رياضيات GRE

رياضيات GRE الجامعية المقدمة عبر الحاسوب

حوالي 66 عنصر اختيار متعدد في 170 دقيقة؛ لا توجد أقسام منفصلة ذات وقت محدد. حساب التفاضل والتكول يمثل حوالي 50%، والجبر 25%، ومواضيع إضافية 25%. هذا اختبار قبول دراسات عليا في الرياضيات الجامعية، وليس مؤهل مستوى A.

النطاق الرسمي: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

C.1 · حساب التفاضل والتكول أحادي المتغيرات وتطبيقاته

• A limit describes values near a point, without requiring the function to be defined there. Continuity adds the requirement that the function value exists and agrees with the limit. Algebraic cancellation is valid only away from the cancelled zero, but can reveal a removable limit. One-sided limits must agree for a two-sided limit. For quotient limits, check the denominator and hypotheses before applying a rule; 0/0 is an indeterminate form, not an answer.
• المشتقة هي حد لنسب الفروق وتدل على الاستمرارية؛ العكس لا يتحقق، كما يظهر في |x| عند الصفر. قواعد الضرب والقسمة والسلسلة تصف هياكل مختلفة: مشتقة f(g(x)) هي f′(g(x))g′(x)، وليست ضرب قيم غير مرتبطة. اشتقاق مركب مرة ثانية ينتج عادةً حدين. تحقق من المجالات والمقامات غير الصفرية وافتراضات القابلية للاشتقاق قبل استخدام التعبير الرمزي كمشتقة.
• The fundamental theorem says that the derivative of ∫ from a to x of a continuous integrand f(t) is f(x). With a variable upper bound h(x), multiply by h′(x); with two variable bounds, subtract the corresponding lower-bound contribution. A definite integral also arises as a limit of Riemann sums. Rewrite the sum as (1/n)Σf(k/n) before identifying the integral on [0,1], rather than treating n-dependent terms as constants.
• على سبيل المثال Σ من k=1 إلى n من n/(n²+k²) يساوي (1/n)Σ1/(1+(k/n)²)، وهو يؤول إلى ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. يستخدم هذا الحد الاستمرارية وعرض التقسيم 1/n. متسلسلة ذات عدد غير محدود من الحدود تمثل حداً مختلفاً: تقارب الحدود إلى الصفر وحده لا يضمن التقارب. بالنسبة لـ Σ1/k، فإن المجاميع الجزئية تتباعد؛ قارن أو قدر أو طبق اختبار متسلسلة صالح بدلاً من استخدام شرط الحد الضروري كشرط كافٍ.

مثال مدقق

بالنسبة للدالة F(x) = التكامل من 0 إلى x² لـ e^t dt، تعطينا النظرية الأساسية وقاعدة السلسلة أن F′(x)=e^(x²)·2x. عند x=1، تكون F′(1)=2e. الحد العلوي هو x²، لذا فإن تجاهل 2x يؤدي إلى إهمال معدل تغيره.

خطأ شائع

حساب التفاضل والتكامل A-level هو مادة prerequisite مفيدة لكن لا يغطي التحليل والتطبيقات الجامعية التي يتم اختبارها هنا.

C.2 · حساب التفاضل والتكول متعدد المتغيرات والتحليل الشعاعي

• المشتقة الجزئية تغير إحداثياً واحداً بينما تثبت الأخرى. بالنسبة لـ f=x²+3xy، فإن f_x=2x+3y و f_y=3x. تجمع المشتقات الجزئية هذه في التدرج؛ إذا كانت f قابلة للاشتقاق، فإن المشتقة الاتجاهية على طول متجه وحدة v هي grad f·v. قم بتوحيد اتجاه المتجه قبل إجراء عملية الضرب النقطي. متجه اتجاه بطول اثنين سيضاعف الإجابة إذا تم استخدامه بدون توحيد.
• القابلية للاشتقاق تعني وجود تقريب خطي صالح، وليس مجرد وجود بعض المشتقات الجزئية عند نقطة واحدة. استمرارية المشتقات الجزئية الأولى في جوار هي شرط كافٍ. بالنسبة للمركب f(x(t),y(t))، تعطيك قاعدة السلسلة f_x x′+f_y y′. المشتقات الثانية يمكن أن تقدم حدوداً مباشرة ومختلطة؛ صفر المشتقة المختلطة وحدها لا يفرض قيداً على المشتقات الثنائية الخالصة.
• التكامل المتعدد يجمع المساهمات عبر منطقة محددة. صف المنطقة قبل اختيار حدود التكرار؛ الحدود غير المستطيلة قد تتغير عند تغيير الترتيب. في الإحداثيات القطبية، المساحة هي r dr dtheta، وليس مجرد dr dtheta. استخدام تحويل إحداثيات عام يتطلب المحدد المطلق لمصفوفة Jacobian. الإشارة تنتمي لكميات المتجهات الموجهة، بينما استخدام المساحة والحجم للعوامل scaling يكون بعامل غير سالب.
• إذا كان كلا المشتقات الجزئية الأولى لدالة مُعرَّفة عالميًا على R² ثابتتين، f_x=a و f_y=b، فإن التكامل المتتابع يعطي f=ax+by+c، وهي مستوٍ. لا يمكن استنتاج ذلك من مجموعات المستوى المستقيمة المتوازية وحدها: f=e^x له خطوط مستوى عمودية متوازية لكن بيانه منحني. ولا يفرض f_xy=f_yx=0 وجود مستوٍ: f=x²+y² مثال مضاد. يجب التمييز بين ثبات المشتقة الأولى، وعدم وجود اعتماد مختلط، وشكل مجموعات المستوى المختارة.

مثال مدقق

بالنسبة لـ f(x,y)=x²+3y²، فإن grad f=(2x,6y). عند (1,1) هذه هي (2,6). في الاتجاه (3,4)، المتجه الوحدة هو (3/5,4/5)، مما يعطي المشتقة الاتجاهية 2·3/5+6·4/5=6.

خطأ شائع

متجه اتجاه غير وحدوي يعطي معدلًا مقيّسًا، وليس المشتقة لكل وحدة مسافة.

A.1 · الجبر الخطي

• فضاء متجه حقيقي مغلق تحت جمعه المحدد وضربه في عدد قياسي ويحقق بديهيات فضاء المتجهات. الأساس هو قائمة مستقلة ممتدة: كل متجه له تمثيل إحداثي فريد في تلك القائمة. لاختبار استقلانية أعمدة مصفوفة، حل النظام المتجانس Ac=0؛ فقط متجه معاملات الصفر يعني الاستقلالية. مجموعة الامتداد يمكن أن تحتوي على متجهات زائدة، لذا الامتداد وحده لا يجعلها أساساً.
• اختزال الصفوف يكشف عن المحاور والمتغيرات الحرة دون تغيير مجموعة حلول نظام خطي. الرتبة هي بعد صورة العمود، أو ما يكافئها عدد المحاور. الفراغ (Nullity) هو بعد النواة: بالنسبة لتحويل من مجال بعيد n، الرتبة + الفراغ = n. في نظام غير متجانس، صف معاملاته صفر مع الطرف الأيمن غير صفري يعني عدم الاتساق؛ المتغيرات الحرة تعطي حلولاً لا نهائية فقط بعد إثبات الاتساق. بعد المجال المقابل لا يشترط أن يساوي الرتبة.
• المصفوفة المربعة قابلة للعكس بالضبط عندما يكون محددها غير صفري ونوفاؤها صفر ورتبتها تساوي حجمها. هذه العبارات لا تتطلب أن تكون كل عنصر غير صفري. محددات المثلثية هي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، لذلك يمكن لمصفوفة تعتمد على متغير مركب أن تكون شاذة عند الجذور المركبة الغائبة عن حساب يعتمد فقط على الأعداد الحقيقية. تبديل الصفوف يعكس إشارة المحدد؛ إضافة مضروب صف واحد لصف آخر يتركه دون تغيير. تحقق من الشذوذ قبل تطبيق صيغة العكس.
• المتجه الذاتي لا يساوي الصفر ويحقق Av=λv، لذا فإن القيم الذاتية هي جذور det(A−λI). يتطلب التقطيع وجود قاعدة كاملة من متجهات ذاتية مستقلة على الحقل المختار. تعطي القيم الذاتية المميزة متجهات ذاتية مستقلة، بينما قد تكون فضاءات القيم الذاتية المكررة صغيرة جداً. المصفوفة المتماثلة الحقيقية تمتلك قاعدة ذاتية حقيقية متعامدة ووحوية. المصفوفة الحقيقية ذات البعد الفردي تمتلك قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل لأن كثير حدودها الحقيقي مميز له درجة فردية؛ وهذا وحده لا يفيد في التقطيع أو أن جميع القيم الذاتية حقيقية.

مثال مدقق

المصفوفة A=[[1,1],[0,1]] لها كثير حدود مميز (1−λ)². المتجهات الذاتية تحقق y=0، لذا فإن فضاءها الذاتي له بُعد واحد. يتطلب قطرية مصفوفة 2×2 متجهين ذاتيين مستقلين؛ وبما أن A لا تملك ما يكفي منهما، فهي غير قابلة للقطرية.

خطأ شائع

التكرار الجبري للقيمة الذاتية ليس بالضرورة مساوياً لبُعد فضاءها الذاتي.

A.2 · الجبر المجرد ونظرية الأعداد

• المجموعة تتطلب الانغلاق، والترابط، والعنصر المحايد، والمعكوسات. التبادلية شرط إضافي.
• التطبيق التوافقي يحافظ على العملية. نواته مجموعة جزئية عادية وتحدد العناصر التي تُصوَّر إلى المحايد.
• الحقل يسمح بالقسمة على كل عنصر غير صفري. تشكل الأعداد الصحيحة حلقة وليس حقلاً.
• العمل مع التطابقات modulo n. الباقٍ a له معكوض ضربي إذا وفقط إذا كان gcd(a,n)=1.

مثال مدقق

معيارية 8، يمتلك 3 معكوساً هو 3 لأن 3·3=9≡1. لكن 2 ليس له معكوس لأن gcd(2,8)=2. معيارية عدد أولي، كل باقٍ غير صفري يمتلك معكوساً؛ وهذا يعطي حلاً نهائياً.

خطأ شائع

لا تلغِ عاملاً في المعادلة المودولية دون التحقق من أنه قابل للعكس.

T.1 · التحليل الحقيقي والطوبولوجيا

• عبارة إيبسيلون-دلتا تتحكم في جميع المدخلات الكافية القرب. ترتيب الكميات مهم.
• في الفضاء الإقليدي الحقيقي، المجموعات المغلقة والمحدودة هي مضغوطة. لا تطبق هذا التكافؤ على كل فضاء متري.
• صور المجموعات المضغوطة تحت دوال متصلة هي مجموعات مضغوطة، لذا فإن أي دالة حقيقية متصلة على مجال مضغوط تصل إلى قيمتها الصغرى العظمى.
• الاستبعاد للاتصال يعني عدم القدرة على فصله إلى أجزاء مفتوحة غير فارغة ومتقطعة. التحافظ على الاتصال خاصية مستقلة عن الاكتمال.

مثال مدقق

الدالة f(x)=x على (0,1) متصلة ومحدودة لكنها لا تساوي قط supremum 1. على [0,1]، تصل نفس الدالة إلى قيمة عظمى عند 1. يفسر الطرف المفقود لماذا لا ينطبق نظرية المجال المضغوط على الحالة الأولى.

خطأ شائع

لا يمكن استخدام استنتاج نظرية قبل التحقق من فروضها.

T.2 · الرياضيات المتقطعة، الاحتمالات والطرق العددية

• اختر نموذج العد أولاً: الاختيارات المرتبة لـ r كائنات مختلفة تستخدم n(n−1)⋯(n−r+1)، بينما المجموعات غير المرتبة تستخدم C(n,r). الرسم البياني الكامل البسيط الذي يحتوي على n رؤوس يمتلك حافة واحدة لكل زوج من الرؤوس غير المرتبة، مما يعطي n(n−1)/2 حافة؛ الحلقات والحواف المتعددة ستغير النموذج. بالنسبة لـ n خط في وضع عام في مستوى، يتقاطع الخط k مع الخطوط السابقة k−1 في نقاط مميزة ويضيف k مناطق. الإجمالي هو 1+n(n+1)/2؛ التوازي أو التلاقى الثلاثي يبطل هذا العد.
• استخدم المكملات لعد الحد الأدنى لحدوث واحد، واشترط على العدد الفعلي المتبقي بعد السحب دون إرجاع. لـ r نتائج iid مختارة من n قيم متساوية الاحتمال، احتمالية أن تكون جميعها مختلفة هي n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r عندما r≤n. مكملها يعد النتائج المكررة. لعدد توافقي مع N تجارب مستقلة واحتمال نجاح ثابت p، المتوسط هو Np والتباين Np(1−p). تساوي الاحتمالات وحده لا يثبت الاستقلال.
• الوتد اللاحق يصف القيم اللاحقة من القبلية ويحتاج إلى بيانات ابتدائية كافية لتحديد المتسلسلة. افصل بين المؤشر والقيمة: a_n=2a_(n−1) مع a_0=3 يعطي a_n=3·2^n. غالباً ما تُ establishing استدلال بياني وخوارزمي بتحديد ما يضيفه رأس جديد أو خطوة. يجب أن يحقق الصيغة المغلقة كل من الوتد اللاحق وشروطه الابتدائية؛ ملاءمة بعض الحدود الملاحظة لا يثبت ذلك لكل مؤشر.
• التقدير الرقمي يحتاج إلى حجة خطأ. يحافظ التقسيم الثنائي على قوس متغير الإشارة للدالة المتصلة ويضعف عرضه في كل خطوة؛ قد يكون هناك صفر إذا فشل الاستمرارية. تحديث نيوتن هو x_new=x−f(x)/f′(x)، ويتطلب مشتقة غير صفرية عند النقطة الحالية؛ التقارب ليس تلقائياً من كل قيمة بداية. باقِ التقدير وأخطائه في x مختلفان. نص فرضيات الطريقة ومعيار التوقف، بدلاً من التعامل مع الأرقام العشرية الإضافية المعروضة على أنها دقة.

مثال مدقق

بالنسبة لـ f(x)=x²−2 و x₀=1، تعطي خطوة نيوتن 1−(1−2)/2=1.5. القيمة التالية هي 1.5−0.25/3=1.4167. هذه تقارب sqrt(2)، لكن f′(0)=0 تجعل الصفر نقطة بداية غير صالحة.

خطأ شائع

الأحداث ذات الاحتمالات الموجبة لا يمكن أن تكون مستقلة ومتنافية في آن واحد.

T.3 · التحليل المعقد والمقيمات

• اكتب f(z)=u(x,y)+iv(x,y). التفرد المرك imposes u_x=v_y و u_y=−v_x؛ مع اشتقاق جزئي مستمر محلياً، تثبت معادلات كوشي-ريميان التحليلية هناك. تختلف عن التفرد الحقيقي لخريطة إحداثيتين. الدالة المرافقة x−iy تفشل هذه المعادلات في كل جوار مفتوح، على الرغم من وجود المشتقات الجزئية الحقيقية. نص المنطقة التي يتم فحصها، وليس فقط نقطة مريحة.
• الدالة التحليلية هي تفرد مركبي طوال الجوار ولديها متسلسلة قوى متقاربة محلية. يمكن ملء التفرد القابل للإزالة تحليلاً عندما تكون الدالة محدودة بالقرب من النقطة المفقودة. القطب له جزء رئيسي محدود في متسلسله لورنت؛ التفرد الأساسي يحتوي على عدد لا نهائي من الحدود ذات القوى السالبة. الباقي هو معامل (z−a)⁻¹، ليس بالضرورة الحد الأول أو أكبر حد ذو قوة سالبة.
• للقطب المعزول من الرتبة m، اكتب f(z)=g(z)/(z−a)^m حيث g تحليلية عند a. الباقي هو g^(m−1)(a)/(m−1)!. القطب البسيط يستخدم g(a)؛ القطب المزدوج يستخدم g′(a). هذا يتبع بتوسع g في متسلسله تايلور. thus e^z/(z−a)² له باقي e^a، بينما البسط الثابت فوق قطب مزدوج نقي له باقي صفر. رتبة القطب وحدها لا تحدد التكامل kontour.
• لمجموع contoured موجب الاتجاه يحيط بالتفردات المعزولة، يعطي نظرية الباقي ∮f(z)dz=2πi مضروباً في مجموع البواقي المغلقة، بشرط أن تكون الدالة تحليلية على Contour وفي مكان آخر داخل المطلوب. عكس الاتجاه يغير الإشارة. صيغة اشتقاق كوشي هي ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! تحت فرضيات مجالها التحليلي. التفرد على Contour يمنع التطبيق المباشر؛ التفرد الخارجي يساهم بشيء واحد لهذا Contour.

مثال مدقق

بالنسبة لـ f(z)=conjugate(z)، لدينا u=x و v=−y. إذن u_x=1 بينما v_y=−1، مما يعني أن f ليست قابلة للتفاضل المركب. بالنسبة لـ 1/(z−2)، يحيط دائرة موجبة الاتجاه |z−2|=1 بقطب بسيط بمخلفة 1، وبالتالي يكون التكامل 2πi.

خطأ شائع

الاستمرارية أو التفرد الحقيقي وحده لا يفيد التحليل المركبي.

C.3 · المعادلات التفاضلية والشروط الأولية

• بالنسبة للمعادلة y′=ky، يؤدي الفصل والتكامل إلى y=Ce^(kt)؛ استعد الحل الصفري إذا تم القسمة على y. تحدد قيمة ابتدائية الثابت C.
• تستخدم المعادلة الخطية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة كثيرة حدود مميزة. الجذور المختلفة تُنتج دوال أسية؛ أما الجذر المكرر فيستلزم استخدام الصيغة (C1+C2t)e^(rt).
• الجذور المركبة α±iβ تُعطي e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). يتضمن الحركة الحقيقية معلومات كل من السعة والطور.
• يعتمد الوجود والتميز على الفرضيات القريبة من نقطة البداية. قد يُفشل معامل مفرد أو انحراف عن سلوك Lipschitz المحلي في إبطال استنتاج التميز المعتاد.

مثال مدقق

حل y″+4y=0 مع الشروط y(0)=3 و y′(0)=4. جذور المعادلة المميزة هي ±2i، لذا تكون y=A cos2t+B sin2t. يعطيك الشرط الأول A=3؛ وبإجراء الاشتقاق نحصل على y′(0)=2B=4، ومنه B=2.

خطأ شائع

الجذر المميز المكرر يحتاج إلى عامل t؛ نسختان من نفس الأسّي ليستا حلين مستقلين.

A.3 · المجموعات، الزمر المصاحبة والتحويلات القسرية

• قبل حساب الرتبة، تحقق من الإغلاق، التجميع، هوية وعكس لكل عنصر تحت العملية المنصوبة. يمكن للمجموعة الجزئية أن ترث التجميع لكنها تفشل في الإغلاق أو تتخلى عن الهوية. في مجموعة نهائية، رتبة العنصر هي أقل قوة موجبة تعطي الهوية. في المجموعة الإضافة Z/nZ، هو أقل مضاعف موجب يعطي صفراً؛ رتبة الباقي a هي n/gcd(a,n). تنص نظرية لاغرانج على أن رتب المجموعات الجزئية تقسم رتبة المجموعة. العكس ليس نظرية وجود عامة، ورتبة المجموعة ليست رتبة كل عنصر.
• الجناح الأيسر gH هو إزاحة لتحت مجموعة H. تتساوى أحجام الأجنحة وتجزئ المجموعة، لذا فإن المؤشر هو |G|/|H| في المجموعات المنتهية. في المجموعات الإجمالية نكتب g+H. الانتماء لنفس جناح يعني أن الفرق يقع في H. عادةً ما لا يكون الجناح نفسه تحت مجموعة لأنه قد يفتقر إلى العنصر المحايد.
• التماثل (homomorphism) يحافظ على العملية. يتكون نواته من العناصر المرسلة إلى العنصر المحايد، ويتكون صورته من القيم التي تم الوصول إليها فعلياً. كل نواة هي مجموعة اعتيادية. يحدد نظرية التماثل الأولى G/ker(phi) مع im(phi)؛ لا تحل الصورة بمجال القدر الكلي إلا إذا كانت الدالة شاملة.
• الضرب القسري معرف جيدًا فقط عندما تكون H طبيعية. جميع المجموعات الجزئية للمجموعة الإبدالية طبيعية. في المجموعة غير الإبدالية، اختبر gHg^−1=H؛ المجموعة الجزئية ذات المؤشر اثنان طبيعية. بالنسبة للتباديل، قم بالتركيب حسب الاتفاقية المنصوبة، هنا اليمين أولاً. تعطي أطوال الدورات المنفصلة رتبة التبادل عن طريق المضاعف المشترك الأصغر لها. ترقيم العناصر من خلال الاقتراب hσh⁻¹ يعيد تسمية العناصر في دورات σ، لذا يحافظ على أطوال الدورات؛ والعكس، التباديل ذات نفس أطوال الدورات يمكن ربطها بإعادة التسمية. وبالتالي، فئات الاقتراب في S_n تقابل تجزئة n، بما في ذلك دورات النقاط الثابتة. في S4، الأنواع هي 1+1+1+1، 2+1+1، 2+2، 3+1 و4: خمس فئات، وليس فئة واحدة لكل رتبة عنصر ممكنة. الأنواع 2+1+1 و2+2 كلاهما له رتبة اثنان لكنهما ليسا مقترنين.

مثال مدقق

عرّف phi من Z/12Z إلى Z/3Z عن طريق تقليل البواقي modulo 3. هو غامر ويحفظ الجمع. نواته H هي {0,3,6,9}، لذا |H|=4 والفهرس هو 12/4=3. الفصول الأخرى هي {1,4,7,10} و{2,5,8,11}. بالتالي (Z/12Z)/H متماثل مع Z/3Z. العنصر 3 في المجموعة الأصلية له رتبة 12/gcd(3,12)=4، وليس 3.

خطأ شائع

القسمة لها عنصر واحد لكل جناح، وليس واحداً لكل عنصر من نواتها. التماثل لا يشترط أن يكون شاملاً لمجال قدره المحدد.

A.4 · الحلقات، المثالات والوحدات

• بالنسبة للمثال أدناه للمجال والمثالي والقسمة، استخدم حلقة إبدالية مع عنصر محايد 1 مختلف عن 0. قد تنص مسألة المصدر على حلقة عامة؛ لا تفترض أن ضربها إبدالي إلا إذا ذُكر أو أُثبت. الوحدة لها معكوس ضربي. مقسم الصفر غير الصفري يضرب بعض العناصر غير الصفري ليصبح صفراً. النطاق التكاملية لا يحتوي على مثل هذه مقسومات الصفر؛ إذن إلغاء العامل غير الصفري يعمل. الحقل هو نطاق تكاملية يكون فيه كل عنصر غير صفري وحدة. Z هو نطاق تكاملية وليس حلقاً؛ Z/6Z neither.
• المثالي I هو تحت مجموعة إجمالية تمتص الضرب بكل عنصر من الحلقة. هذا أقوى من كونه حلقة فرعية. في Z، nZ مثالي؛ عناصر القسمة هي فئات باقي عدد صحيح modulo n. في الحلقة الإبدالية، R/I حقل بالضبط عندما يكون I مثالياً قصيراً، وهو نطاق تكاملية بالضبط عندما يكون I أولياً. يجب أن يكون المثالي مناسباً في كلا الحالتين.
• تسمح الوحدة بأرقام من حلقة بدلاً من اشتراط حقل. كل مجموعة إبدالية هي وحدة Z عن طريق الإضافة المتكررة، لكنها قد لا تمتلك أساس فضاء شعاعي. في Z/6Z كوحدة Z، فإن 6 مرة الرمز غير الصفري 1 يساوي صفراً؛ هذا هو التواء. بالنسبة لفضاء شعاعي فوق حقل، فإن الرقم غير الصفري قابل للعكس ولا يمكن أن يُلغي شعاعاً غير صفري.
• submodule هي مغلقة تحت الجمع وكل عمليات الضرب بالثوابت المسموحة. التحويل الخطي للوحدات يحافظ على كلا الخاصيتين. النواة والصورة هما submodule، والقسمة على النواة متماثلة مع الصورة. لا تطبق نظرية الرتبة والنواة للأبعاد المنتهية على أي module دون إنشاء بيئة free-module مناسبة؛ لأن العمليات الصفوفية للأعداد الصحيحة والعمليات الصفوفية للمجالات تسمح بقسومات مختلفة. في حلقة بوليان عامة، كل a تحقق a²=a. لا تفترض التبادل لإثبات ذلك: idempotence of a+a يعطي 4a=2a، وبالتالي 2a=0. بتوسيع (a+b)²=a+b نحصل ab+ba=0، و characteristic two يجعل −ba=ba؛ لذلك ab=ba. Idempotence لا implies nilpotence: في F2، العنصر غير الصفري 1 يحقق 1^n=1 لكل n موجب.

مثال مدقق

In Z/6Z, 2·3=0, so 2 and 3 are zero divisors. The units are 1 and 5 because their gcd with 6 is 1. In Z, the ideal 5Z gives the field Z/5Z, while 6Z gives a quotient with zero divisors. As Z-modules, the map from Z to Z/6Z has kernel 6Z; the quotient identifies integers differing by a multiple of 6, rather than producing a real vector space.

خطأ شائع

مجموعة يمكن أن تكون submodule دون أن تكون فضاءً شعاعياً على الأعداد النسبية. قسمة الثوابت صالحة فقط عندما ينتمي معكوس الضرب للثابت إلى البنية.

A.5 · كثيرات الحدود وامتدادات الحقول

• كثيرة حدود هي غير قابلة للقسمة over a field إذا كان لها درجة موجبة ولا يوجد فيها تحليل لكثيرات حدود من درجات موجبة أصغر. التربيعية أو التكعيبية هي غير قابلة للقسمة بالضبط عندما ليس لها جذر في ذلك المجال. اختبار الجذر هذا وحده يفشل للدرجات أربعة فأكثر؛ على سبيل المثال (x²+1)(x²+2) ليس له جذر حقيقي ولكنه قابل للقسمة over R. always name the base field.
• القسمة F[x]/(p) هي مجال عندما p irreducible. قلل القوى باستخدام p(alpha)=0، حيث alpha هو فئة باقٍ لـ x. إذا كان F يحتوي على q عناصر و p له درجة d، فإن القسمة تحتوي على q^d عناصر ممثلة بكثيرات حدود من درجات أقل من d. Z/4Z يحتوي على أربع عناصر لكن به zero divisors، لذا فهو ليس المجال بأربعة عناصر.
• فوق F2، p(x)=x²+x+1 له قيم 1 عند كل من 0 و1 وهو غير قابل للاختزال. في قسماه alpha²=alpha+1 لأن الطرح يساوي الجمع في الصفة اثنان. العناصر الأربعة هي 0,1، alpha، alpha+1. يجب أن تكون جميع العناصر الثلاثة غير الصفرية وحدات؛ احصل على منتجاتها بدلاً من معاملة alpha كأριθم حقيقي عادي.
• للمجالات المحدودة المتداخلة K داخل L داخل M، تعطي قاعدة البرج [M:K]=[M:L][L:K]. درجة العنصر الجبري هي درجة كثير حدوده الأدنى. الامتداد المحدود من الدرجة اثنان لا يحتوي عنصرًا من الدرجة ثلاثة فوق الحقل الأساسي. فوق Q، sqrt(2) له درجة اثنان؛ وإضافة sqrt(3) تنتج امتدادًا من الدرجة أربعة، لأن sqrt(3) ليس في Q(sqrt(2)). فوق C، جذور الوحدة الأصلية من الرتبة n لها رتبة دقيقة n وهي جذور كثير حدود السيتلوتومي Φ_n. من أجل n=10، قسّم x⁵+1 على x+1 لاستبعاد جذر الرتبة اثنان −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. تعطي صيغ فيتا مجموع 1 وحاصل ضرب 1 لأربعة جذور أصلية منه. لا تجمع كل الجذور العشرية، أو افترض أن كل جذر عشري غير تافه هو أصلي؛ يجب التحقق من رتبة كل جذر. لكثير حد من الدرجة d ومُؤدِّم، حاصل ضرب جذوره هو (−1)^d مضروبًا في المعامل الثابت.

مثال مدقق

في F2[alpha] مع alpha²+alpha+1=0، اضرب alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. وبالتالي alpha^−1=alpha+1. أيضاً alpha³=1 و alpha ليس 1، لذا ترتيبه الضربي هو 3. هذا ينتج مجالاً بأربعة عناصر. بالمقابل 2·2=0 في Z/4Z، مما يثبت أن القسمة ليست مجالاً.

خطأ شائع

قابلية القسمة لكثيرات الحدود تتغير مع مجال المعاملات. كثيرة الحدود x²−2 هي غير قابلة للقسمة over Q لكنها تنقسم over R.

A.6 · التطابقات، القسامة والدوال الحسابية

• المعادلة ax≡b modulo n لها حل إذا وفقط إذا كان d=gcd(a,n) يقسم b. إذا حدث ذلك، اقسم a وb وn على d للحصول على معادلة بمعامل قابل للعكس. لها حل واحد للباقي modulo n/d وd حلول مختلفة modulo n. قسمة المعامل مع ترك المعامل الأصلي عادة ما يؤدي إلى فقدان الحلول. التحليل إلى عوامل أولية يوفر أداة أخرى للقابلية للقسمة: إذا كان n^k يجب أن يكون قابلاً للقسمة على حاصل ضرب قوى أولية p^a، فإن كل أس أولي في n يجب أن يكون على الأقل ceil(a/k). هذه الأسس الدنيا تنتج بشكل مستقل أقل قيمة موجبة مقبولة لـ n. بالنسبة لـ n⁴ قابلة للقسمة على 2⁷·3⁵، يجب أن يحتوي n على 2² و3²، لذا فإن القيمة الأدنى هي 36. هذا شرط أس أولي، وليس تطابقاً يُحل بالقسمة المودولية.
• يُعبّر خوارزمية إقليد الممتدة عن gcd(a,n) على شكل ua+vn. عندما يكون الـ gcd هو 1، فإن u هو معكوس a modulo n. اختر ممثلاً في النطاق المطلوب بعد الاختزال. بالنسبة لـ 7 و26، لدينا 1=15·7−4·26، لذا فإن 15 هو معكوس 7 modulo 26؛ تحقق من حاصل الضرب لتجنب خطأ الإشارة.
• بالنسبة للمعاملات الموجبة المتبادلة الأولية m,n، تعطي نظرية الباقي الصينية حلاً واحداً بالضبط modulo mn لكل زوج من شروط الباقي. عوض x=r+mk في التطابق الثاني وحل من أجل k. إذا لم تكن المعاملات متبادلة أولية، فيجب أن تتفق قيم البواقي modulo gcd(m,n); عند التوافق، تكون التفردية modulo المضاعف الأصغر، وليس المنتج.
• دالة أويلر phi(n) تحسب البواقي المتبادلة الأولية مع n. بالنسبة للقواسم الأولية المختلفة p، phi(n)=n مضروبة في حاصل ضرب (1−1/p). تعطي نظرية أويلر a^phi(n)≡1 فقط عندما gcd(a,n)=1. الحالة الأولية هي نظرية فيرم الصغرى. قلل الأسس فقط بعد التحقق من هذا الشرط؛ يمكن أن يصبح غير الوحدة صفراً تحت القوى المتكررة بدلاً من ذلك.

مثال مدقق

حل 6x≡9 modulo 15. القاسم المشترك هو 3 ويقسم 9. قسّم الكمية الثلاثة للحصول على 2x≡3 modulo 5؛ المعكوس لـ 2 هو 3، لذا x≡9≡4 modulo 5. الحلول الأصلية modulo 15 هي 4,9,14. بالنسبة لـ x≡2 modulo 4 وx≡3 modulo 7، اكتب x=2+4k؛ ثم 4k≡1 modulo 7، مما يعطي k≡2. وبالتالي x≡10 modulo 28.

خطأ شائع

التعبير a^phi(n)≡1 خاطئ لأجل a التعسفي. على سبيل المثال 2 ليس قابلاً للعكس modulo 8 و2^4 هو صفر modulo 8.

T.4 · المتتاليات، السلاسل والتقارب المنتظم

• المتتالية الحقيقية المتقاربة هي كوشي، وكل متتالية كوشي حقيقية تتقارب لأن R كاملة. في Q يمكن لمتتالية كوشي أن تقترب من عدد غير نسبي وتfails للتقارب داخل Q. المتتالية الحقيقية المحدودة والأحادية تتقارب. المتتالية المحددة لا يجب أن تتقارب، لكن بولزانو-فايرشتراس يضمن متتالية جزئية متقاربة؛ (-1)^n له limitان مختلفان للمتتاليات الجزئية.
• للسلسلة العددية، التقارب المطلق يقتضي التقارب؛ أما التقارب الشرطي فلا يسمح بإعادة الترتيب التعسفي دون التأثير على المجموع. تتقارب السلسلة التناوبية التوافقية ولكن سلسلة قيمتها المطلقة تتباعد. في اختبار النسبة، حد أقل من 1 يثبت التقارب المطلق، وحد أعلى من 1 يثبت التباعد؛ أما الحد يساوي 1 فهو غير حاسم، كما توضح كل من مجموع 1/n ومجموع 1/n².
• التقارب النقطي يختار فهرساً N منفصلاً لكل x وخطأ مقبول. أما التقارب المنتظم فيختار N واحداً صالحاً لكل x في المجال. بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية، تحقق من الحد الأعلى لـ |f_n−f| على كامل المجال. لا يثبت التقارب النقطي المستمر وحده تقارباً منتظماً. غالباً ما تميز أطراف المجال والذرات المتقلصة بين المفهومين.
• حد دوال مستمرة منتظمة هو دالة مستمرة. على فترة مغلقة ومحدودة، يسمح التقارب المنتظم لدوال ريمان-القابلة للتكامل بتبديل النهاية والتكامل. تبديل المشتقات يتطلب فرضيات إضافية؛ التقارب المنتظم للدوال وحده غير كافٍ. ينص اختبار وايرستراس M على التقارب المطلق المنتظم لمتسلسلة دوال إذا كان كل حد محوداً بـ M_n على كامل المجال ومجموع M_n متقارب.

مثال مدقق

على [0,1]، f_n(x)=x^n تميل إلى 0 عندما x<1 وتميل إلى 1 عند x=1. الدالة المحددة غير مستمرة، لذا لا يمكن أن يكون التقارب منتظماً؛ وبشكل مباشر، الخطأ الأعلى هو 1، وهو يُقترب منه من الأسفل 1. على [0,a] حيث 0≤a<1، تكون القيمة المحددة صفراً والحد الأعلى هو a^n، والذي يميل إلى الصفر، لذا فإن التقارب منتظم. تغيير المجال يغير الاستنتاج.

خطأ شائع

التحقق من عدة قيم x ثابتة لا يثبت neither حدًا علويًا nor تقاربًا موحدًا. النقطة التي تنتج أكبر خطأ قد تتحرك مع n.

T.5 · المجموعات المفتوحة، الانضغاط والاتصال

• في الفضاء المترقي، المجموعة المفتوحة تحتوي على كرة صغيرة حول كل نقطة منها. تتكون الداخلية من مثل هذه النقاط؛ يشمل الإغلاق جميع نقاط التجميع؛ والحدود هو الإغلاق ناقص الداخلية. ليست العلامتان "مفتوحة" و"مغلقة" متنافيتين؛ فالمجموعة الخالية والفضاء كله كلاهما مفتوح ومغلق. في R، مجموعة [0,1) لها داخلية (0,1)، وإغلاق [0,1]، وحدود {0,1}.
• في فضاء جزئي X، تكون المجموعة المفتوحة على شكل X مقطوعة مع مجموعة مفتوحة في الفضاء المحيط. لذا فإن [0,1) مفتوحة نسبياً بالنسبة لـ [0,2]، باستخدام المقطوعة مع (-1,1)، على الرغم من أنها ليست مفتوحة في R. قد تكون المجموعة مغلقة نسبياً دون أن تكون مغلقة في الفضاء المحيط. يجب دائماً تحديد أي فضاء يُعرّف الجوار وأي متر يُستخدم.
• الكثافة تعني أن كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء فرعي محدود. في R^n الإقليدي، يجعل هييه-بوريل ذلك مساوياً للمجموعة المغلقة والمحدودة. في الفضاء المترقي، الكثافة مساوية للكثافة المتتالية؛ والكاملة والمحدودة وحدهما لا تكفيان في الفضاءات المترقية العامة. الصورة المستمرة لمجموعة كثيفة هي مجموعة كثيفة، مما يمنح توابع حقيقية مستمرة على مجال كثيف غير فارغ قيمًا قصوى ودنيا مُتحققة.
• المجموعات المتصلة لا يمكن فصلها إلى جزئين غير فارغين مفتوحين نسبياً؛ المجموعات المتصلة الفرعية في R هي بالتحديد الفترات. الصورة المستمرة لمجموعة متصلة هي مجموعة متصلة، مما يؤدي إلى نظرية القيمة الوسطى. الاتصال بالمسار يقتضي الاتصال، وليس العكس في كل فضاء. لا يشترط أن تكون المجموعة الكثيفة متصلة، ولا يشترط أن تكون المجموعة المتصلة كثيفة؛ توفر مجموعة من نقطتين منتهية وفتره مفتوحة الحالات المتناقضة.

مثال مدقق

ليكن X=[0,1] مع طوبولوجيته النسبية المعتادة. المجموعة U=[0,0.5) تساوي X مقطوعة مع (-1,0.5)، لذا U مفتوحة في X. إغلاقها في X هو [0,0.5]، وحدودها في X هو {0.5}؛ الصفر نقطة داخلية نسبياً لـ X. بالنسبة لدالة مستمرة f على X حيث f(0)<0<f(1)، يضمن الاتصال وجود صفر، بينما تضمن الكثافة بشكل مستقل تحقق القيم القصوى.

خطأ شائع

يعتبر اختبار هاين-بوريل للفضاء المغلق والمحدود نظرية في الفضاء الإقليدي. وتُجيب مفهوما الاتصال والانضغاط عن أسئلة مختلفة.

C.4 · مفكوكات تايلور ونهايات متسلسلات القوى

• كثير حدود تايلور من الدرجة m عند a هو مجموع f^(k)(a)(x−a)^k/k! حيث k من صفر إلى m. ينتمي المضروب إلى كل معامل. إذا كان المشتق التالي محدود المقدار بـ M بين a و x، فإن الباقي لاغرانج مقداره لا يتجاوز M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. النعومة وحدها لا تضمن أن متسلسلة تايلور اللانهائية تساوي الدالة في كل مكان.
• متسلسلة القوى sum c_n(x−a)^n تتقارب مطلقًا داخل قطرها R وتتفرق خارجها. عادةً ما تحدد اختبارات النسبة أو الجذر قيمة R، وقد تكون القيم صفر أو ما لا نهاية. عند x=a−R و x=a+R غالبًا ما يصبح الاختبار حاسمًا؛ عوض لكل طرف في المتسلسلة الأصلية. قد تختلف سلوكيات الأطراف الاثنين.
• ضمن الفترة المفتوحة للتقارب، يحافظ الاشتقاق والتكامل الحدي على نصف القطر. ولكنهما قد يغيران شمول الأطراف. ابدأ بسلسلة هندسية 1/(1−x)=sum x^n من أجل |x|<1، ثم تكامل من صفر إلى x للحصول على −ln(1−x)=sum x^n/n من أجل n≥1. تحقق من ثابت التكامل ومجال اللوغاريتم الحقيقي.
• المتسلسلات تحل أيضاً أشكال حدود إزالة الإزالة. لتقييم (e^x−1−x)/x² بالقرب من الصفر، احتفظ بالأول Remaining term x²/2 بدلاً من استخدام e^x≈1+x فقط. ترقيق التقارب الأسيموتبي يحدد الحد؛ المتباينة ذات الفترة المحددة تحتاج إلى حجة منفصلة لإشارة أو مقدار الباقي. لا تعوض في متسلسلة خارج فترة تقارنها.

مثال مدقق

بالنسبة لمجموع x^n/n حيث n≥1، يعطي اختبار النسبة نصف قطر 1. عند x=1 هو متسلسلة هارمونيتية متباعدة؛ عند x=−1 هو متسلسلة متناوبة متقاربة. وبالتالي فإن فترة التقارب الحقيقية له هي [−1,1). differentiation inside gives sum x^(n−1)=1/(1−x)، which converges at neither endpoint. البقاء نصف القطر stayed 1 بينما تغير شمول نقطة النهاية.

خطأ شائع

النصف قطر ليس فترة تقارب كاملة. يجب التحقق من اختبارات الأطراف ومعاملات المضاربات صراحةً.

C.5 · التكاملات غير المنحوبة والتطبيقات الهندسية

• يُستبدل حد التكامل اللانهائي بحدود نهية وقيمة حدية. عند نقطة مفردة داخل الفترة، يُجزأ التكامل ويُشترط تقارب كلا التكاملين من طرف واحد بشكل منفصل. يمكن أن تُعرّف الإلغاءات المتناظرة قيمة كوشي الرئيسية، لكنها لا تثبت تقارب التكامل غير العادي العادي. بالنسبة لـ 1/x عبر الصفر، يتباعد كلا الجانبين رغم أن القطع المتناظر يلغيهما.
• يتكامل x^(−p) من 1 إلى ما لا نهاية إذا وفقط إذا كان p>1. من الصفر إلى 1 يتكامل إذا وفقط إذا كان p<1. نفس الأس يتصرف بشكل مختلف عند الحدين. بالنسبة للتكاملات ذات الدوال الموجبة، ينقل الاختبار التقارب من دالة أكبر قابلة للتكامل أو التباعد من دالة أصغر غير قابلة للتكامل؛ حافظ على اتجاه المتباينة صحيحًا. بالنسبة لتكامل للحد الأقصى أو الأدنى، حل تقاطعات الفروع وتحقق من أي تعبير يهيمن على كل فترة. بالنسبة لـ max(√(1−x²),x+1) على [−1,1]، التقاطع الداخلي هو صفر؛ استخدم نصف الدائرة على [−1,0] والخط المستقيم على [0,1]. المساحة هي π/4+3/2، وليست تكامل أي فرع على الفترة بأكملها.
• للدوران حول محور x، تستخدم الأقراص أو الحلقات التكامل π(R²²−r²²) dx. تستخدم الأصداف الأسطوانية 2π مضروبًا في نصف القطر وفي الارتفاع وتكامل في المتغير المطابق. حدد الطريقة بناءً على الهندسة وتحقق من أن أنصاف الأقطار موجبة. المساحة بين المنحنيات تُكامل (الأعلى ناقص الأسفل)، مع التقسيم حيث يتغير ترتيبها. التكامل الموقوع ليس تلقائيًا مساحة هندسية.
• بالنسبة لمنحنى مستوي قابل للاشتقاق y=f(x)، طول القوس هو تكامل sqrt(1+(f′(x))²) dx. السطح الناتج عن دوران f موجبة حول محور x له مساحته تكامل 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. هذه كميات مختلفة عن الحجم. إذا كانت الفترة غير محدودة، فإن الصيغة الهندسية لا تزال تحتاج إلى اختبار تقارب.

مثال مدقق

دوّر y=1/x من أجل x≥1 حول محور x. حجم القرص هو π ضرب تكامل 1/x²، إذن V=π. دالة تكامل السطح الجانبي هي 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴)، وهي على الأقل 2π/x؛ تكاملها غير العادي يتباعد. الحجم المحدود لا يعني بالضرورة سطحًا محدودًا. هذا المقارنة يتجنب محاولة إيجاد مشتقة عكسية غير ضرورية.

خطأ شائع

لا تحسب القيمة الرئيسية كتكامل غير صحيح متقارب، ولا تستنتج محدودية كمية هندسية واحدة من أخرى.

C.6 · القيم القصوى متعددة المتغيرات والتحسين المقيد

• بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، الحد المحلي الداخلي له مدرجة صفر. هذا الشرط ضروري وليس كافياً. بالنسبة لمتغيرين عند نقطة حرجة، دع D=f_xx f_yy−(f_xy)². إذا كان D>0، وكان f_xx>0 يعطي حدًا أدنى محليًا صارمًا وf_xx<0 يعطي حدًا أعلى محليًا صارمًا؛ D<0 يعطي مقعد سرجي. تتطلب هذه الاختبارات انتظام المشتقة الثانية المناسب بالقرب من النقطة.
• عندما D=0 يكون اختبار المشتقة الثانية غير حاسم، وليس دليلاً على وجود مقعد سرجي. الدوال x⁴+y⁴ و x⁴−y⁴ لهما نفس مصفوفة هيسيان صفرية عند نقطة الأصل، لكن الأولى لها حد أدنى صارم والثانية تتغير إشارتها. قيّم على اتجاهات متناقضة أو استخدم متباينة مباشرة. بالنسبة لشكل تربيعي، الإيجابية المطلقة تعطي تفسيراً أكثر شمولاً لمصفوفة هيسيان.
• على قيد مساواة أملس g(x,y)=c بمدرجة غير صفرية g، حل grad f=lambda grad g مع g=c. تولد هذه المعادلات مرشحين؛ لكنها لا تصنف أو تضمن حدًا أقصى عالميًا. إذا اختفت مدرجة القيد، يفشل شرط الانتظام ويمكن لمعادلات المضاعفات أن تفوت حدًا مقيدًا. تعامل مع مثل هذه النقاط بشكل منفصل. بالنسبة لـ x²+y²=a و xy=b>0، (x−y)²=a−2b يظهر ضرورة a≥2b. إنه أيضًا كافٍ: خذ s=√(a+2b)، d=√(a−2b)، x=(s+d)/2 و y=(s−d)/2. هذه القيم الحقيقية لها xy=b و x²+y²=a. شرط الحد الأدنى وحده يحتاج إلى هذا التحقق من التحقيق لإثبات إمكانية الحل.
• الدالة المستمرة على مجموعة ممكنة مضغوطة تحقق القيم الحدية العالمية. لإيجادها، قارن جميع المرشحين الداخليين وقطوع الحدود، بما في ذلك الزوايا والنقاط الطرفية. بالنسبة لمستطيل، قم بتحقيق التقييدات على كل حافة. بالنسبة لقرص، قد يستخدم الحد الدائري متغيراً أو ضابط لاغرانج. حل تدرج غير مقيد فقط يتجاهل الفائزين المحتملين من الحدود.

مثال مدقق

قلّل x²+y² تحت القيد x+y=6. مدرجة القيد هي (1,1)، لذا 2x=lambda و 2y=lambda. بالتالي x=y والقيد يعطي x=y=3، مع قيمة 18. إكمال المربع على الخط يعطي x²+(6−x)²=2(x−3)²+18، مما يثبت حدًا أدنى عالميًا. لا يوجد حد أعلى على هذا الخط غير المحدود، على الرغم من وجود مرشح مضاعف.

خطأ شائع

حل ضابط لاغرانج هو مرشح، وليس بالضرورة حداً أعلى أو أدنى تلقائياً. تحقق من انتظام ومجموعة الممكنات الكاملة.

C.7 · تغيير الإحداثيات ونظريات التكامل المتجهي

• تغيير المتغيرات يوسع المساحة أو الحجم بمقدار المحدد المطلق لجاكوبيان. تستخدم الإحداثيات القطرية r dr dtheta؛ الإحداثيات الأسطوانية r dr dtheta dz؛ الإحداثيات الكروية التي يُقاس فيها زاوية phi من محور z الموجب rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. حدد قواعد الزاوية وحوّل كلًا من الدالة المكاملة والمنطقة. جاكوبيان مفقود يحول تكامل كثافة موحدة إلى كمية فيزيائية خاطئة.
• تعادل نظرية غرين تكامل الدوران على حدود مسطحة موجبة التوجه integral P dx+Q dy مع التكامل المزدوج لـ Q_x−P_y على المنطقة. تتطلب الافتراضات المعتادة وجود مشتقات أولى مستمرة على مجموعة مفتوحة تحتوي على المنطقة. يحتاج الثقب إلى حد داخلي خاص به سالب التوجه، أو معالجة أخرى صالحة للمجال المفقود. لا يمكن للنظرية التكامل عبر تفرد مجال.
• تعادل نظرية ستوكس الدوران على حدود سطح مع التكامل السطحي لـ curl F dot oriented normal. تربط قاعدة اليد اليمنى اتجاه الحدود بالعادي. تعادل نظرية التباعد التدفق الخارجي عبر سطح مغلق مع التكامل الحجمي لـ div F. الدوران، التدفق، الدوار، والتباعد مفاهيم منفصلة؛ يتطلب نظرية التباعد المعتادة سطحاً مغلقاً.
• مجال التدرج له تكاملات خطية مستقلة عن المسار، محددّة بفروق الجهد عند النقاط النهائية. مجال خالٍ من الدوار ومتماثل الاستتباع (continuously differentiable) على مجال مفتوح بسيط الاتصال هو محافظ. الخلو من الدوار وحده على مجال يحتوي على ثقب غير كافٍ. بالنسبة لـ F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²))، تم استبعاد نقطة الأصل؛ دورة دائرة الوحدة هي 2π، على الرغم من أن الدوار يساوي صفراً حيثما كان المجال معرفاً.

مثال مدقق

بالنسبة لـ F=(x,y,z)، التباعد هو 3. لذلك، التدفق الخارجي عبر الكرة نصف قطرها 2 هو 3 ضرب حجمها، أو 3·(4π·2³/3)=32π. هذا يتجنب معلمة السطح. بالنسبة للمجال المستوي (−y,x)، يعطي نظرية غرين دوران الوحدة الدائرة عكس عقارب الساعة كتكامل لـ 1−(−1)=2 فوق القرص، وبالتالي 2π. عكس الاتجاه يغير إشارة الدوران.

خطأ شائع

الدوار الصفري ليس كافيًا عندما يحتوي المجال على ثقب. يستخدم التدفق الخارجي والدورة عكس عقارب الساعة نظريات وقواعد توجه مختلفة.

T.6 · الدوال، الفروع العكسية والتركيب

• تعطي الدالة مخرجاً واحداً بالضبط لكل إدخال مسموح. تعني الأحادية أن المساواة في المخرجات تجبر على مساواة المدخلات؛ وتعني الشاملة أن كل عنصر في المدى المحدد يتم الوصول إليه. الخريطة x↦x² من R إلى [0,∞) هي شاملة ولكن ليست أحادية. من [0,∞) إلى [0,∞) هي كلاً منهما، وبالتالي هي ثنائية. من [0,∞) إلى R تبقى أحادية لكنها تفشل في الشاملة. احتفظ بالمجال والصورة والمدى منفصلين عند اختبار كل ادعاء.
• الدالة العكسية تعكس التوافق الثنائي. قم بحل y=f(x) بالنسبة لـ x، ثم استخدم المجال الأصلي لاختيار فرع. بالنسبة لـ f(x)=(x−2)²−5 على x≥2، الدالة العكسية هي 2+√(y+5) على y≥−5. الفرع السالب سيعيد مدخلات خارج المجال المختار. تحقق من f⁻¹(f(x))=x للمدخلات المسموحة و f(f⁻¹(y))=y للقيم المسموحة؛ تركيب غير متحقق منه واحد قد يخفي خطأ في المجال.
• ينعكس الرسم البياني للعكس عبر الخط y=x؛ فهو لا يأخذ المقلوب لقيم المخرجات. الدالة ذاتية العكس، أو الانعكاس الذاتي، تحقق f(f(x))=x حيثما تم تعريف التركيب. كل من −x على R و 1/x على R باستثناء الصفر هما دوال انعكاس ذاتي. الانعكاس الذاتي المتزايد تماماً على فترة يجب أن يكون هو الهوية: إذا كانت f(x)>x، فإن الزيادة تعطيك f(f(x))>f(x)>x، والحجة مماثلة تستبعد f(x)<x.
• التكرار fⁿ يعني التركيب المتكرر، وليس القوة (f(x))ⁿ. احسب أول بضع تركيبات وتحقق من مجالاتها قبل البحث عن الدور. بالنسبة لـ f(x)=1/(1−x) على R باستثناء 0 و 1، فإن f²(x)=(x−1)/x و f³(x)=x. الصورة تظل في نفس المجال المسموح. لذلك قلل عدد التكرارات مقسوماً عليه 3. صيغة معروضة تساوي x بعد الاختصار لا تعيد المدخلات المحظورة.

مثال مدقق

من أجل f(x)=(x−2)²−5 مع x≥2، f(5)=4 وf⁻¹(4)=2+√9=5. لو كان التربيعي غير المقيد سيحتوي على مدخلين، −1 و5، مما يعطي ناتج 4. بالنسبة لـ g(x)=1/(1−x)، المدار 3→−1/2→2/3→3 له دورة ثلاثة، لذا g⁸(3)=2/3؛ العدد يتعلق بالتركيبات، وليس القوى الثامنة.

خطأ شائع

تغيير المدى يغير الشاملة. الانعكاس عبر y=x هو رسم بياني عكسي؛ مقلوبة قيم y هي عملية مختلفة. لا تلغِ المدخلات المستبعدة.

T.7 · صور المجموعات، العلاقات التكافؤ والنفي المنطقي

• بالنسبة لـ f:X→Y و A⊆X، تتكون صورة f(A) من جميع المخرجات f(a) حيث a في A. النقطة تكون في f(A∪B) بالضبط عندما تأتي من A أو B، لذا f(A∪B)=f(A)∪f(B). إذا كانت A⊆B، فإن f(A)⊆f(B). بالنسبة للتقاطع فقط f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) تلقائي: قد يأتي نفس المخرج من مدخلات مختلفة. استخدم f(x)=x²، A={−1}، B={1}؛ الصورة اليسرى فارغة بينما تقاطع اليمين هو {1}.
• السلوك العكسي يختلف. بالنسبة لـ C⊆Y، f⁻¹(C) هنا تشير إلى مجموعة جميع المدخلات المرسلة إلى C، حتى لو لم يكن لدى f دالة عكسية. الانتماء في مستقبلين عكسيين يعني نفس المدخل تماماً الذي يرسل إلى كلتا المجموعتين المستهدفتين. ونتيجة لذلك، تحافظ المستقبلات العكسية على الاتحادات والتقاطعات والمكملات النسبية للمجال/المدى المحدد. لا تنقل نظرية حول المستقبلات العكسية إلى الصور. إذا كانت f أحادية، تصبح تقاطعات الصور مساوية، لأن المخرجات المتساوية تجبر على مدخل مشترك.
• تكون العلاقة R على X انعكاسية عندما يكون xRx لكل x، ومتناظرة عندما implies xRy implies yRx، ومتعدية عندما implies xRy و yRz implies xRz. جميعها الثلاثة تشكل علاقة تكافؤ؛ ففئاتها تقسم X. على الأعداد الصحيحة، xRy عندما يكون x و y لهما نفس الباقي من القسمة على أربعة يعطي أربع فئات. العلاقة |x−y|≤1 هي انعكاسية ومتناظرة لكنها ليست متعدية: 0R1 و 1R2 بينما 0 غير مرتبطة بـ 2. التحقق من مخطط واحد أو اثنين فقط للخصائص لا يكفي.
• الاستلزام P⇒Q يكون خاطئاً تماماً عندما يكون P صحيحاً و Q خاطئاً. لذلك نفي P⇒(Q∧R) هو P∧(¬Q∨¬R)، وليس ¬P⇒(¬Q∧¬R). نفي "كل x يمتلك الخاصية A" يعطي "يوجد x بدون A"؛ ونفي "يوجد x" يعطي "كل x لا يمتلك". يمكن لنموذج مضاد دحض ادعاء عالمي، بينما الأمثلة لا تثبته. تحتفظ الكميّات بترتيبها عند نفيها بشكل فردي: ¬(∀x∃y S(x,y)) هي ∃x∀y ¬S(x,y).

مثال مدقق

ليكن f يحوّل a و b كلاهما إلى التسمية L. مع A={a}، B={b}، f(A∩B)=∅ لكن f(A)∩f(B)={L}. بالنسبة لـ xRy المعرّفة بـ x=y أو x=−y على R، الانعكاسية والتناظر يتبعان مباشرة، وتغييران في الإشارة لا يزالان يعطيان z=±x، مما يثبت التعددية. الفئات هي {x,−x}، مع {0} كعنصر وحيد. العبارة الخاطئة "كل ملف مخزن له هاش" تعني أن هناك على الأقل ملفاً واحداً مخزناً ليس له هاش؛ ولا تعني أن كل الملفات تفتقر للهاش.

خطأ شائع

f⁻¹(C) قد تعني مجموعة ما قبل الصورة دون وجود دالة عكسية. قد تفشل العلاقة الانعكاسية والمتناظرة في التعددية. انفي العبارة كاملة قبل تبسيط أجزائها.

T.8 · الشرطية، الاستدلال البيزيان وأخطاء العينات

• بالنسبة لـ P(B)>0، P(A|B)=P(A∩B)/P(B): اقتصار المجتمع على B قبل حساب الكسر في A. الاستقلال يعني P(A∩B)=P(A)P(B)، أو تكافؤه P(A|B)=P(A) عندما يكون المقام غير صفري. الأحداث المتبادلة الاستحالة ذات الاحتمالات الموجبة لا يمكن أن تكون مستقلة، لأن احتمالها الجماعي يساوي صفراً. العينات بدون إرجاع عادة ما تغير الاحتمالات اللاحقة؛ مقام ثابت لمتابعات السحب سيصف تجربة مختلفة.
• بنِ الاحتمالات الجماعية بضرب نسبة الفئة السابقة في احتمال شرط مناسب. إذا كان D هو المرض و + نتيجة إيجابية، P(D∩+)=P(D)P(+|D). احتمال النتيجة الإيجابية الكلي هو P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D)، لأنها منفصلة وتغطي كل النتائج الإيجابية. يقسم بايز الاحتمال الجماعي الأول على هذا المجمع. الحساسية هي P(+|D)، بينما الدقة هي P(−|not D)؛ ومعدل الإيجابية الكاذبة هو واحد ناقص الدقة.
• لاختبار افتراضي انتشاره 2%، حساسيته 90% ودقته 95%، استخدم مجتمعاً قدره 10,000 للتوضيح. من بين 200 أشخاص مصابون بالمرض، 180 لديهم نتيجة إيجابية. من بين 9,800 غير مصابين به، 490 لديهم نتيجة إيجابية. لذلك 180 من بين 670 نتائج إيجابية لديها المرض: بعدية 18/67، حوالي 26.9%. عكس الشرط سيعطي 90%، مجيباً عن سؤال مختلف. هذا نموذج رياضي، وليس توصية حول القرارات السريرية.
• لمتغيرات مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات تباين محدود σ²، يكون المتوسط الحسابي للعينة له توقع μ وتباين σ²/n؛ وهو الخطأ المعياري σ/√n. هذا يقيس انتشار متوسطات العينات المكررة، وليس انتشار الملاحظات الفردية. مضاعفة n reduces الخطأ المعياري إلى النصف، بدلاً من الربع. بيانات التوزيع الطبيعي تعطي متوسطًا طبيعيًا تمامًا؛ بخلاف ذلك يتطلب تقريب الحد المركزي شروطًا كافية وحجم عينة مناسب. الارتباط يلغي حساب التباين البسيط المستند إلى الاستقلالية.

مثال مدقق

ليكن P(A)=0.4، P(B)=0.5 و P(A∩B)=0.3. إذن P(A|B)=0.6، لذا A و B ليستا مستقلتين، لأن 0.3≠0.4·0.5. إذا كان للمتغير انحراف معياري 12، فإن عينة مستقلة بحجم 36 لها خطأ معياري للمتوسط 2. زيادة حجم العينة إلى 144 تعطي 1؛ ويبقى الانحراف المعياري للملاحظة الفردية ثابتاً عند 12.

خطأ شائع

لا تعكس P(+|D) إلى P(D|+). قم بتضمين النتائج الإيجابية الكاذبة في مقام البعدية. الانحراف المعياري للملاحظات الفردية وخطؤها المعياري لمتوسطها له سلوك مختلف مع حجم العينة.

T.9 · التشابه، القياس ومواقع المسافة المخروطية

• تكون المثلثات متشابهة عندما تتوافق زواياها؛ وتكون نسبتا أضلاعها المتناظرة حينئذٍ متساويتين. اكتب تطابق الرؤوس صراحةً. إذا كان للمثلث APQ زاوية A تساوي زاوية A في ABC وزاوية P تساوي زاوية C، فإن التطابق المرتب هو A↔A، P↔C، Q↔B. وبالتالي AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. الضلع AP يقع على AB لكنه يماثل AC؛ المطابقة بناءً على موقع الضلع أو بحرف P قد تعطي نسبة خاطئة.
• مع معامل مقياس طول مشترك k>0، تُضرب الأطوال في k، والمساحات في k²، والحجوم في k³. يعني زيادة طول بنسبة 30% أن k=1.30، ومنه زيادة مساحة قدرها 1.30²−1=0.69، أي 69%; وهي ليست 60%. للأجسام المتشابهة ذات نسبة حجوم 27، تكون نسبة الأطوال 3 ونسبة مساحات السطح 9. التغيرات النسبية والاختلافات المطلقة كميات مختلفة؛ اكتب نسبة الجديد إلى القديم قبل تحويلها إلى نسبة مئوية.
• الدائرة تثبت المسافة إلى نقطة واحدة. القطع البيضاوي يثبت مجموع المسافتين إلى بؤرتين. الهذلول يثبت القيمة المطلقة لفرق تلك المسافات؛ والقطع المكافئ يثبت مساواة المسافة إلى بؤرة وبُعد مباشرة. هذه تعريفات لمجموعات نقاط وليست رسومات لتتذكرها. للبؤرتين (−c,0) و(c,0)، يستخدم القطع البيضاوي مجموعاً 2a حيث a>c. يستخدم الهذلول غير المتدهور قيمة مطلقة لفرق 2a حيث 0<a<c؛ والفرق المُعلَّم يُميز فركيه.
• للهذلول ذي المحور الممتد الأفقي، c²=a²+b² والمعادلة هي x²/a²−y²/b²=1. ليكن r_A هو المسافة إلى (−c,0) وr_B هو المسافة إلى (c,0). الشرط r_A−r_B=2a>0 يختار الفرع الأيمن x≥a؛ والشرط السالب يختار الفرع الأيسر. التربيع قد يفقد هذا الإشارة، لذا تحقق من شرط المسافة الأصلي بعد الحصول على المعادلة. الفرق الصفري يعطي المنصف العمودي بدلاً من الهذلول؛ والفرق الذي يتجاوز الفصل البؤري مستحيل بسبب متراجحة المثلث.

مثال مدقق

ليكن AB=10، AC=15 وBC=20. النقطة P على AB يكون لها AP=6، والنقطة Q على AC تجعل زاوية APQ تساوي زاوية ACB. إذن AP/AC=6/15=2/5، لذا PQ=8 وAQ=4. منفصلاً، البؤرتان عند (−5,0),(5,0) وفرق المسافة إلى اليسار ناقص المسافة إلى اليمين يساوي 6 يعطي a=3، b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 مع x≥3. النقطة (−3,0) تحقق المعادلة المربعة لكنها تفشل الشرط المُعلَّم.

خطأ شائع

طابق الزوايا قبل الأضلاع. نسب المساحة تستخدم مربع عامل الطول. قد تصف معادلة المسافة المربعة كلا الفرعين حتى عندما يطلب السؤال الأصلي فرعاً واحداً فقط.

C.8 · الطور المثلثي والمنحنيات البارامترية

• بالنسبة لـ y=A cos(ωx−φ) مع A>0 وω>0، السعة هي A، والدور هو 2π/ω، والإزاحة الأفقية هي φ/ω. تُقاس زاوية الطور φ داخل حجة الجيب التمام؛ فهي ليست الإزاحة الأفقية نفسها إلا إذا كان ω=1. ابدأ بمسافة الذروة إلى الذروة للدور ومسافة خط الوسط إلى الذروة للسعة. لإيجاد الطور، عوض بنقطة معروفة وتحقق من اتجاه الحركة هناك. أطوار مكافئة تختلف بمقدار 2π.
• بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، أعد كتابة النموذج بسعة موجبة كـ 2 cos(3x−π). سعته هي 2، دوره 2π/3، وطوره π؛ الإزاحة اليمنى المكافئة هي π/3. تحدث القمم حيث 3x−π هو مضاعف لـ 2π. نقطة بيانية عند x=0 وy=0 وحدها لا يمكن أن تحدد الطور بشكل فريد: الانحدارات أو نقطة أخرى تميز الزوايا الممكنة. الوحدات واتفاقيات الزوايا مهمة؛ مشتقات التفاضل والتكامل العادية للدوال المثلثية تستخدم الراديان.
• المنحنى البارامترية يحدد x=x(t), y=y(t). إزالة t تصف مجموعة نقاط ولكن قد تفقد القيود والاتجاه. بالنسبة لـ x=cos³t, y=sin³t، الجذور التكعيبية الحقيقية تعطي |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1، وهو منحنى نجمي به زوايا حادة على المحاور. عندما تتراوح t من 0 إلى 2π تبدأ عند (1,0)، تمر بـ (0,1) عند π/2 وتتحرك عكس عقارب الساعة. تقييد t في [0,π/2] يعطي فقط قوس الربع الأول، ليس الموقع الضمني الكامل.
• عندما لا يساوي dx/dt0، يكون dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). يتطلب المماس الأفقي عموماً أن يكون dy/dt=0 وdx/dt≠0؛ بينما يعكس المماس الرأسي هذه الشروط عموماً. إذا اختفت كلتا القيمتين، فافحص النهاية أو التوسع المحلي بدلاً من اعتبار 0/0 مماساً. بالنسبة لـ x=t² وy=t³ عند t=0، يكون الكسر من أجل t≠0 هو 3t/2 ويميل إلى الصفر: للملمس أفقي. ليس سرعة المعيار صفر بحد ذاتها حداً أقصى محلياً أو حداً أدنى لـ y كدالة في x.

مثال مدقق

بالنسبة لـ y=−2 cos(3x)، تشمل القيم الصغرى x=0 وتشمل القيم العظمى x=π/3. يعطي تمثيل الطور 2 cos(3x−π) نفس القيم. بالنسبة لـ x=2 cos t وy=sin t، يؤدي الإزالة إلى x²/4+y²=1؛ عند t=π/4، يكون dx/dt=−√2 وdy/dt=√2/2، وبالتالي الميل هو −1/2. يحدد الفترة المعيارية الكاملة [0,2π] القطر مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة.

خطأ شائع

زاوية الطور والإزاحة الأفقية تختلف عن طريق عامل التردد. المعادلة الضمنية يمكن أن تضيف أجزاء غير مرسومة من المنحنى. إذا اختفى كلا المشتقَين البارامتريين، استخدم الاستدلال المحلي بدلاً من تسمية كل مثل هذه النقاط كقيمة حدية.

T.10 · هندسة المتجهات، الإسقاطات والمساحة الموجهة

• بالنسبة لمتجهات حقيقية u,v غير صفرية، u·v=|u||v| cos θ. الضرب القياسي الموجب أو الصفر أو السلبي يقابل زاوية حادة أو قائمة أو منفرجة أصغر. الإسقاط القياسي لـ v على طول u هو (v·u)/|u|؛ إسقاطه المتجهي هو ((v·u)/(u·u))u. الفرق عن هذا الإسقاط عمودي على u. لا تخلط بين متجه مسقط ومركوبته القياسية الموقعة. المتصففر عمودي على كل متجه لكن ليس له اتجاه زاوية محدد.
• بالنسبة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، يكون u×v عمودياً على كليهما بطول |u||v| sin θ. يعتمد الحساب الإحداثي على (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). يمثل هذا الطول مساحة متوازي الأضلاع، لذا فإن مثلثاً مكوناً من متجهين حدين له نصف تلك المساحة. قلب ترتيبهما يقلب الضرب الاتجاهي لكنه يحافظ على المساحة. بنِ كلا المتجهين الحدين من نفس الرأس؛ فالضرب الاتجاهي لمتجهي موضع غير مرتبطين يقيس عموماً مثلثاً خاطئاً.
• المستوى الذي يمر بنقطة p مع ناظم n غير صفري له المعادلة n·(x−p)=0. المسافة من q إلى المستوى هي |n·(q−p)|/|n|؛ المقام يطبيع مقياس المعادلة. حاصل الضرب الثلاثي القياسي u·(v×w) يعطي حجم متوازي السطوح الموجه؛ قيمته المطلقة هي الحجم الهندسي. حاصل الضرب الثلاثي الصفري يعني اعتماد المتجهات الثلاثة الحدية، ليس بالضرورة أن كل زوج عمودي أو موازٍ.
• بالنسبة لأربعة متجهات مستوية، توجد ستة ضربات نقطية غير مرتبة. التكوين e₁,−e₁,e₂,−e₂ يحتوي على حاصلين ضرب سلبيين وأصفار أربعة؛ أما e₁,e₁,e₂,e₂ فيحتوي على حاصلين ضرب موجبين وأصفار أربعة. لا يمكن لأربعة متجهات غير صفرية أن يكون كل حاصل ضرب زوجي فيها سالباً. رتب اتجاهاتها حول الدائرة: يجب أن يتجاوز كل فجوة زاوية متتالية 90°، مما يجبر مجموع الفجوات الأربع على تجاوز 360°. لا يمكن لمتجه صفر إنقاذ شرط السالب الصارم، لأن ضرباته النقطية تتلاشى.

مثال مدقق

مع p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0)، الحواف هي u=(2,0,0), v=(0,3,0). حاصل ضربهم الاتجاهي هو (0,0,6)، مما يعطي مساحة المثلث 3. بالنسبة لـ w=(3,4) وu=(1,0)، الإسقاط المتجهي هو (3,0) والباقي المتعامد هو (0,4). المستوى 2x−y+2z=6 له طول ناظم 3، لذا مسافته عن الأصل هي 6/3=2.

خطأ شائع

مقدار الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع، لذا قسّمه على نصف للحصول على مساحة المثلث. الصفر في الضرب القياسي هو بيان للتعامد الجبري حتى بالنسبة للمتصفّر. مسافة المستوى يجب أن تُقسم على طول المتجه العمودي.

C.9 · العوامل التكاملية والمعادلات التفاضلية غير المتجانسة

• المعادلة الخطية من الرتبة الأولى تكون على الصورة y′+p(x)y=q(x) على فترة تكون فيها معاملاتها متصلة. لا يشترط أن تكون قابلة للفصل. ضع μ(x)=exp(∫p(x)dx). بما أن μ′=pμ، فإن الضرب يعطي (μy)′=μq، ومنه y=μ⁻¹(∫μq dx+C). اختر أي مشتق عكسي مناسب لـ p؛ فإن ثابت تكامله merely يعيد مقياس μ ويختفي من الحل. طبق البيانات الابتدائية بعد التكامل، واحفظ نقاط المعاملات المفردة خارج الفترة المختارة.
• بالنسبة لـ y′+2xy=x و y(0)=1، لدينا μ=e^(x²). إذن (e^(x²)y)′=x e^(x²)، ومكافئته هي e^(x²)/2+C. بالتالي y=1/2+C e^(−x²)، ويعطي الشرط الأولي C=1/2. التحقق بالتعويض المباشر يتحقق من y′+2xy=x. عامل التكامل يجعل الطرف الأيسر مشتق حاصل ضرب؛ فهو ليس عاملاً إضافياً يبقى مضروباً للطرف الأيمن الأصلي في الإجابة النهائية.
• بالنسبة لـ ay″+by′+cy=r(x) حيث a غير صفري، حل المعادلة المميزة aλ²+bλ+c=0 للجزء المتجانس. الجذور الحقيقية المختلفة تعطي دالتين أسيتين؛ جذر مكرر λ يعطي (C₁+C₂x)e^(λx)؛ جذور α±iβ تعطي e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). الحل الكامل هو y_h+y_p. إلهام متعدد الحدود يقترح تجربة خاصة متعددة حدود؛ إلهام أسّي أو جيب/جيب تمام يقترح العائلة المقابلة، مع عدد كافٍ من المعاملات لحساب التفاضل.
• إذا تكرر اختبار خاص مع حل متجانس، فلا يمكنه إنتاج الإلهام: اضربه في x مرة للجذر البسيط، مرتين للجذر المكرر. بالنسبة لـ y″−3y′+2y=e^x، فإن Ke^x العادي يُحيد. تجربة Kxe^x تعطي −Ke^x، إذن y_p=−xe^x. الشروط الأولية تحدد ثوابت الجزء المتجانس فقط بعد إضافة y_p. عوض الدالة النهائية في المعادلة الأصلية للتحقق من الإشارات والإلهام؛ فحص القيمة الابتدائية وحده لا يمكنه التحقق من المعادلة التفاضلية.

مثال مدقق

بالنسبة لـ y″−3y′+2y=4، الجذور المميزة هي 1 و 2. حل خاص ثابت y_p=2 يعطي 2y_p=4، إذن y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. بالنسبة لـ y′+2xy=x و y(0)=1، الحل المنفرد من الرتبة الأولى هو y=(1+e^(−x²))/2. هذه أمثلة لطرق مختلفة؛ لا تصبح أي من المعادلات متجانسة لمجرد أن طرفها الأيسر خطي.

خطأ شائع

احتفظ بالحل الخاص. تحتاج التجربة الرنّية لعامل x. اشتقاق عامل التكامل ينطبق على فترة معامل صالحة ولا ينبغي القسمة على y أو تجاهل الحلول الصفراء بصمت.

T.11 · التكوينات الضعيفة، ثوابت الحلقة وتتبع المخطط الانسيابي

• عدد الحلول الصحيحة غير السالبة لـ x₁+⋯+x_k=n هو C(n+k−1,k−1)، من أجل n≥0 و k≥1. مثّل n من النجوم المتطابقة مقسّمة على k صناديق مُسمّاة باستخدام k−1 من الفواصل؛ حيث تسمح الفواصل المجاورة وفواصل الحواف بظهور قيم صفرية. الصناديق قابلة للتمييز، والأشياء غير قابلة للتمييز. أما إذا تم عدّ الرموز المميزة بشكل منفصل، فسيُخصّص لكل رمز مستقلاً، مما يعطي k^n قبل تطبيق القيود الأخرى. حدد النموذج بناءً على ما تمثله الأشياء والمستقبلين، وليس بناءً على شكل معامل الثنائي المألوف.
• لتخصيصات موجبة x_i≥1، ضع z_i=x_i−1؛ يكون المجموع المتبقي n−k، مما يُعطي C(n−1,k−1) عندما n≥k. يتم التعامل مع الحدود الأدنى الأكثر عمومية x_i≥a_i عن طريق طرح كل a_i. وجود صفر واحد على الأقل هو مكمل لإدخال موجب في كل مكان: اطرح C(n−1,k−1) من المجموع الكلي غير السالب. الحالات المتداخلة مثل وجود صندوقين فارغين بالضبط تتطلب عدًا مختلفًا؛ طرح حالة الصندوق الفارغ كل على حدة يؤدي إلى عد مزدوج لتقاطعاتها.
• تتبّع مخططًا انسيابيًا عبارة عن تعليمة تنفيذية واحدة تلو الأخرى، مسجلاً المتغيرات في جدول. ميّز بين التعيين واختبار المساواة الرياضي؛ يستخدم الجانب الأيمن من عملية التعيين القيمة القديمة قبل الاستبدال. سجّل أي فرع سيتم تنفيذه بعد ذلك وأي متغيرات سيتم إعادة ضبطها. قد يقوم مرشح جديد لحلقة خارجية بإعادة مجموع داخلي دون إعادة ضبط المرشح نفسه. لعملية تضيف 1,3,5,… إلى S من الصفر، بعد m من الإضافات يكون S=m² والمُضاف التالي هو 2m+1.
• ثبات الحلقة صحيح قبل وبعد كل تكرار. يُحفظ الثابت لمجموع المربعات ابتدائياً عند m=0 لأنه يُحفظ لأن m²+(2m+1)=(m+1)². لا يثبت الثابت بمفرده الانهائية. لاختبار ما إذا كان عدد صحيح N≥0 مربعاً عن طريق إضافة أعداد فردية حتى S≥N، فإن S ينمو بلا حدود؛ وبالمقابل تزداد m وتصل حتماً إلى حد مثل N. عند الخروج، يعني التساوي أنه مربع، ويعني التجاوز أنه ليس مربعاً. يجب الوصول إلى قيمة مطبوعة عبر مسار تنفيذ فعلي؛ نمط رقمي معقول وحده ليس مساراً.

مثال مدقق

وزّع 11 رموز متطابقة بين 4 صناديق مسماة. عدد التخصيصات غير السالبة هو C(14,3)=364؛ عدد التخصيصات الموجبة تماماً هو C(10,3)=120. لذلك 244 تخصيصات تحتوي على صندوق فارغ واحد على الأقل. باختبار مجموع فردي مع N=10، يتقدم S 0,1,4,9,16؛ يتجاوز ويرفض 10. بالنسبة لـ N=9 يخرج عند S=9 بعد ثلاث إضافات. الإضافات التالية هي 1,3,5,7,9؛ أعمدة المجموع والإضافة التالية يجب ألا يتم الخلط بينهما.

خطأ شائع

الأشياء المتطابقة والأشياء المتميزة تستخدم نماذج مختلفة. وجود صندوق فارغ واحد على الأقل ليس نفس وجود صندوق فارغ واحد بالضبط. في المخطط الانسيابي، حافظ على ترتيب التحديث وأعد ضبط المتغيرات فقط التي يعيد المسار المنفذ فعليًا ضبطها.

C.10 · الاشتقاق الضمني ومقلوب جاكوبيان

• بالنسبة لتطبيق قابل للاشتقاق F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v))، جاكوبيانه هو J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. التغييرات الصغيرة تحقق [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ من الرتبة الأولى. لإيجاد u_x مع تثبيت y، اشتق كلا المعرفتين بالنسبة لـ x: f_u u_x+f_v v_x=1 و g_u u_x+g_v v_x=0. هذه تمثل نظامًا خطيًا مترابطًا، وليست قاعدتين مستقلتين للعاكس القياسي.
• إذا كانت f و g قابلة للاشتقاق بشكل مستمر حول النقطة وكان det J=f_u g_v−f_v g_u غير صفري هناك، فإن نظرية الدالة العكسية توفر عكساً محلياً قابلاً للاشتقاق. مشتقتها هي J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. وبالتالي u_x=g_v/det J، u_y=−f_v/det J، v_x=−g_u/det J و v_y=f_u/det J. قم بتقييم كل مشتقة عند النقطة المقابلة. العكس المحلي لا يمتد بالضرورة إلى عكس عالمي.
• للمعادلات الضمنية H(u,v,x,y)=0 و K(u,v,x,y)=0، اشتق بينما تثبت الإحداثي المستقل المطلوب. حل [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ. يجب أن يكون المحدد للمتغيرات المجهولة u,v غير صفري لاستخدام نظرية الدالة الضمنية المعتادة. إشارات الطرف الأيمن تأتي من نقل المشتقات المعروفة إلى الجانب الآخر. إذا اختفى المحدد، تكون هذه النظرية غير حاسمة؛ فهي لا تثبت بحد ذاتها عدم وجود عكس أو عدم وجود حل ضمني.
• القصيرة القياسية du/dx=1/(dx/du) تنطبق على عكس دالة متغير واحد بمشتق غير صفري، لكنها تفشل عادةً في النظام المترابط لأن v يتغير لإبقاء y ثابتة. بالنسبة لـ x=u+v, y=u+2v، فإن J=[[1,1],[1,2]] له محدد 1 ومقلوب [[2,−1],[−1,1]]. لذلك u_x=2 بينما 1/f_u=1. مقلوب جاكوبي يحول الحساسية التفاضلية؛ بينما يستخدم تكامل تغيير المتغيرات المحدد المطلق لتقييس المساحة أو الحجم، وليس مدخلاً مقلوباً محدداً.

مثال مدقق

أخذ x=u²+v و y=u−v. عند (u,v)=(1,0)، يكون الناتج (1,1)، والمصفوفة J=[[2,1],[1,−1]] محددتها −3. المعكوس هو [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]]، لذا u_x=1/3 و v_y=−2/3 هناك. ضرب J في هذا المعكوس يعطي المصفوفة المحايدة. المقلوب 1/f_u=1/2 ليس u_x لأن تغيير u يتطلب أيضًا تغيير v لإبقاء y ثابتة.

خطأ شائع

اشتق كلتا المعادلتين واذكر أي مخرجات تم إبقاؤها ثابتة. ضمان وجود محدد غير صفري لوجود عكس محلي تحت فرضيات الانتظام؛ الصفر ليس إثباتاً على استحالة ذلك. استخدم مدخلاً مقلوباً للحساسية والمحدد المطلق للتكامل.

A.7 · تحليل LU وصفرية الخرائط المركبة

• التحليل A=LU يعبر عن مصفوفة مربعة كحاصل ضرب L (مثلثية سفلى) وU (مثلثية عليا). مع قطري L موحد، يكون التعويض الأمامي بسيطاً بشكل خاص. لا يجب أن تقبل المصفوفة القابلة للعكس هذا الشكل بدون تبديل الصفوف: قد يتطلب محور ريادة صفر تبديلاً. بالنسبة لـ PA=LU، حل Ly=Pb، ثم Ux=y. التبديل يؤثر على الطرف الأيمن بالإضافة إلى مصفوفة المعاملات. المحاور الرئيسية الرائدة غير الصفرية تبرر الإزالة المعتادة بدون تبديل، وليس القابلية للعكس وحدها.
• في Ly=b، احسب y من الأعلى إلى الأسفل بطرح الحدود المعروفة مسبقاً؛ اقسم على القطر الحالي ما لم يكن واحداً. في Ux=y، احسب x من الأسفل إلى الأعلى. لكل معادلة، أعد التعويض في الصف الأصلي للتحقق. إعادة استخدام LU للعديد من الأطراف اليمنى تتجنب تكرار الإزالة: يأخذ التحليل الكثيف عملاً من الرتبة التكعيبية في البُعد، بينما يأخذ كل حل مثلثي عملاً من الرتبة التربيعية. الحساب الدقيق يمكن التحقق من الأمثلة الصغيرة؛ يقلل المحور العددي بعض مشاكل التقريب لكنه لا يمكنه إزالة الشرط السيء الجوهري.
• بالنسبة لـ B:V→W وA:W→Z، تكون ker B محتواة في ker(A∘B)، لكن الأخيرة يمكن أن تكون أكبر. المتجهات الإضافية هي تلك التي تحوّلها B داخل ker A. اقتصار B على ker(A∘B): صورته هي im B∩ker A ونواته هي ker B. applies مبدأ الرتبة-الفراغ على هذه الخريطة المقيدة يعطي dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). التقاطع، وليس النواة الكاملة لـ A، هو ما يحدد الفراغ الإضافي.
• بالنسبة للنهايات الذاتية لـ R⁶ مع نقصان A=2 ونقصان B=3، فإن رتبة B=3 وبعد تقاطعها يمكن أن يتراوح بين 0 و 2. وبالتالي يتراوح نقصان A∘B بين 3 و 5. تعتمد الحدود على الفضاء الوسيط المشترك: بالنسبة للفضاءات الجزئية بأبعاد r و s في فضاء بعدده m، يكون بُعد تقاطعهما بين max(0,r+s−m) و min(r,s). عكس التكوين قد يغير نقصانه، حتى لو كان كل من AB و BA معرفين. اختر فضاءات متوافقة قبل تطبيق هذه الصيغ.

مثال مدقق

ليكن L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]]، U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]]، و b=(−1,−1,12). التعويض الأمامي يعطي y=(−1,1,8). التعويض الخلفي يعطي x₃=2، x₂=(1−4)/3=−1، و x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. إذن x=(1,−1,2). ضرب Ux يعطي y وضرب Ly يعطي b، مما يتحقق بشكل مستقل من ترتيب التحليل.

خطأ شائع

حل باستخدام L أولاً وU ثانياً، وقم بتبديل b إذا كان PA=LU. فراغ التركيب ليس تلقائياً مجموع الفراغين؛ فقط تقاطع الصورة والنواة يضيف إلى فراغ B.

C.11 · التكامل بالتجزئة، عكس الترتيب والتناظر

• ينشأ التكامل بالتجزئة من قاعدة الضرب: ∫u dv=uv−∫v du. بالنسبة للتكاملات المحددة، أدرج الحد الحدي عند كلا الطرفين. مع I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt، اختر u=(ln t)^n وdv=dt. عندما يكون n≥1، فإن الحد السفلي يختفي، مما يعطي I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). إن استخدام إشارة زائد سيخالف المتطابقة المشتقة. احتفظ بنفس الحد السفلي في العلاقة التكرارية؛ فتغييره يغير الثوابت.
• بالنسبة للتكاملات غير الصحيحة، طبق أولاً المتطابقة على حدود نهائية، ثم برر الحد المتبقي والتكامل المتبقي. إذا كان ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π، ضع u=x وdv=x e^(−x²)dx من أجل ∫x²e^(−x²)dx. بما أن v=−e^(−x²)/2 وأن x e^(−x²)→0 عند ما لا نهاية، فإن العزم الثاني الكامل هو √π/2. وتعطي التماثل الإيجابي عزم نصف الخط الموجب √π/4. الحد الذي اختفى هو جزء من البرهان، وليس خاصية تلقائية لكل تكامل غير صحيح.
• لعكس ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx، وصف المثلث 0≤x≤y≤1، ثم أعد كتابته كـ ∫₀¹∫₀ʸF(x,y)dx dy. تتغير كل من الفترة الخارجية والحدود الداخلية؛ فمجرد تبديل الرموز يغير المنطقة. بالنسبة لـ F=e^(y²)، يؤدي التكامل بالنسبة لـ x أولاً إلى ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. يجعل الاستمرارية على هذا المثلث المضغوط عكس الترتيب صالحاً؛ أما الحالات ذات الطفرات أو التي تتقارب بشكل مشروط فتستدعي حذراً أكبر.
• إذا كانت دالة قابلة للتكامل على [a,b] تحقق f(a+b−x)=−f(x)، فإن الانعكاس يجعل تكاملها مساوياً لمعاكسها، وبالتالي يساوي صفراً. بالنسبة لـ sin(2mx)/sin x على [0,π] مع عدد صحيح موجب m، فإن الانعكاس x↦π−x يغير إشارة البسط ويحافظ على المقام. التفردات الظاهرية عند الأطراف قابلة للإزالة: الحدود هي 2m عند الصفر و−2m عند π. تحقق من هذه الحدود قبل استدعاء التماثل؛ فالإلغاء لا يحل محل قابلية التكامل.

مثال مدقق

بالنسبة لـ I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt، تعطي العلاقة التكرارية x(ln x)²−2I₁(x)، مع I₁(x)=x ln x−x+1. لذلك I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. تضمن الثابتة −2 أن I₂(1)=0. وبشكل منفصل، ينتج عكس التكامل مثلثي e^(y²) عاملاً y من طول x الداخلي؛ وإزالة هذا العامل ستعيد الصعوبة الأصلية وتغير القيمة.

خطأ شائع

يتطلب التكامل بالتجزئة غير الصحيح حدوداً طرفية. أعد بناء المنطقة قبل عكس الترتيب. يجب أن تكون الدالة المكافئة المنعكسة ذات الشكل الغريب قابلة للتكامل، بما في ذلك أي أطراف قابلة للإزالة.

C.12 · المعدلات المرتبطة وحدود الكسور القابلة للإزالة

• بالنسبة لكمية V تعتمد على عمق متغير h(t)، تعطي قاعدة السلسلة dV/dt=V′(h) dh/dt. الخزان التصريف له dh/dt<0، لذا يكون معدل الحجم الموقّع سالباً؛ والمقدار الفعلي للتدفق الخارج هو معاكسه. ارسم الهندسة وسَمِّ العمق اللحظي قبل التعويض بالأرقام. لا تعامل المعدل كحجم ثابت مقسوماً على الزمن المنقضي إلا إذا حددت الحالة فعلياً معدل متوسط ثابتاً.
• A spherical tank of radius R has cross-section radius squared R²−(R−h)²=2Rh−h² at depth h from the bottom. Integrating these circular areas gives the cap volume V(h)=π(Rh²−h³/3), for 0≤h≤2R. Its derivative π(2Rh−h²) is the current cross-sectional area. At R=3,h=1,dh/dt=−1/4, signed volume rate is −5π/4 and outflow magnitude 5π/4. The formula works for both shallow and deep caps within the stated range.
• إذا كانت f و g قابلتين للاشتقاق بشكل مستمر بالقرب من الصفر، و f(0)=g(0)=0، و g′(0)≠0، فإن f(x)/g(x) يؤول إلى f′(0)/g′(0). ينتج ذلك من أن f(x)=f′(0)x+o(x) و g(x)=g′(0)x+o(x)؛ واستمرارية g′ تحافظ على تعريف المقاربة بالقرب من الصفر باستثناء نقطة الصفر نفسها. تعويض هذا النهاية يعطي امتداداً متصلاً. لا يتطلب البرهان أن تكون f′(0) غير صفرية، ولا يثبت أن المقاربة الممتدة قابلة للاشتقاق.
• بالنسبة لـ f(x)=x|x| و g(x)=x، كلاهما قابل للاشتقاق بشكل مستمر، و f(0)=g(0)=0، و g′(0)=1. مقاربتهما لـ x0 هي |x|، والتي تمتد بشكل مستمر عند الصفر ولكن لها مشتقات أحادية جانبية غير متساوية هناك. بالنسبة لـ (f²−f)/(2g−g³)، نأخذ عامل مشترك ليصبح (f/g)(f−1)/(2−g²)؛ وحدتها القابلة للإزالة هي −f′(0)/(2g′(0)). تتجه العوامل الإضافية نحو −1 و 2. افرق بين نهاية المقاربة ومشتقة امتدادها.

مثال مدقق

بالنسبة لكرة نصف قطرها R=3 وعمقها h=1، يكون مساحة المقطع العرضي π(6−1)=5π. ونقصان العمق بمقدار 1/4 لكل وحدة زمنية يؤدي بالتالي إلى إزالة حجم بمقدار 5π/4 لكل وحدة زمنية. بالنسبة لـ f(x)=sin(2x)، و g(x)=3x، تمتد المقاربة عند الصفر بقيمة 2/3. هذه النهاية لا تقول شيئاً عن حجم الخزان ولا يجب استبدالها بمعدل اشتقاق دون تحديد الكميات التابعة.

خطأ شائع

استخدم مساحة المقطع العرضي اللحظي، وليس إجمالي مساحة سطح الخزان. أبلغ عن التغير الحجمي الإشاري أو التدفق الخارج الموجب كما هو مطلوب. establishes continuity, not differentiability of the filled-in quotient.

T.12 · الاكتمال المتري والإغلاق من أساس

• بالنسبة لدالة حقنية h:X→R، فإن d(x,y)=|h(x)−h(y)| هي metric: التماثل ومتراجحة المثلث تأتي من R، والحقن يضمن أن d(x,y)=0 فقط عندما x=y. الدالة h هي isometry onto its image h(X). إذا لم تكن h حقنة، فقد يكون هذا البناء pseudometric فقط. المسافات المحدودة لا تثبت أن الفضاء مكتمل، ويمكن لمجموعة معتادة من النقاط أن تظهر سلوكاً Cauchy مختلفاً تماماً تحت metrics مختلفة.
• metric pullback مكتمل تماماً عندما يكون الصورة h(X) مكتملاً في المسافة الحقيقية العادية. المجموعة المغلقة في R مكتملة. بالنسبة لـ h(x)=arctan x على R، الصورة هي (−π/2,π/2)، وهي تفتقر إلى طرفيها. المتسلسلة n هي Cauchy في metric pullback لأن arctan n→π/2، لكن لا يوجد x حقيقي يحقق arctan x=π/2، لذا فإن metric غير مكتمل. بالنسبة لـ h(x)=x³، الصورة هي كل R و metric pullback مكتمل. التكافؤ الطوبولوجي وحده لا يحفظ الإكمال.
• في topology له basis، يقع x في closure of A عندما يلتقي كل basic open neighbourhood لـ x مع A. هذا اختبار انتماء، وليس عملية endpoint إقليدية تلقائياً. يجب أن يغطي basis الفضاء، وبالنسبة لنقطة في مجموعتين من basis يجب أن تكون هناك مجموعة أساسية أصغر تحتوي عليها داخل تقاطعهما. يمكن لنقطة أن تقع في closure of singleton حتى لو لم تكن النقطة الخاصة بالـ singleton؛ هذا possibility يعتمد على الـ topology.
• على X={2,3,4,…}، خذ sets أساسية U_k={n in X: n divides k}، من أجل k≥2. تغطي X لأن x∈U_x؛ التقاطعات هي U_gcd(k,l) عندما يكون gcd على الأقل 2، أو فارغة. تقع النقطة x في closure of {n} بالضبط عندما يكون كل k يقبل القسمة على x يقبل القسمة أيضاً على n: ما يكافئ أن n يقسم x. بشكل مباشر أكثر، أصغر neighbourhood أساسي U_x يحتوي على n بالضبط عندما يقسم n x، وكل neighbourhood آخر يحتوي على x يشمل هذه القواسم. thus closure of {8} يتكون من مضاعفات موجبة من 8، وليس قواسم 8.

مثال مدقق

تحت المسافة d(x,y)=|arctan x−arctan y|، تتجه المتتالية العددية نحو نقطة نهاية صورة مفقودة بدلاً من نقطة في R، فهي متتالية كوشي دون تقارب في تلك الفضاء. في أساس المقسومات، يقع 16 في غطاء {8}، حيث أن أي مجموعة أساسية تحتوي على 16 تحتوي أيضًا على 8. لكن 4 لا: U_4={2,4} هي جوار لـ 4 تفتقر إلى 8. هذا يفصل الضربيات عن المقسومات صراحةً.

خطأ شائع

يجب أن ينتمي حد Cauchy إلى نفس الفضاء. الإكمال خاصية metric، وليس مجرد طوبولوجية. بالنسبة للغلق، اختبر كل neighbourhood للنقطة المرشحة، بدلاً من كل neighbourhood لقيمة الـ singleton.