاورة واحدة في sinθ. قمم الذروات الجانبية ليست بالضبط في منتصف المسافة بين أصفارها.
• عند الزوايا الصغيرة على شاشة بعيدة على مسافة L، يعطي y≈Lθ و sinθ≈θ أصفارًا أولى y≈±Lλ/a. وبالتالي عرض المركز هو 2Lλ/a. استخدم المتر بشكل متسق: شق بملم واحد وطول موجي بالنانومتر يختلفان بستة قوى للعدد عشرة. زاوية أعرض، استخدم θ=asin(mλ/a) و y=L tanθ؛ تصبح تعبير الزاوية الصغيرة y غير دقيق بعد ذلك. تتطلب ظروف الحقل البعيد أشعة شبه متوازية من أجزاء مختلفة من الشق، على سبيل المثال L أكبر بكثير من a²/λ، أو الترتيب المكافئ في المستوى البؤري. لا يمكن تعيين قانون الكثافة هذا بصرف النظر عن أنماط فرينيل للمجال القريب.
• لشقين متطابقين متسلسلين مضاءً بشكل موحد بعرض a وبفصل مركزي d، يكون النمط المعياري (sinβ/β)² cos²α، مع α=πd sinθ/λ والكثافة المركزية كالتعيار. ينتج عامل cos² رتب تداخل d sinθ=nλ؛ يعطي عامل الشق الواحد الأصفار المحيطة الواسعة. المسافة بين رتب التداخل المتجاورة للزوايا الصغيرة هي λL/d. زيادة d تضيق المسافة بين الأشرطة؛ زيادة a تضيق الغلاف. هذه تغييرات منفصلة. صيغة التداخل للشق الضيق متساوي الارتفاع وحده لا تتنبأ بتناقص السطوع أو الرتب المفقودة للفتحات المحدودة. المصادر غير المتسلسلة لا تحافظ على الحد المقاطع المعتمد على الطور نفسه.
• A missing order occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

مثال مدقق

بالنسبة لـ λ=500 nm، a=0.10 mm، d=0.50 mm و L=2 m، تكون أصفار الغلاف الأول تقريباً عند ±10 mm، وعرض المركز 20 mm وفصل التداخل 2 mm. بما أن d/a=5، فإن الرتب nominal ±5 مفقودة. تعطي الرتب من −4 إلى +4 تسعة مراكز تداخل في الغلاف المركزي. عند sinθ=λ/(2a)، يكون β=π/2، لذا فإن شدة الشق المفرد هي 4/π²=0.4053 من قيمتها المركزية.

خطأ شائع

أضف سعات المجال قبل التربيع، وميز بين a وd، واستبعد رتوب الحدود الداكنة. لا يضمن maximum التداخل وحده وجود maximum للنمط الكامل.

WO.6 · صور العدسات والمرايا ذات الإشارات

• استخدم اتفاقية الواقع موجب لهذا الوحدة: جسم حقيقي يرسل أشعة ساقطة مشتتة إلى العنصر، sehingga s>0؛ حزمة ساقطة متقاربة بالفعل يمكن أن تمثل جسمًا وهميًا، s<0. A real image has s′>0، بينما الصورة الوهمية لها s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification M=−s′/s. A converging lens has f>0 وعدسة مشتتة f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0؛ يضع s′ السالب صورته الوهمية على جانب الإدخال. نص الاتفاقية قبل التعويض، لأن اتفاقيات إحداثيات الإشارة الأخرى تعطي معادلات تبدو مختلفة.
• بالنسبة لعدسة رقيقة متقاربة، يخرج الشعاع الموازي للمحور عبر البؤرة البعيدة، ويستمر الشعاع الذي يمر بالمركز البصري المثالي دون انحراف. يحدد تقاطعهما صورة حقيقية؛ يمكن تمديد الخلفي تحديد صورة وهمية. تستخدم التقريب القطعي الأشعة القريبة من المحور وتتجاهل السماكة والشذوذ. مع s>f>0، تكون s′ موجبة وM سالبة: الصورة حقيقية ومقلوبة. مع 0<s<f، تكون s′ سالبة وM موجبة: الصورة وهمية ومنتظمة ومكبرة. عند s=f، تكون الأشعة الخارجة موازية ولا يوجد مستوى صورة محدود. عدسة مشتتة مع جسم حقيقي تنتج صورة وهمية منتظمة مصغرة.
• بالنسبة للمرآة الكروية في نفس اتفاقية الواقع موجب، مقعر f>0 ومحدب f<0، مع f=R/2 في الحد القطعي. صورة انعكاسية حقيقية تكون أمام المرآة على جانب الضوء الساقط؛ صورة وهمية تكون خلفها. وبالتالي فإن مسافة الصورة الموجبة لها جانب فيزيائي مختلف للمرآة مقارنة بالعدسة النافذة. يعكس شعاع موازي البؤرة المقعرة؛ شعاع موجه نحو مركز الانحناء يعيد مساره. الأشعة المنعكسة المحدبة تتفرق وكأنها من البؤرة خلف المرآة. استخدم نفس المعادلة و M=−s′/s مع قيم الإشارات، بدلاً من دمج هندسة المرآة بسلاسة مع مخطط إحداثيات العدسة.
• لتتوالى من العدسات المنفصلة، احسب أولاً إحداثيات الصورة الفعلية من العدسة الأولى. بالنسبة للعدسة التالية، حدد ما إذا كانت الأشعة الساقطة تتفرق من نقطة قبلها أو لا تزال متقاربة نحو نقطة وراءها؛ هذه أجسام حقيقية وهمية على التوالي. فقط حينها عين مسافة الجسم ذات الإشارة وحل مرة أخرى. التكبير العرضي الكلي هو حاصل ضرب التكبيرات الفردية ذات الإشارات للعناصر القطعية المصطفة. فصل العناصر ليس تلقائيًا مسافة الجسم الثانية. يعتمد الطبيعة الهندسية الحقيقية/الوهمية على التقارب، وليس على ما إذا كانت الصورة النهائية مكبرة. لا تحاكي هذه النتائج المثالية الدقة البصرية للموجة أو الشذوذ الكروي/اللون.

مثال مدقق

لدينا عدسة ملتفة عند x=0 قيمتها f=10 سم وجسم حقيقي عند x=−30 سم. 1/s′=1/10−1/30=1/15، إذن s′=15 سم وM=−1/2. تستقبل عدسة ثانية f=10 سم عند x=40 سم أشعة تتشعب من x=15: حيث s₂=25 سم، s₂′=50/3 سم، والموقع النهائي x=170/3 سم≈56.67 سم. وM₂=−2/3، لذا فإن التكبير الكلي =+1/3. بشكل منفصل، مرآة محدبة f=−12 سم مع s=24 سم تعطي s′=−8 سم وM=+1/3، وهي صورة وهمية مستقيمة خلف المرآة.

خطأ شائع

احتفظ بالإشارات حتى يتم تفسير الهندسة؛ فالصورة المرآية الموجبة تقع على جانب السقوط، بينما صورة العدسة الناقلة الموجبة تقع على جانب الخروج.

TS.3 · النقل الحراري، قياس الحرارة والتوسع

• للتوصيل المستقر أحادي الأبعاد عبر صفيحة موحدة، يعطي قانون فورييه تدفق الحرارة q_x=−κ dT/dx. مع الموصلية الثابتة κ، المساحة A، الطول L وفرق درجة الحرارة من الساخن إلى البارد ΔT، معدل الحرارة هو Qdot=κAΔT/L. عرّف المقاومة الحرارية R_th=L/(κA)، مقاسة بـ K/W؛ هبوط درجة الحرارة هو Qdot R_th. طبقات متسلسلة بدون مصادر داخلية تحمل نفس Qdot وتضاف مقاومتها. مسارات متوازية عند نفس درجات حرارة الطرف لها معدلات حرارية تتجمع، لذا تتجمع المقاومات العكسية. التدفق الحراري هو معدل لكل مساحة، W/m²، ولا يجب أن يتطابق بين الطبقات ذات المساحات المختلفة. يجب تضمين مقاومة الاتصال عند الواجهة وتسرب الحرارة إذا ذُكر.
• السعة الحرارية C=dQ/dT تعتمد على المسار الديناميكي الحراري وليست نفسها كالحرارة النوعية c لكل كتلة. لفترة زمنية للمادة بدون تحول طوري، Q=∫mc(T)dT، أو mcΔT عندما تكون c ثابتة. في جهاز قياس الحرارة المعزول، اجمع التغيرات في الطاقة لجميع الأجسام، بما في ذلك الحاوية عند الاقتضاء، واجعل المجموع يساوي الصفر. عند تحول طوري عند درجة حرارته التوازنية، يمكن أن تغير الطاقة المضافة كسر الطور بدلاً من درجة الحرارة: Q=mℓ تستخدم الحرارة الكامنة ℓ بـ J/kg. قدّم الحرارة الظاهرة أولاً للوصول إلى التحول، ثم خصص الحرارة الكامنة. لا تدع متوسط درجة الحرارة الموزون البسيط يتنبأ بدرجة حرارة مستحيلة عندما يكون الذوبان أو التجمد جزءًا من العملية.
• بالنسبة لقضيب يتمدد بحرية وتغير درجة حرارة صغير، ΔL≈αL₀ΔT مع معامل التمدد الخطي α. بالنسبة لجسم صلب متماثل ذاتياً مع تشوه صغير، تكتسب كل بُعد عامل 1+αΔT، لذا ΔA/A≈2αΔT وΔV/V≈3αΔT. يتمدد الثقب مع المادة المحيطة به وكأن المنطقة المفقودة قد تمددت أيضاً. تفترض هذه العلاقات معاملاً ثابتاً تقريباً وعدم وجود قيود ميكانيكية؛ البلورات غير المتماثلة ذاتياً تحتاج معاملات اتجاهية. إذا تم منع قضيب مرن من تغيير طوله، فإن التشوه الميكانيكي يلغي التشوه الحراري. مع إجهاد الشد موجباً، σ≈−YαΔT أثناء التسخين، حيث Y هو معامل يونغ. يتطلب هذا التقدير للتشوه الصغير استجابة مرنة دون انسياب أو انبعاج.
• النقل الحراري بالنقل ينتقل الطاقة عبر تدرج درجة الحرارة، والنقل بالحمل ينقلها مع حركة المادة، والإشعاع الحراري يمكنه عبور الفراغ. لسطح عند T مواجه لمحيط كبير عند T_env، يعطي نموذج الجسم الرمادي البسيط معدل الإشعاع الصافي εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). استخدم كلفن المطلقة في هذه القوى الرابعة، بدلاً من قيم الدرجة المئوية. جسم مكدس whose internal temperature remains nearly uniform يمكن أن يطبق C dT/dt=−hA(T−T_env) تحت تبريد نيوتن مع h ثابت. عندها يتلاشى فائض درجة الحرارة مع τ=C/(hA)، بدلاً من تلاشي درجة الحرارة المئوية أو الكلفن بالكامل نحو الصفر. يتطلب هذا التقدير تدرجات داخلية صغيرة بما يكفي؛ الجسم المحدود بالنقل يحتاج إلى نموذج درجة حرارة مكاني.

مثال مدقق

Two slabs of area 0.5 m² have L₁=0.02 m, κ₁=0.5 W/(m·K), L₂=0.03 m and κ₂=0.25 W/(m·K). R₁=0.08 and R₂=0.24 K/W; for boundaries 60°C and 20°C, Qdot=40/0.32=125 W. Drops are 10 K and 30 K, so the interface is 50°C and flux 250 W/m². Separately equal specific heats with masses 2 kg at 80°C and 1 kg at 20°C give isolated final 60°C without phase change. A free 2 m rod with α=10^−5 K^−1 heated 50 K lengthens 1 mm; if constrained and Y=100 GPa, σ=−50 MPa within the elastic model.

خطأ شائع

احتفظ بـ W منفصلة عن W/m²، وضم الأوناس أو الطاقة الكامنة عند الحاجة، ولا تستخدم طول التمدد الحر مع افتراضات الإجهاد المقيد معاً.

TS.4 · اشتقاقات التقسيم، تقلبات الطاقة والسعة الحرارية

• لنظام يتبادل الطاقة مع حوض حراري عند T بينما N وV ثابتان، ليكن β=1/(kBT). اجمع Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) فوق مستويات الطاقة مع مضاعفاتها. احتمال المستوى هو g_i exp(−βE_i)/Z؛ الطاقة الوسطى U هي مجموع الطاقة موزون بالاحتمال. باشتقاق طيف مستقل عن درجة الحرارة يعطي U=−∂lnZ/∂β. احافظ على فجوة الطاقة والمضاعفات ثابتة خلال الاشتقاق. كتابة Δ=kBT ln3 لوصف تقييم درجة حرارة واحدة لا يجب قراءتها على أنها تجعل Δ يتغير مع T. بالنسبة لـ N نظام فرعي مستقلة وقابلة للتمييز ومتطابقة، Z_total=z^N وU_total=N u. الجسيمات غير القابلة للتمييز والتفاعلات تحتاج عددها الخاص للحالات بدلاً من افتراض هذا الضرب.
• طاقة هلمهولتز الحرة هي F=−kBT lnZ. ينتج الإنتروبي الكانوني من S=kB(lnZ+βU)، أو مساوياً −kBΣ p_j ln p_j فوق الحالات الدقيقة الفردية. السعة الحرارية عند حجم ثابت هي C_V=(∂U/∂T)_V,N. تحمل هذه الكميات وحدات مختلفة وتصف اشتقاقات مختلفة. إضافة إزاحة طاقة ثابتة ε إلى كل حالة تضرب Z بـ exp(−βε)، وتزيد U وF بمقدار ε، وتترك الاحتمالات والإنتروبي والسعة الحرارية دون تغيير عندما يكون ε مستقلاً عن T. لذلك فإن اختيار طاقة وسطى سالبة ليس دليلاً على سعة حرارية سالبة. استخدم نفس مرجع الطاقة في الاحتمالات والتعبيرات الديناميكية الحرارية.
• المشتقة الثانية لـ β لـ lnZ تعطي التباين Var(E)=⟨E²⟩−U². بالنسبة لنموذج كانوني طيف ثابت، C_V=Var(E)/(kBT²)، لذا C_V/kB=β²Var(E). التباين غير السالب يعني أن C_V غير سالب ضمن هذه الشروط. المقام يتضمن kB، وليس kB²، عندما تحتفظ السعة الحرارية بوحدات J/K العادية. يتعلق هذا الصيغة بالتقلبات بتوزيع الطاقة الكانوني؛ لا ينص على أن كل جسيم له بالضبط الطاقة المتوسطة. بالنسبة لأجزاء فرعية مستقلة، تتجمع التباينات، بينما تتجمع المتوسطات أيضًا. عادةً ما تتناقص تقلبات الطاقة النسبية مثل 1/√N عندما تظل المتوسط والتباين لكل جزء فرعي محدودًا وغير صفر.
• لحالة أرضية واحدة عند E=0 وحالة مثارة واحدة عند E=Δ>0 ثابتة، ضع x=Δ/(kBT). إذن z=1+e^(−x)، p_exc=1/(1+e^x)، u=Δp_exc وC/kB=x²e^x/(1+e^x)². عند درجات حرارة منخفضة، تختفي الإثارة والسعة الحرارية بشكل أسي. عند درجات حرارة عالية، تميل p_exc إلى النصف وتتشبع الطاقة، لذا تميل السعة الحرارية إلى الصفر مرة أخرى. يرتفع الإنتروبي من الصفر للحالة الأرضية الفريدة نحو kB ln2 كلما أصبحت الحالتان متساويتين في الاحتمال. قمة السعة الحرارية عند درجة حرارة محددة الناتجة خاصة بنموذج المستويات المحدودة؛ ليست قيمة المذبذب الكلاسيكي الثابت. المضاعفة الحالة الأرضية أو المستويات الإضافية ستغير الإنتروبي الحددي واستجابة درجة الحرارة.

مثال مدقق

بالنسبة للمستويات 0 وفجوة Δ ثابتة عند درجة حرارة حيث x=ln3، تكون z=1+1/3=4/3 واحتمال الإثارة p_exc=1/4. وبالتالي u=Δ/4، ⟨E²⟩=Δ²/4 وVar(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3)؛ S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. رفع المرجع بمقدار ε يغير u إلى ε+Δ/4 لكن يحافظ على التباين والسعة الحرارية.

خطأ شائع

احتفظ بـ Δ ثابتاً عند الاشتقاق، وأدرج الانحرافات في Z، واستخدم تباين الطاقة بدلاً من مربع الطاقة الوسطية في صيغة السعة الحرارية.

TS.5 · شغولات الكم وحدود التجزئة المتساوية

• للجسيمات غير المتفاعلة في توازن تبادل جزيئي وحراري، استخدم الجهد الكيميائي μ وx=(ε−μ)/(kBT). متوسط شغولة حالة كاملة واحدة هو n_F=1/(e^x+1) للفرميونات وn_B=1/(e^x−1) للبوزونات. شغولة فرميونية لتلك الحالة تكون صفرًا أو واحدًا؛ يقع متوسطها بينهما. يمكن لشغولة البوزونات أن تتجاوز واحدًا. مستوى له مضاعفة g لديه مجموع متوسط g ضعف شغولة الحالة المفردة عندما تشارك حالاته نفس الطاقة. احسب الدوران كجزء من حالة كاملة. يتطلب مقام البوزونات ε>μ للتعبير النهائي العادي، مع معالجة حد الحالة الأرضية بشكل منفصل. بالنسبة لفوتونات التوازن μ=0 لأن عدد الفوتونات غير محفوظ؛ لا تضع μ=0 لكل غاز جسيمات مادية.
• احسب أنماط الشغولة بدلاً من وضع علامات على الجسيمات المتطابقة. فرميونان متماثلان موزعان بين أربع حالات كاملة مميزة لديهم choose(4,2)=6 نمط مسموح. بوزونان متماثلان بين تلك الحالات لديهم choose(4+2−1,2)=10 نمط لأن كلاهما قد يشغل حالة واحدة. جسيمان قابلان للتمييز ومُصمَّمان سيكون لديهم 4²=16 تعيينات. هذه نماذج عد مختلفة، وليست ثلاث إجابات قابلة للتبديل لنفس المواصفة. إذا زودت السؤال مضاعفة دورانية، فقرر أولاً ما إذا كان العدد المذكور يحسب الحالات الكاملة أو فقط المستويات المدارية. عدم السماح لبوليتي بمرور جسيمين متطابقين في حالة كاملة واحدة لا يمنع فرميونات عكسية الدوران في مدار مكاني واحد.
• عندما تكون x كبيرة وموجبة، يكون الانشغال صغيرًا وكلا المقامين يهيمن عليهما e^x: n_F≈n_B≈e^(−x)، وهو حد Maxwell–Boltzmann الرقيق. عند x=ln4، تكون المتوسطات 1/5 للفرميونات، 1/3 للبوونات و1/4 في التقدير الكلاسيكي؛ لا يزال الفرق كبيرًا. عدد الجسيمات الإجمالي الكبير وحده لا يبرر الإحصاء الكلاسيكي: الكثافة ودرجة الحرارة والحالات المتاحة تحكم الانشغال. بالنسبة للفرميونات عند درجات حرارة منخفضة، تصبح الحالات أقل من μ مشغولة تقريبًا وتلك التي فوقها فارغة تقريبًا. عند ε=μ، الحالة الفرميونية لها متوسط نصف واحد؛ إذا أدخلت تلك القيمة في صيغة Bose العادية فستنتج بدلاً منها مقام متباعد وتتطلب معاملة حدودية مختلفة.
• يعيد التوزيع الكلاسيكي للطاقة kBT/2 من الطاقة المتوسطة إلى كل حد تربيعي مستقل في هاميلتونيان متوازن. غاز مثالي أحادي الذرة له ثلاثة حدود انتقالية، مما يعطي U=3NkBT/2 وC_V=3NkB/2. مذبذب هارموني كلاسيكي أحادي البعد له حدود حركية وبوتنسية، مما يعطي متوسط kBT وC=kB. بالنسبة لمذبذب كمي بمسافة ثابتة ε=ℏω، فإن الطاقة الحرارية فوق نقطة الصفر المستقلة عن درجة الحرارة هي ε/(e^x−1)، حيث الآن x=ε/(kBT)، وC/kB=x²e^x/(e^x−1)². عند درجات الحرارة العالية تقترب من القيمة الكلاسيكية؛ عند درجات الحرارة المنخفضة يتجمد الاستثارة ويصبح C→0. طاقة نقطة الصفر ε/2 تحرك U لكن ليس C. مساهمات الدوران والاهتزاز الجزيئية تتطلب أيضًا التحقق من مقاييس طاقتها قبل تعيين الحدود التربيعية الكلاسيكية.

مثال مدقق

عند x=(ε−μ)/(kBT)=ln4، تكون الحالة الواحدة n_F=0.2 أو n_B=1/3. لذلك فإن مستوى تناظر خمس حالات له متوسط 1 فيرميون أو 5/3 بوزون؛ يمكن أن يتجاوز شغل المستوى الفرمي الكلي واحداً عند قيم x أخرى لأنه هناك خمس حالات متميزة. يتأثر المذبذب الكمي عند ε/(kBT)=ln2 بطاقة إثارة متوسطة ε و C/kB=2(ln2)²=0.960906، قريبة لكن مختلفة عن القيمة الكلاسيكية واحد.

خطأ شائع

استبعد فيرميونين من حالة كاملة واحدة، وليس من مستوى طاقة متناظر بأكمله. حدد أي x يتم استخدامه؛ إن شغلات الجهد الكيميائي وصيغ إثارة المذبذب الثابتة نماذج مختلفة.

QM.2 · الاضطرابات الضعيفة والفرضيات المتداخلة

• ليكن H=H₀+λW، حيث λ معامل بدون أبعاد صغير وحالات eigenstates لـ H₀ معروفة ومطابقة. لمستوى غير متعدد (nondegenerate)، التصحيح الأولي للطاقة هو λ⟨n|W|n⟩. في مساحة الموقع، هذا هو λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx لجهد مضروبي، مع التكامل عبر المجال المسموح به. قيمة الجهد عند نقطة واحدة ليست قيمة متوقعة؛ كثالة احتمال الحالة تولي كامل المجال وزنه. بالنسبة لحفرة لا نهائية 0<x<L، ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). الانعكاس حول مركزها يجعل ⟨x⟩=L/2، لذا فإن جهد إضافي ضعيف γx له إزاحة γL/2 لكل مستوى حفر غير متعدد في الدرجة الأولى. وحدات γ هي الطاقة لكل طول.
• بالنسبة لاضطراب فردي حول المركز، مثل γ(x−L/2)، فإن كثافة الاحتمال لحالة eigenstate للحفرة غير المضطربة هي زوجية، لذا فإن قيمتها المتوقعة القطرية تنعدم. الاضطراب التربيعي المركزي η(x−L/2)² بدلاً من ذلك يعطي إزاحة ηL²[1/12−1/(2π²n²)]، وهي موجبة من أجل η>0 وتعتمد على n. التماثل الزوجي يجعل التكامل الأولي صفراً فقط للحالة والمؤثر المتماثل المحددين. عناصر مصفوفة غير قطرية يمكن أن تغير الدالة الموجية أيضًا. لا تحول إلغاء التماثل إلى ادعاء بأن كل تصحيح طاقة ينعدم أو أن الحالة الأصلية تظل دقيقة.
• بالنسبة لحالة غير متجانسة، يكون المزيج الرائد لحالة غير مضطربة أخرى m متناسبًا مع λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). لذلك تقارن شرط الصغر المفيد عناصر الاقتران بمسافات المستويات ذات الصلة، وليس فقط بالصفر المطلق للطاقة التعسفي. عند الرتبة الثانية، يحتوي تصحيح الطاقة على Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). بالنسبة لأدنى حالة غير متجانسة، تكون جميع المقامات سالبة، لذا فإن التصحيح من الرتبة الثانية غير موجب في هذا النموذج. بالقرب من التناظر، يتغلب المقام الصغير على التوسع غير المتجانس؛ استخدم فضاءً جزئياً مقترنًا بدلاً من القسمة على الصفر.
• إذا كان مستوى طاقة H₀ متساوي التفرق (degenerate) تمامًا، فاختيار أساس متعامد ومتطابق الطول داخل هذا الفراغ الفرعي وتشكيل مصفوفة هيرميتية للاضطراب هناك. قيمها الذاتية هي انزياحات الطاقة من الرتبة الأولى، ومصفوفاتها ذاتية تحدد التركيبات التي تُقطر الانقسام الرئيسي. بالنسبة لفراغ فرعي بحالتين مع اضطراب ε[[2,1],[1,2]]، فإن التركيبات المتماثلة وغير المتماثلة المصنفة لها انزياحات 3ε و ε. قراءة المدخلات القطرية فقط تتنبأ بشكل خاطئ باثنين من انزياحات 2ε. عامل قياسي مشترك لمصفوفة الوحدة يغير الحالتين بالتساوي ولا يُفرّق بينهما؛ الاقترانات خارج الفراغ الفرعي قد تكون مهمة عند الرتب الأعلى.

مثال مدقق

في حفر 2 nm لا نهائية، يعطي اضطرب γx ضعيف مع γ=0.05 eV/nm ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 eV. بشكل منفصل، η=0.03 eV/nm² مضروباً في (x−L/2)² يعطي إزاحة الأرضية 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 eV. هذه نتائج من الرتبة الأولى مشروطة باقتران ضعيف مقارنة بالفجوات. زوج مصمت مع ε[[2,1],[1,2]] و ε=0.004 eV ينقسم إلى إزاحات 0.004 و0.012 eV؛ الحالة المتماثلة تحصل على الإزاحة الأكبر.

خطأ شائع

استخدم أوزان الحالات المعدلة، احتفظ بوحدات الاضطراب، وقطّر كتلة مصمتة. التلاشي من الرتبة الأولى والثبات الدقيق ادعاءان مختلفان.

QM.3 · تناظر التبادل وأزواج الغزل واستبعاد باولي

• بالنسبة للجسيمات المتطابقة، يؤدي تبديل كل معلم إحداثيات ودوران إلى تغيير دالة الموجة الكلية للفيرميون بإشارة سالب وترك دالة البوزون دون تغيير. ترمز الفراغات الرياضية 1 و 2 إلى الحجج، وليس الجسيمات المتميزة دائمًا. بالنسبة لمساراتين متعامدين ومتجانسين a و b، تكون التركيبات المكانية Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. يجعل التعامد هذه التركيبات موحدة ويعطي قيم eigenexchange ±1. إذا كان المساران متطابقين، فإن التركيب غير المتناظر يساوي صفرًا بشكل متطابق، والصيغة المتناظرة المعروضة ليست موحدة بشكل صحيح؛ حالة الشغل المزدوج المكانية هي ببساطة a(1)a(2). أعد التحقق من التوحيد كلما تغيرت المسارات أو تداخلاتها.
• جسيمان بلف-1/2 يمتلكان مفردًا واحدًا لللف (↑↓−↓↑)/√2 بلف كلي S=0؛ وهو غير متماثل تحت التبادل. الثلاثيات الثلاثة ↑↑، (↑↓+↓↑)/√2 و ↓↓ تمتلك S=1 وهي متماثلة. تتطلب الإلكترونات حالة كلية غير متماثلة، لذا تقترن الحالة المكانية المتماثلة بالمفرد، بينما تقترن الحالة المكانية غير المتماثلة بالثلاثي. يمكن لإلكترونين في نفس المدار المكاني تشكيل المفرد، لكن لا يمكنهما تشكيل ثلاثي هناك في هذه الحالة البسيطة للإلكترونين. يمنع مبدأ باولي شغل نفس الحالة الكاملة للجسيم الواحد، بما في ذلك اللف. الإلكترونات ذات اللف المعاكس في مدار واحد تمثل حالتين كاملتين مختلفتين؛ وصف الاستبعاد بأنه إلكترون واحد لكل مدار يتجاهل هذا التمييز.
• بالنسبة لمدارين مكانيين a,b وحالتين من اللف لكل منهما، هناك أربعة حالات جسيم مفرد مكتملة. إلكترونان متطابقان لديهما choose(4,2)=6 نمط شغل: اثنان من مزدوجات السبين المزدوجة، واحد مزدوجة سبين مدارية مختلفة، وثلاثة مزدوجات سبين مدارية مختلفة. بالنسبة لثلاثة مدارات مكانية، هناك ست حالات كاملة وchoose(6,2)=15 أنماط. عدّ التخصيصات المرتبة يؤدي إلى مبالغة في حساب الجسيمات المتطابقة. البوزونات بلا لف في مدارين لديها بدلاً من ذلك ثلاث مشغلات: كلاهما في a، واحد في كل منهما، وكلاهما في b. تفترض هذه العدود عدم وجود قيود طاقة إضافية والحالات المكاملة للجسيم المفرد الموضحة؛ تقييد الطاقة الكلية أو إسقاط اللف يغير المجموعة المسموحة.
• الحالة المكانية المضادة للتناظر تحقق Ψ_−(x,x)=0، لذا فإن كثافة الموضع المشتركة تنعدم على خط التطابق. الحالة المكانية المتناظرة لا يجب أن تنعدم هناك. ينبع الفرق من التداخل بين السعات المتبادلة، حتى لجسيمات غير متفاعلة؛ إنه ليس قوة تنافر كلاسيكية مفروضة بشكل منفصل. لحفر بطول L، اختر a(x)=√(2/L)sin(πx/L)، b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). عند x₁=L/4 و x₂=3L/4، تكون سعة الحفر المكانية المضادة للتناظر −2/L وكثافتها 4/L²؛ السعة المتناظرة تساوي صفرًا. هذه هي احتمالات مشتركة لكل طولي طولين، وليست احتمالات أبعادية عند نقاط دقيقة. التوافق الفيزيائي لللف لا يزال يحدد أي حالة إلكترونية كلية تستخدم كل تركيبة مكانية.

مثال مدقق

مع مدارين متعاملين ومتعامدين a,b، فإن حالة الإلكترونين Ψ_+χ_singlet غير متماثلة كلياً لأن (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet مسموح به أيضاً. إذا استخدم كلا الإلكترونين a، فإن حاصل الضرب المكاني a(1)a(2) متماثل، لذا فقط عاملSpin الأحادي مسموح به. في بئر عند مواقع L/4 و3L/4، Ψ_−=−2/L يعطي كثافة 4/L² بينما Ψ_+=0؛ كل منهما مُعَمَّم فوق مجال الإحداثيين الكامل الثاني، بدلاً من تفسيره كاحتمال عند زوج واحد محدد.

خطأ شائع

استبدل جميع الحجاج المكانية واللفظية. لا تخلط بين الحالة المكانية غير المتناظرة والحالة الكلية غير المتناظرة، أو استخدم عامل √2 للمدارات المميزة عند وجود مدارين متطابقين.

QM.4 · حالات الارتباط ذات الحفر المحدودة والأرقام الكمومية الهيدروجينية

• Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/ℏ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.
• قدم z=ka وρ=a√(2mV₀)/ℏ. إذن κa=√(ρ²−z²) و0<z<ρ. حل z tan z=√(ρ²−z²) لحالة زوجية، أو −z cot z=√(ρ²−z²) لحالة فردية، على فترات بإشارة مناسبة وبعيدًا عن أقطاب الظل. تتبع الطاقة كـ E/V₀=z²/ρ²−1. بالنسبة لـ ρ=1، يقع الجذر الأساسي في 0<z<1 والمعادلة الزوجية تكافئ هناك z=cos z. يعطي التنصيف أو باحث جذور متقارب z≈0.739085 وE/V₀≈−0.453753. نظرًا لأن ρ<π/2، لا يوجد فرع لحالة ارتباط فردية مناسب. في بُعد واحد، الحفر المربع الجذاب لديه حالة أساسية ارتباطية زوجية مهما كانت ضحلة؛ ذيل العتبة E=0 ليس مربع قابل للتكامل.
• بالنسبة لحالة ارتباط زوجية، اكتب ψ=A cos(kx) داخليًا وψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] خارجيًا. يحدد الاتصال السعة النسبية للذيل؛ قم بتكامل |ψ|² عبر الداخلية والذيول لتحديد A. الاحتمال خارج الحفر غير صفري ويعتمد على عمقه وعرضه والحالة المختارة. تمتلك حالات الارتباط طاقات منفصلة وذيولًا متناقصة قابلة للطبيع. حالة التشتت مع E>0 لها موجات خارجية منتشرة وتُطبع أو تُفسّر باستخدام اتفاقية الاستمرارية/التدفق. الذيل المتناقص ليس دليلًا على أن الحالة تنتهك حفظ الطاقة، والسعة الخام للذيل ليست احتمالًا خارجيًا حتى يتم تكاملها وطبيعتها.
• لأيون كولوم إلكتروني واحد بشحنة نووية Ze، استخدم نموذج الجهد المركزي غير النسبتي وتقريب النواة الثقيلة ما لم يُذكر كتلة مختزلة. E_n≈−13.6 Z²/n² eV؛ الأرقام المدارية المسموحة هي n≥1، l=0,…,n−1 وm_l=−l,…,l. L² له قيمة ذاتية l(l+1)ℏ² وL_z=m_lℏ؛ مدار ground 1s له l=0، على الرغم من قاعدة مدارات بور الدائرية التاريخية. الانحلال المكاني عند n ثابت هو Σ_l(2l+1)=n² قبل تصحيحات اللف والتراكب الدقيق. إذا كان ψ=R_nl(r)Y_lm مع الجزء الزاوي مطبعًا، فإن الاحتمال الشعاعي في dr هو r²|R|²dr، وليس فقط |R|²dr. بالنسبة لهيدروجين 1s، الكثافة الشعاعية هي 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: تبلغ ذروتها عند r=a₀ ولديها متوسط 3a₀/2، بينما الكثافة النقطة ثلاثية الأبعاد هي الأكبر عند نقطة الأصل. اميز بين هذه المقاييس قبل تحديد نصف قطر مرجح.

مثال مدقق

بالنسبة لـ ρ=1، z≈0.739085 تعطي κa≈0.673612 وE≈−0.453753V₀؛ الحالة الزوجية الأساسية تتسرب beyond ±a لكنها تتدهور عند ما لا نهاية. لأيون Z=2 بإلكترون واحد في n=2، E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. قيم l المسموحة هي 0 و1، مما يعطي أربع حالات مكانية قبل إضافة اللفظ. في مدار هيدروجيني 1s، يتركز الكثافة القطرية عند a₀ لأن عامل قشرة r² يعوض انخفاض كثافة النقطة؛ تكامل الكثافة القطرية يعطي ⟨r⟩=3a₀/2.

خطأ شائع

استخدم الصفر المعلّن للجهد، وطابق ψ′ إلى جانب ψ، وضمن مقياس القشرة الشعاعية. الذيل المرتبط وموجة السريان المستمرة لها أوضاع طاقة مختلفة.

AT.2 · انزياحات الحقل الذري والاختلافات الطيفية

• للإلكترون عزم مغناطيسي سالب: μ_L=−μ_B L/ℏ و μ_S≈−2μ_B S/ℏ. مع B على طول محور z الموجب، فإن التفاعل −μ·B يعطي H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/ℏ. قيمة μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. في أساس غير مقترن مع تساقط مداري m_l وتساقط سبين m_s=±1/2، يكون الانزياح μ_B B(m_l+2m_s). استخدم هذا القاعدة للأساس غير المقترن عندما يكون التفاعل المغناطيسي كبيراً مقارنة بانقسام السبين-المدار ذي الصلة ولكنه لا يزال صغيراً مقارنة بالفجوات الطاقة المدارية، بحيث يمكن إهمال تأثيرات الدياغناطيسية التربيعية وإعادة هيكلة المدار. الكبر والصغر هما مقارنات للطاقة، وليس عتبات تيسلا عالمية. في النظام المقابل للحقل الضعيف، لم يعد m_l و m_s علامات محفوظة بشكل مستقل لحالة ذاتية لـ LS-coupled.
• عندما يهيمن الـ LS coupling على الاضطراب المغناطيسي الضعيف، J=L+S ومُصنّف m_J للمجموعة المتعددة. الانزياح من الرتبة الأولى هو μ_B B g_J m_J، حيث g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] في تقريب g_s=2. هنا L و S و J هي أعداد كمية بلا أبعاد. بالنسبة لـ L=1 و S=1/2، تعطي J=3/2 قيمة g_J=4/3 وانزياحات −2، −2/3، +2/3، +2 مضروبة في μ_B B. أما J=1/2 فتعطي g_J=2/3 وانزياحات ±μ_B B/3. لا تعوّض J=0 في الصيغة المفردة؛ فالحالة J=0 ليس لها انزياح مسقط شعاعي من الرتبة الأولى. تتطلب الحقول المتوسطة هاميلتونياناً مقترناً بدلاً من خلط صيغ الحقل الضعيف والأساس غير المقترن.
• طاقة الفوتون هي الطاقة العلوية للذرة مطروحاً منها الطاقة السفلية. وبالتالي فإن تغيره الناتج عن الحقل هو ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. عد الانتقالات المسموحة باستخدام قواعد الاختيار المنصوص عليها بالإضافة إلى نمطي المستويين. يمكن أن تشترك عدة انتقالات في تردد واحد؛ عدد الحالات المنقسمة ليس بالضرورة مساوياً لعدد الخطوط الطيفية. في نموذج مداري يتم فيه إهمال السبين، تمتلك مجموعة ثلاثية علوية L=1 انزياحات m_l μ_B B مع m_l=−1,0،+1، وحالة سفلية L=0 لها انزياح صفري. يسمح ثنائي القطب الكهربائي بـ Δm_l=0،±1 بثلاثة انزياحات للفوتونات هي −μ_B B،0،+μ_B B. لا يصف نموذج الثلاثي الطبيعي كل ذرة حقيقية أو مجموعة متعددة البنية الدقيقة. يمكن أن يغير الاستقطاب واتجاه الرصد أي المكونات يتم رصدها.
• في حقل كهربائي منتظم F على طول المحور z، يكون اضطراب الإلكترون +eFz وفقاً لتقليد الجهد الكهروستاتيكي المنصوص عليه. الحالة الذاتية للتناظر اللامتناظرة غير المهتزة لها ⟨z⟩=0، لذا يختفي انزياح ستارك القطري من الرتبة الأولى، على الرغم من بقاء انزياح تربيعي. بدلاً من ذلك، تسمح الحالات متساوية التناظر وعكسية التناظر بعنصر مصفوفة ثنائي قطب غير قطري. في نموذج حالتين أصلي، لنفترض أن مصفوفة ثنائي القطب هي [[0,d],[d,0]]، حيث d حقيقي بوحدات الشحنة×الطول. تعطي القيم الذاتية لاضطراب F مضروباً في هذه المصفوفة ±dF وتراكبات معاكسة للحالتين. تغيير طور الأساس يغير إشارة العنصر غير القطري لكن لا يغير الانقسام 2|dF|. تتطلب الذرات القريبة من التساوي الفعلي المقارنة مع البنية الدقيقة والانقسامات الصغيرة الأخرى قبل اعتماد تقريب التساوي الكامل؛ هذه المصفوفة المقدمة ليست معامل هيدروجين عالمي.

مثال مدقق

مع μ_B=5.788×10⁻⁵ eV/T، B=2 T والتسميات المقترنة ضعيفة المجال L=1,S=1/2,J=3/2,m_J=1/2، الانزياح هو (4/3)(1/2)μ_B B=7.7173×10⁻⁵ eV. في نظام آخر غير مقترن، m_l=1,m_s=−1/2 بدلاً منه يعطي انزياحاً خطياً صفراً. ثلاثي مداري طبيعي L=1→0 عند 2 T له انزياحات فوتونية −1.1576×10⁻⁴,0,+1.1576×10⁻⁴ eV. على حدة، زوج ثنائي القطب متساوي الطاقة مع d=2 e·nm و F=10⁵ V/m له انزياحات ±0.0002 eV، وشق 0.0004 eV.

خطأ شائع

أعلن نظام الاقتران، احتفظ بإشارة العزم السالب للإلكترون، وطرح انزياحات المستوى الأدنى. عدم وجود توقع قطري لثنائي القطب لا يستبعد الخلط المتساوي الطاقة أو الانزياحات التربيعية.

AT.3 · الأطياف الحرارية ومقياس الإلكترون الواحد

• للإشعاع الحراري المثالي في حالة توازن حراري، تكون إشعة الطول الموجي Planck هي B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ هي لكل فترة طول موجي ولكل زاوية صلبة، وليست قدرة كلية. طيف التدفق السطحي نصفي الجسم الأسود هو M_λ=πB_λ؛ والتكامل عبر جميع الأطوال الموجية يعطي σ_SB T⁴. جميع درجات الحرارة بالكلفن المطلقة. يتبع ذروة الطول الموجي العلاقة λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. يمتلك طيف الكثافة الترددية ذروة مختلفة لأن B_ν dν و B_λ dλ يتضمنان جacobian؛ f/c عند ذروة الطول الموجي ليس التردد الأعلى لطيف B_ν. زيادة T تحرك ذروة الطول الموجي نحو القيم الأصغر وتزيد التدفق المكتمل بمقدار T⁴، وليس فقط بنسبة موقع الذروة.
• لسطح رمادي منتظم أصلي مساحته A ومعامل انبعاث ε مستقل عن الطول الموجي، تكون القدرة الإشعاعية الصافية إلى بيئة كبيرة منتظمة هي εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) تحت افتراضات عامل الرؤية المنصوص عليها. استخدم σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. يتطلب معامل الانبعاث المتغير طيفياً أو محيطاً غير مكتمل نموذجاً أكثر تفصيلاً. يحتوي فوتون عند طول موجي محدد على طاقة E=hc/λ، وهي مريحة تقارب 1240 eV·nm/λ_nm. يحتوي الطيف الحراري على العديد من طاقات الفوتونات؛ فإن فوتوناً عند ذروة الطول الموجي ليس متوسط طاقة كل الفوتونات. بالنسبة لـ T=3000 K، يكون λ_max≈966 nm؛ وطاقة فوتونه تقدر بحوالي 1.284 eV. سطح مساحته A=2×10⁻⁴ m² ومعامل انبعاث ε=0.5 يشعع 459.27 W إلى بيئة باردة مهملة.
• في نموذج Bohr التاريخي للإلكترون الواحد مع نواة ثقيلة شحنتها Ze، القوة الكولومية m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) والزخم الزاوي m_e vr=nℏ يؤدي إلى r_n=a₀n²/Z و v_n=Zαc/n و E_n≈−13.6Z²/n² eV. يتناسب نصف القطر مع n²/Z بينما تتناسب طاقة الارتباط مع Z²/n²؛ لا تستخدم نفس أس الشحنة في كلا الحالتين. هذه الافتراضات للمدارات الدائرية هي نموذج قياسي تاريخي. زخم الحركة الموجي هو √[l(l+1)]ℏ مع l=0,…,n−1، لذا فإن مدار 1s له زخم مداري صفري بدلاً من قيمة Bohr nℏ. تصحيح الكتلة المختزلة يستبدل m_e بـ μ: يتناسب نصف قطر كولوم كـ 1/μ والطاقة كـ μ. الحجب متعدد الإلكترونات، وتصحيحات النسبية ذات Z الكبير والبنية الدقيقة تقع خارج النموذج البسيط.
• لانبعاث ni→nf حيث ni>nf، تكون E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. حوّل هذا الفرق الموجب إلى λ≈1240/E_γ nm. يتطلب التأين من n طاقة 13.6Z²/n² eV للوصول إلى الصفر في النطاق المتصل. الامتصاص يعكس ترتيب المستويات ويحتاج إلى طاقة فوتون incoming موجبة مقابلة. بالنسبة لسلسلة تنتهي عند nf ثابتة، تحدث أكبر طاقة فوتون مرتبطة-مرتبطة عندما ni→∞، مما يعطي E_limit=13.6Z²/nf² وأقصر طول موجي للسلسلة. لهيليوم أحادي الإلكترون Z=2، n=3→2 يعطي 7.5556 eV و λ≈164.12 nm. نصف قطر بور n=3 هو 4.5a₀؛ يصف هذا نصف قطر المدار التاريخي، وليس وضعًا شعاعيًا عالميًا لكل l عند n=3.

مثال مدقق

جسم أسود درجة حرارته 3000 K له ذروة طول موجي 966 nm وطاقة فوتون عند الذروة 1240/966≈1.284 eV. بالنسبة لـ ε=0.5،A=2×10⁻⁴ m²،T_env=300 K، تكون القدرة السطحية الرمادية الصافية 459.224073 W؛ وتعطي تقريب البيئة الباردة 459.27 W. بشكل منفصل، أيون ذو إلكترون واحد بشحنة Z=2 يشع عند الانتقال n=3→2: 13.6·4(1/4−1/9)=7.5556 eV، وλ≈164.12 nm. عتبة ارتباطه عند n=3 هي 54.4/9≈6.0444 eV، وهي أصغر من طاقة هذا الفوتون لأن ذلك الفوتون ينتهي عند مستوى أدنى n=2.

خطأ شائع

عرّف كثافة طول موجي أو ترددي، واستخدم الكلفن للأس الرابع، وتميز بين الانتقالات والتأين. نصف قطر بور الدائري والزخم الزاوي ليسا نصف قطر وL لكل مدار موجي.

RA.2 · التزامن، قياس الطول وتحويل السرعة

• استخدم تحويل لورنتز مع حركة الإطار المعلنة: إذا كان إطار S′ يتحرك بسرعة +v على طول x بالنسبة لـ S، فإن x′=γ(x−vt) و t′=γ(t−vx/c²) حيث γ=1/sqrt(1−v²/c²). طبقه على الفواصل بين الأحداث Δx و Δt، وليس فقط الإحداثيات المفردة. حدثان متزامنان في S (Δt=0) في أماكن مختلفة يكون لهما Δt′=−γvΔx/c²: الحدث الأبعد في اتجاه +x يحدث أولاً في S′. التزامن يعتمد على الإطار، وليس خطأ في الحساب.
• A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.
• The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.
• تتضاف السرعات المستقيمة كـ u=(u′+v)/(1+u′v/c²)؛ والمقام يحافظ على أن u<c لأي u′,v<c، وأن u′=c يعطي u=c بالضبط. الطاقة والزخم يكوّنان رباعياً بمتغير E²−p²c²=m²c⁴: احسبه في أي إطار مريح. تحقق من كل نتيجة في الحد غير النسبي، حيث يتحول قانون الجمع إلى u=u′+v ويتحول المتغير إلى طاقة السكون.

مثال مدقق

Events A and B are 900 m apart in the lab and 2 μs apart in time (cΔt=600 m using c=3×10⁸ m/s). Since 600<900 the interval is spacelike; the simultaneity frame moves at v=c²Δt/Δx=(2/3)c and the proper distance is sqrt(900²−600²)=670.82 m. A 0.5c probe from a 0.5c ship has lab speed (0.5+0.5)c/(1+0.25)=0.8c, where γ=5/3. E=5 GeV with p=3 GeV/c gives rest energy sqrt(25−9)=4 GeV.

خطأ شائع

استشهاداً بـ L=L0/γ دون شرط القياس المتزامن للنقاط الطرفية، أو جمع السرعات كـ u=u′+v عند سرعات نسبية. فرق التزامن ظاهرة فيزيائية حقيقية، وليس خطأً.

LM.2 · حمل القياس، كسب المكبر واستجابة الكاشف

• Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.
• An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is 1/√2 (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.
• كفاءة الكاشف ε هي عدد الأحداث المكتشفة مقسوماً على عدد الأحداث الساقطة؛ دقة الطاقة تُذكر كنسبة FWHM/E، مثل 13.2 keV على خط 662 keV، حوالي 2%. كاشف غير شللي بوقت ميت τ يسجل m=n/(1+nτ) من المعدل الحقيقي n؛ وعكس المعادلة يعطي n=m/(1−mτ)، التي تفشل عندما mτ→1. حدد نموذج وقت الميت الذي تفترضه؛ السلوك الشللي مختلف.
• يمكن تصحيح الانحياز وأخطاء المقياس من خلال معايرة خطية ضد معايير معروفة، لكن ذلك لا يزيل الضوضاء ولا يضمن تصحيح عدم الخطية. تعيد منحنى المعايرة رسم القيم المؤشرة مقابل القيم الحقيقية؛ تفترض الاستيفاء بين النقاط سلامة محلية. أدرج الدقة والكفاءة بشكل منفصل: القمم الحادة ذات الكفاءة الرديئة تظل تفوت الأحداث، والكفاءة العالية ذات الدقة الواسعة لا تزال تخلط الخطوط القريبة.

مثال مدقق

A 12 V source with 200 kΩ internal resistance read by a 1 MΩ meter shows 12×(1/1.2)=10.0 V. An RC filter with f_c=1 kHz driven at 2 kHz passes amplitude 1/√5≈0.447. A counter with τ=10 μs at true rate 10⁴ /s records 9091 /s; a recorded 8000 /s with τ=20 μs implies n=8000/(1−0.16)≈9524 /s.

خطأ شائع

Treating the 1/√2 cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

LM.3 · تخميد الإشعاع، كسب الليزر وأوضاع التجويف

• الجسيمات المشحونة الثقيلة تفقد طاقتها باستمرار عبر عدد كبير من التصادمات الصغيرة، لذلك لها مدى تقريبي: تحت نموذج الفقدان الثابت، يتوقف جسيم بطاقة ابتدائية E0 ومعدل فقدان dE/dx بعد أن يستهلك E0/(dE/dx). تتشذذ الإلكترونات أكثر وتشتت إشعاعاً. بينما تتفاعل الفوتونات في أحداث فردية، لذا يخف شعاع ضيق أسياً وفق I=I0 e^(−μx) دون عمق أقصى محدد؛ طبقة القيمة النصفية هي ln2/μ.
• Apply the exponential only to the stated narrow-beam geometry: μ=0.2 /cm gives a half-value layer of 3.47 cm and I/I0=e^(−2)≈0.135 after 10 cm. Multiply by detector efficiency for recorded counts: with μx=ln4 and ε=0.25 the recorded fraction is 0.25×1/4=1/16. Build-up from scattered photons makes broad-beam shielding transmit more than the narrow-beam exponential; state the geometry.
• Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.
• تجوف خطي بطول L يدعم أوضاعًا واقفة بـ L=mλ/2، أي ترددات ν_m=mc/(2L) بفارق c/(2L): عند L=30 سم يكون الفارق 500 ميجاهرتز. يجب أن يتجاوز الكسب الخسائر في الدورة المزدوجة من أجل الاهتزاز. تستخدم التداخلات مثل مايكلسون نفس التماسك: تتبع عدسات التداخل التغيرات في المسار البصري، كما في قياس خلية الغاز.

مثال مدقق

لـ μ=0.2 /سم، طبقة النصف هي ln2/0.2=3.47 سم، وتمر ثلاث من هذه الطبقات 1/8. تحت نموذج فقدان ثابت 2 MeV/cm، يتوقف جسيم طاقته 5 MeV بعد 2.5 سم؛ بينما يحافظ شعاع الفوتونات على ذيل أسي. حجرة طولها 25 سم لها تباعد وضعف c/(2L)=600 MHz.

خطأ شائع

إسناد نطاق محدد للفوتونات أو قانون أسي مفرد للجسيمات المشحونة، ونسيان أن سكانيات المستوىين المتوازنين لا يمكن أن تنعكس. تحقق من نموذج التفاعل الذي يتطلبه نوع الشعاع.

SN.2 · حيغة براغ وسعة حرارة غاز الإلكترونات

• يحدث انعكاس براغ من مستويات متوازية مسافتها d تداخلًا بناءً عندما 2d sinθ=nλ، حيث يُقاس θ من سطح المستوى (زاوية السقوط)، وليس من العمود. الرتبة الأولى n=1 تعطي أصغر زاوية. عند λ=0.154 نانومتر وذروة عند θ=20°، فإن d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 نانومتر. إذا كان 2d<λ فلا توجد رتبة؛ ويجب أن يبقى الجيب مساويًا أو أقل من 1.
• في بلورة مكعبة، تكون مسافة مستوى (hkl) هي d=a/sqrt(h²+k²+l²) مع ثابت الشبكة a؛ يعطي المستويات (110) قيمة a/√2. وبالتالي يقيس زاوية براغ المقاسة ثابت الشبكة. الحذف المنهجي الناتج عن الأساس (مثل شبكات الجسم المركزي التي تفقد h+k+l فردي) يحمل معلومات بنية تتجاوز صيغة المسافة.
• نموذج الإلكترون الحر يعبئ N إلكترونات توصيل في حالات تصل إلى متجه الموجة فيرمي k_F=(3π²n)^(1/3) لكثافة عددية n، مما يعطي E_F=ℏ²k_F²/(2m). عند n=8.5×10²⁸ /متر³، تكون k_F≈1.36×10¹⁰ /متر، وE_F≈7.05 إلكترون فولت وT_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ كلفن. بما أن T_F يتجاوز درجة حرارة الغرفة بكثير، فإن جزءًا فقط من الرتبة T/T_F من الإلكترونات يتم إثارة حراريًا.
• لذلك تمتلك المعادن حدتين لسعة الحرارة عند درجات الحرارة المنخفضة: حد إلكتروني γT خطي بالنسبة لـ T وحد شبكي (ديباي) βT³. رسم C/T مقابل T² يعطي تقاطع γ وميل β. عند درجة حرارة الغرفة يقترب الجزء الشبكي من قيمة دولونغ-بتيت الكلاسيكية ويهيمن؛ بينما يكون الحد الإلكتروني مهمًا عند درجات الحرارة المنخفضة، حيث ينهار حد T³ للشبكة بشكل أسرع.

مثال مدقق

Cu Kα λ=0.154 نانومتر مع قمة من الرتبة الأولى عند θ=20° يعطي d≈0.225 نانومتر؛ بالنسبة للوحيد a=0.4 نانومتر، فإن المسافة (110) هي 0.283 نانومتر. عدد الإلكترونات الحرة عند n=8.5×10²⁸ /م³ يعطي E_F≈7.05 إلكترون فولت وT_F≈8.2×10⁴ كلفن، لذا عند 300 كلفن يكون حوالي 0.4% من الإلكترونات نشطة حرارياً. في C=γT+βT³، يمثل γT المكون الإلكتروني وβT³ المكون الشبكي.

خطأ شائع

قياس θ من العمود على المستوى بدلاً من المستوى نفسه، أو تخصيص كل سعة الحرارة منخفضة درجة الحرارة للإلكترونات. شرط الجيب والتحلل الثنائي هما المكان الذي تفشل فيه هذه الحسابات.

SN.3 · طاقات التفاعل والنشاط وتوازن الاضمحلال

• طاقة التفاعل هي Q=(m_initial−m_final)c²؛ Q>0 يطلق الطاقة الحركية. تابع كل نوع، وأبقِ اتفاقية الكتلة متسقة: تشمل الكتل الذرية المدرجة الإلكترونات. بالنسبة لتحلل بيتا سالب وتحلل ألفا الذي يحتوي على هيليوم محايد، تتوازن أعداد الإلكترونات الذرية مباشرة؛ أما تحلل بيتا موجب أو التقاطع الإلكتروني فيتطلب حدود كتلة الإلكترون صراحة. استخدم 1 u=931.5 MeV/c².
• تحلل ألفا لـ ²³⁸U بالكتل الذرية 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u يعطي Δm=0.0046 u وQ≈4.28 MeV. اندماج D+T مع 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u يعطي Q≈17.6 MeV. يتطلب التفاعل أيضًا توازن الشحنة وعدد النويات: ¹⁴N+α→¹⁷O+p يوازن 7+2=9 و14+4=18.
• Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.
• في سلسلة A→B→C مع أب طويل العمر (λ_A≪λ_B)، يتراكم B حتى يقترب نشاطه من نشاط الأب (التوازن الدائم)؛ نكتب التوازن dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. تبلغ منحنى الطاقة الارتباطية لكل نووية ذروته بالقرب من الحديد، لذا فإن الانشطار الثقيل (حوالي 7.6 إلى 8.5 MeV لكل نووية عبر حوالي 240 نووية، من رتبة 200 MeV) والاندماج الخفيف كلاهما يحرر الطاقة؛ قارن الطاقة الارتباطية الكلية، لا عدد النويات.

مثال مدقق

U-238 alpha decay: Q=(238.0508−234.0436−4.0026)×931.5≈4.28 MeV, carried mostly by the alpha by momentum conservation. D+T fusion releases ≈17.6 MeV. A sample with T½=2 h and 6×10¹² atoms has A≈5.8×10⁸ Bq. Fission of a heavy nucleus releases of order (8.5−7.6)×240≈200 MeV.

خطأ شائع

خلط كتل الذرات والنووية دون تتبع الإلكترونات، أو الإبلاغ عن Q موجب لتفاعل يحتاج إدخال طاقة. توازن الشحنة وعدد النوويات أولاً، ثم تحقق من إشارة Q.

MM.1 · مؤثرات الإحداثيات، الأوضاع المنفصلة والتحديثات المستقرة

• Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.
• فصل المتغيرات يحول مسألة القيم الحدودية إلى أوضاع عادية. وترية مثبتة من الطرفين، اكتب u=X(x)T(t)؛ معادلة الموجة تعطي X″/X=(1/c²)T″/T=−k²، تفرض الأطراف المثبتة X=sin(nπx/L)، والترددات المسموحة هي ω_n=nπc/L، f_n=nc/(2L). يجب أن يحقق كل وضع شروط الحدود قبل أي مجموع للأوضاع.
• تحديث إيليغر الصريح لـ y′=−λy هو y_{n+1}=(1−λh)y_n، وهو محدود عندما |1−λh|≤1، أي 0<h≤2/λ for λ>0؛ التناقص المقارب يتطلب 0<h<2/λ. مع λ=10 /s، يجب ألا يتجاوز h 0.2 s؛ عند h=0.25 s يُضرب في −1.5 في كل خطوة ويتباعد بإشارة متناوبة. الثبات خاصية للاختزال التكراري وليس للحل الحقيقي.
• تحقق من الإجابة العددية بثلاث طرق قبل الثقة بها: وحدات كل حد (يجب أن يكون λh بلا أبعاد)، التقارب تحت التحسين (نصف h وقارن؛ خطأ إيليغر الصريح من الرتبة الأولى)، وحالة حدية بإجابة دقيقة معروفة. بالنسبة لـ y′=−4y مع y0=8 وh=0.2، تعطي خمس خطوات 8×0.2⁵=0.00256 مقابل القيمة الدقيقة 8e^(−4)≈0.1465: مستقر لكن غير دقيق، لذا قم بالتحسين.

مثال مدقق

Radial check: f=1/r gives f″+2f′/r=0 away from the origin. A string with L=0.5 m and c=100 m/s has f₁=c/(2L)=100 Hz. Euler stability for λ=10 /s needs h≤0.2 s; refining y′=−4y with y(0)=8 at t=1 s, from h=0.2 to 0.1 to 0.05 gives 0.00256, 0.0483, 0.0922, approaching the exact 0.1465.

خطأ شائع

تطبيق لابلاس الديكارتي على دالة شعاعية، أو جمع الأوضاع التي تخالف الشروط الحدية، أو اعتبار تشغيل يبدو محدوداً متقارباً دون تحسين الخطوة. طابق المشغل والحدود وشروط الاستقرار مع المشكلة الفعلية.