مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

4MA1: ملاحظات تدريس المقرر

الإصدار: الإصدار 2، نوفمبر 2017؛ أول تقييم يونيو 2018؛ الرياضيات الخطية A

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

1 · الحساب الدقيق والتقدير · المستوى الأساسي

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

الطريقة

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة لـ HCF وأكبرها لـ LCM.
قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.

حالة محلولة

$$72=2^3\times3^2,\quad90=2\times3^2\times5,\quad\mathrm{HCF}=18$$

مثال

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

العملية الحسابية الدقيقة والتقدير — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

يقسم HCF كلا الرقمين؛ وLCM هو مضاعف لكلا الرقمين.
يجيبان على أسئلة مختلفة.
التقدير العشري ليس كسرًا دقيقًا.

انتبه

غير صحيح: القاسم المشترك الأكبر لعدد صحيحين موجبين يكون أكبر من أي منهما. القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، لذا لا يمكن أن يكون أكبر من الأصغر: القاسم المشترك الأكبر لـ 72 و90 هو 18.

تطبيقه

لورقة اختبار بدون آلة حاسبة، حافظ على الكسور دقيقة وأظهر الاختصار.
في ورقة الآلة الحاسبة، أدخل التعبير الكامل وقارنه بتقديرك.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 1.

الفكرة الرئيسية

العامل الأولي: عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً.
تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
انتبه إلى: القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين؛ والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلا العددين.

1 · الحساب الدقيق والتقدير · المستوى المتقدم

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

الطريقة

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة لـ HCF وأكبرها لـ LCM.
قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.

حالة محلولة

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

مثال

أين يكمن الخطأ

يقسم HCF كلا الرقمين؛ وLCM هو مضاعف لكلا الرقمين.
يجيبان على أسئلة مختلفة.
التقدير العشري ليس كسرًا دقيقًا.

انتبه

تطبيقه

لورقة اختبار بدون آلة حاسبة، حافظ على الكسور دقيقة وأظهر الاختصار.
في ورقة الآلة الحاسبة، أدخل التعبير الكامل وقارنه بتقديرك.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 1.

الفكرة الرئيسية

العامل الأولي: عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً.
تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
انتبه إلى: القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين؛ والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلا العددين.

1 · الأسس الصحيحة والصيغة القياسية · المستوى الأساسي

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

استخدم القوى الصحيحة وجذور التربيع والتكعيب والصيغة المعيارية مع 1≤a<10.
عند ضرب القوى ذات الأساس المتشابه، اجمع الأسس؛ وفي القسمة، اطرحها.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n}$$

مثال

0.000072=7.2×10^(-5). أيضاً 2³×2⁴=2⁷=128. الجذر التربيعي لـ 81 هو 9. تحقق من إجابة بالصيغة القياسية بكتابتها كأعداد عشرية.

أسس صحيحة والصيغة القياسية — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.

انتبه

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقه

هذا الدرس الأساسي/الجوهري يستبعد القوى الكسرية وتبرير الجذور.
قدّر النتيجة قبل استخدام الآلة الحاسبة واحتفظ بالدقة المطلوبة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 1.

الفكرة الرئيسية

الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
استخدم القوى الصحيحة وجذور التربيع والتكعيب والصيغة المعيارية مع 1≤a<10.
انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

1 · الأسس والجذور والصيغة القياسية · المستوى المتقدم

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
الأس السالب يعني المقلوب؛ والأس الكسري يمثل الجذر.
الصيغة القياسية لها 1≤a<10.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

مثال

0.000072=7.2×10^(-5). أيضًا 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم أزل الجذر من المقام 1/√2=√2/2.

المؤشرات والجذور الصارمة والصيغة القياسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.

انتبه

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقه

تحقق من أسس العشرات مقابل الكمية الأصلية.
استخدم الجذور المربعة للحسابات الهندسية الدقيقة، وقم بالتقريب فقط للطول النهائي عندما تطلب السؤال قيمة عشرية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

1 · النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي · المستوى الأساسي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

الطريقة

الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
لإرجاع النسبة المئوية، اقسم على المضاعف.
في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.

حالة محلولة

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

مثال

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

Percentages, ratio and proportional reasoning — original teaching diagram

أين يكمن الخطأ

تستخدم النسبة المئوية أساساً مذكوراً.
طرح النسب المئوية يفقد ذلك الأساس.
للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.

انتبه

غير صحيح: انخفاض بنسبة 20% يليه زيادة بنسبة 20% يعيد السعر الابتدائي. لكن الزيادة بنسبة 20% تُحسب على مبلغ أصغر: 100×0.8×1.2=96، وليس 100.

تطبيقه

استخدم مضاعفات النسب المئوية واقسم المجموع على أجزاء النسبة.
تستخدم هذه الدرس الأساسي/الجوهر سياقات التناسب الخطي، وليس طرق الانحدار المتقدمة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المُضَرِّب: عامل يُجرّي تغييراً مئوياً في عملية ضرب واحدة.
الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
انتبه: يستخدم النسبة المئوية أساساً مُصراَحاً عنه.

1 · النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي · المستوى المتقدم

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

الطريقة

الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
لإرجاع النسبة المئوية، اقسم على المضاعف.
في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.

حالة محلولة

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

تستخدم النسبة المئوية أساساً مذكوراً.
طرح النسب المئوية يفقد ذلك الأساس.
للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.

انتبه

تطبيقه

للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x.
احسب k من زوج معلوم قبل استخدام قيمة جديدة.
أدرِ ما أبقيت ثابتاً.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المُضَرِّب: عامل يُجرّي تغييراً مئوياً في عملية ضرب واحدة.
الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
انتبه: يستخدم النسبة المئوية أساساً مُصراَحاً عنه.

1 · الدقة والحدود والمقاسات المركبة · المستوى المتقدم

هل القياس المطبوع دقيق؟

لوحة مستطيلة مُصنَّعة أبعادها 8.0 سم × 5.0 سم، لكل منهما لأقرب 0.1 سم. مساحتها الحقيقية ليست ثابتة عند 40 سم².
تدرس هذه الدرس الحد الأدنى: أصغر قيمة ممكنة متوافقة مع قاعدة تقريب محددة.

الطريقة

القيمة المقربة لأقرب وحدة u تقع من القيمة المعلنة - u/2 حتى، ولكن عادةً دون شمول، القيمة المعلنة + u/2.
للكميات الموجبة، اجمع القيم القصوى وفقاً للعملية الحسابية.

حالة محلولة

$$A=LW,\qquad v=\frac{d}{t}$$

مثال

الأطوال تحقق 7.95≤L<8.05 و 4.95≤W<5.05. وبما أن A=LW، فإن 39.3525≤A<40.6525. بالنسبة للسرعة d/t، تستخدم السرعة الأكبر المسافة الأكبر وأصغر زمن موجب.

الدقة والحدود والقياسات المركبة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الحد الأعلى لا يُتحقق منه تلقائياً.
قسمة المسافة القصوى على الزمن القصوى لا تعطي السرعة الأكبر.
احتفظ بما يكفي من الأرقام في العمليات الحسابية الوسيطة.

انتبه

غير صحيح: أكبر قيمة لـ d/t الموجبة تستخدم أكبر d وأكبر t. لجعل d/t كبيراً قدر الإمكان، استخدم أكبر d وأصغر t؛ لأن زيادة t تجعل الكسر أصغر.

تطبيقه

التمييز بين عدم يقين القياس والتقريب الحسابي.
لا يمكن أن تكون الدقة المبلغ عنها أدق مما تبرره القياسات.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الحد الأدنى: أصغر قيمة ممكنة متسقة مع قاعدة تقريب محددة.
القيمة المقربة لأقرب وحدة u تقع من القيمة المعلنة - u/2 حتى، ولكن عادةً دون شمول، القيمة المعلنة + u/2.
انتبه: الحد الأعلى لا يتحقق تلقائيًا.

2 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب · المستوى الأساسي

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

تكلف خطتا اتصال جوال 20+3x و44+x يوان لـ x جيجابايت. متى يتساوى تكليفهما؟
يدرس هذا الدرس الهوية: تساؤل ينطبق على كل قيمة مسموحة للمتغير.

الطريقة

المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
حافظ على المساواة بتطبيق نفس العملية على كلا الطرفين.
أشر إلى القيود قبل القسمة على متغير.

حالة محلولة

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$

مثال

20+3x=44+x يعطي 2x=24 و x=12. بالتالي يكلف كلا الخطتين 56. في A=πr²، قسّم على π وأخذ الجذر التربيعي الموجب للحصول على r=√(A/π)، لأن r طول.

المعادلات والهويات والترتيب — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

اختصار حد ليس كاختصار عامل.
في (x²+2x)/x، قم بتحليل البسط واحفظ شرط x≠0.
تحقق من إعادة الترتيب بالتعويض.

انتبه

غير صحيح: اختصار x من (x+3)/x يُنتج 3 لكل x غير صفري. الـ x هو حد في البسط وليس عاملاً، لذا لا يمكن اختصاره: عند x=1، تكون القيمة (1+3)/1=4، وليست 3.

تطبيقه

عرّف المجهول وأعد معادلة خطية.
تحقق من الإجابة بالتعويض.
اقتصار هذا الدرس الأساسي/الجوهري على التعبيرات والمعادلات البسيطة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الهوية: مساواة تتحقق لكل قيمة مسموحة لمتغيرها.
المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
انتبه: اختصار حد ليس كاختصار عامل.

2 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب · المستوى المتقدم

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

تكلف خطتا اتصال جوال 20+3x و44+x يوان لـ x جيجابايت. متى يتساوى تكليفهما؟
يدرس هذا الدرس الهوية: تساؤل ينطبق على كل قيمة مسموحة للمتغير.

الطريقة

المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
حافظ على المساواة بتطبيق نفس العملية على كلا الطرفين.
أشر إلى القيود قبل القسمة على متغير.

حالة محلولة

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$

مثال

أين يكمن الخطأ

اختصار حد ليس كاختصار عامل.
في (x²+2x)/x، قم بتحليل البسط واحفظ شرط x≠0.
تحقق من إعادة الترتيب بالتعويض.

انتبه

تطبيقه

أعد المعادلة بناءً على الوحدات ومعنى المجهول.
قد يكون الحل السالب أو الكسري صحيحاً جبرياً لكنه مستحيل في سياق العد.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الهوية: مساواة تتحقق لكل قيمة مسموحة لمتغيرها.
المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
انتبه: اختصار حد ليس كاختصار عامل.

2 · التحليل إلى عوامل وحل التربيعيات البسيطة · المستوى الأساسي

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

فك الأقواس وتحليل المضاعفات التربيعية البسيطة.
حلّ بمساواة كل عامل بالصفر، واستخدم الرسم البياني لتفسير الجذور.

حالة محلولة

$$(x-3)(x-7)=0$$

مثال

x²-10x+21=(x-3)(x-7). ومنه المعادلة x²-10x+21=0 لها جذور 3 و7. تحقق من كل جذر بالتعويض وعيّن نقطتي التقاطع على الرسم البياني.

تحليل وحل كثيرات الحدود التربيعية البسيطة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

غير صحيح: المميز الموجب يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. المميز الموجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين؛ والمميز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية.

تطبيقه

يستخدم درس الأساس/الجوهر هذا التحليل والجذور البيانية؛ بينما يُحجَّز المميز وقانون التربيعات ومتباينات التربيعيات للمستوى المتقدم.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
فك الأقواس وتحليل المضاعفات التربيعية البسيطة.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

2 · التربيعيات والمتباينات · المستوى المتقدم

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

مثال

الشرط هو x(10-x)≥21، لذا x²-10x+21≤0. حلّل (x-3)(x-7)≤0. القطع المكافئ المفتوح للأعلى يكون غير موجب بين جذريه، مما يعطي 3≤x≤7. المساحة القصوى هي 25 عند x=5.

المعادلات التربيعية والمتباينات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

تطبيقه

استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

2 · المعادلات المتزامنة والمناطق الممكنة · المستوى الأساسي

هل يمكن لمعادلة واحدة تحديد عددين؟

نوعان من التذاكر يجمعان مبلغاً إجمالياً. لا يمكن لمعادلة واحدة تحديد كلا العددين المجهولين.
يدرس هذا الدرس الحذف: دمج المعادلات لإزالة متغير واحد مع الاحتفاظ بنفس الحلول.

الطريقة

لمعادلتين خطيتين، استخدم الإقصاء أو التعويض وتحقق من كلا المعادلتين.
لخط ومربع، عوِّب بالعلاقة الخطية أولاً؛ ثم حلّ المعادلة التربيعية الناتجة.
للمتباينات، ظلل المنطقة التي تحقق جميع الشروط.

حالة محلولة

$$x+y=12,\qquad 3x+2y=31$$

مثال

إذا كانت x+y=12 و3x+2y=31، اطرح ضعف المعادلة الأولى من الثانية لتحصل على x=7، ثم y=5. بالنسبة لـ y=x+1 و y=x²-1، فإن x²-x-2=0 يعطي x=2 أو -1، مع y=3 أو 0.

المعادلات المتزامنة والمناطق الممكنة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

التحقق من معادلة واحدة لا يكفي.
قد يلتقي خط بالمربع مرتين، لذا احتفظ بالحلولين ما لم يستبعد السياق أحدهما.
قد تُدرَج حدود المتباينة أو تُستبعد بناءً على الإشارة.

انتبه

غير صحيح: تُحلّ زوج من المعادلتين المتزامنتين بالتحقق من إحداهما فقط. يجب أن يحقق الحل كلا المعادلتين؛ تحقق منه في كل منهما.

تطبيقه

عرّف المتغيرات ووحدات القياس الخاصة بها.
إذا كانت تحسب الكائنات، فيجب أن تكون كلاهما أعداداً صحيحة غير سالبة.
للمنطقة الممكنة، اختبر نقطة واحدة على الجانب المطلوب لكل حدود ثم خذ التقاطع.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الإقصاء: دمج المعادلات لإزالة متغير واحد مع الحفاظ على نفس الحلول.
لمعادلتين خطيتين، استخدم الإقصاء أو التعويض وتحقق من كلا المعادلتين.
انتبه: التحقق من معادلة واحدة لا يكفي.

2 · المعادلات المتزامنة والمناطق الممكنة · المستوى المتقدم

هل يمكن لمعادلة واحدة تحديد عددين؟

نوعان من التذاكر يجمعان مبلغاً إجمالياً. لا يمكن لمعادلة واحدة تحديد كلا العددين المجهولين.
يدرس هذا الدرس الحذف: دمج المعادلات لإزالة متغير واحد مع الاحتفاظ بنفس الحلول.

الطريقة

لمعادلتين خطيتين، استخدم الإقصاء أو التعويض وتحقق من كلا المعادلتين.
لخط ومربع، عوِّب بالعلاقة الخطية أولاً؛ ثم حلّ المعادلة التربيعية الناتجة.
للمتباينات، ظلل المنطقة التي تحقق جميع الشروط.

حالة محلولة

$$x+y=12,\qquad 3x+2y=31$$

مثال

أين يكمن الخطأ

التحقق من معادلة واحدة لا يكفي.
قد يلتقي خط بالمربع مرتين، لذا احتفظ بالحلولين ما لم يستبعد السياق أحدهما.
قد تُدرَج حدود المتباينة أو تُستبعد بناءً على الإشارة.

انتبه

تطبيقه

عرّف المتغيرات ووحدات القياس الخاصة بها.
إذا كانت تحسب الكائنات، فيجب أن تكون كلاهما أعداداً صحيحة غير سالبة.
للمنطقة الممكنة، اختبر نقطة واحدة على الجانب المطلوب لكل حدود ثم خذ التقاطع.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الإقصاء: دمج المعادلات لإزالة متغير واحد مع الحفاظ على نفس الحلول.
لمعادلتين خطيتين، استخدم الإقصاء أو التعويض وتحقق من كلا المعادلتين.
انتبه: التحقق من معادلة واحدة لا يكفي.

3 · المتتاليات الحسابية والحروف النونية · المستوى الأساسي

هل التغير يجمع أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
يدرس هذا الدرس الفارق المشترك: الثابت المضاف بين الحدود المتتالية في المتتالية الحسابية.

الطريقة

أوجد الفرق الثابت لمتتالية حسابية.
حدّه النوني هو a+(n-1)d.
قاعدة الحد إلى الحد تشرح كيفية الوصول إلى الحد التالي؛ وقاعدة الموقع إلى الحد تعطي الحد مباشرة.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d$$

مثال

بالنسبة لـ 5,8,11,14,... الفارق المشترك هو 3. حدّها n هو 5+3(n-1)=3n+2. عند n=8، u₈=26. لإيجاد موقع 62، حل 3n+2=62، مما يعطي n=20.

Arithmetic sequences and nth terms — original teaching diagram

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

انتبه

غير صحيح: الحد الأول للمتتالية له فهرس صفري. المجموع اللانهائي موجود فقط عندما −1<r<1؛ أما عند r=2 فتتنامى الحدود بلا حدود.

تطبيقه

ولّد عدة حدود وتحقق من قاعدة حد نوني مقترحة.
المتتاليات الهندسية اللانهائية وصيغ المجموع المتقدمة مستبعدة من هذا الدرس (الأساسي/الجوهري).

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الفرق الثابت: القيمة المضافة الثابتة بين الحدود المتتالية في المتتالية الحسابية.
أوجد الفرق الثابت لمتتالية حسابية.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

3 · المتتاليات والمتسلسلات والتكرار · المستوى المتقدم

هل التغير يجمع أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

مثال

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

انتبه

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقه

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

3 · المستقيمات والميل · المستوى الأساسي

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

الميل هو التغير في y مقسوماً على التغير في x.
المستقيم له الصيغة y=mx+c، حيث c هو المقطع الصادي.
المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.

حالة محلولة

$$y=mx+c$$

مثال

مروراً بالنقطة (2,5) وبميل 3، بالتعويض نحصل على 5=3×2+c، وبالتالي c=-1 و y=3x-1. النقطتان (1,2) و (4,8) تعطيان الميل (8-2)/(4-1)=2.

الخطوط المستقيمة والميل — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.

انتبه

غير صحيح: المستقيمات المتعامدة غير العمودية لها نفس الميل. حاصل ضرب ميلين متعامدين يساوي −1: الميل 2 يتطلب −1/2. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.

تطبيقه

ارسم مستقيماً باستخدام نقطتين متحقق منهما وعلّم مقطعه.
صيغ ميل المستقيم العمودي ومعادلات الدائرة ليست جزءاً من هذا الدرس (الأساسي/الجوهري).

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
الميل هو التغير في y مقسوماً على التغير في x.
انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

3 · الهندسة الإحداثية والمماسات · المستوى المتقدم

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
حاصل ضرب ميلين متعامدين محدودين يساوي −1.
معادلة الدائرة هي (x-a)²+(y-b)²=r².

حالة محلولة

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

مثال

Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.

هندسة إحداثيات والخطوط المماسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.

انتبه

تطبيقه

قبل حل تقاطع مستقيم ودائرة، تنبأ بما إذا كان هناك صفر أو واحد أو نقطتا تقاطع.
التعويض ينتج معادلة تربيعية يحدد المميز فيها صحة التنبؤ.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

3 · المجالات، والدوال العكسية، والتركيب · المستوى المتقدم

ما المدخلات المسموحة؟

نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

الطريقة

حدد المجال والمدى.
بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية على مجالها.
تركيب fg يعني تطبيق g أولاً، ثم f؛ يجب أن يكون الناتج الوسيط مدخلًا مسموحًا به لـ f.

حالة محلولة

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

مثال

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور حلول زائدة.
تقييد مجال القطع المكافئ ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية.
الإزاحة الأفقية داخل f تحمل إشارة معاكسة لحركة الرسم البياني.

انتبه

غير صحيح: كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. الدالة التربيعية على جميع الأعداد الحقيقية تكون متعددة الصورة (f(1)=f(−1) من أجل x²)، لذا يجب تقييم مجالها أولاً.

تطبيقه

تحقق من أن f(المعكوس(x))=x على مجال المعكوس.
استخدم رسمًا مبدئيًا لاختبار ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.
حدد المجال والمدى.
انتبه: التربيع قد يُدخل حلولاً زائدة.

3 · المشتقات والنقاط الساكنة · المستوى المتقدم

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

بالنسبة لحجم كثير حدود ax^n حيث n عدد صحيح غير سالب، فإن حد التدرج هو anx^(n-1).
أضف الحدود المشتقة.
النقطة الثابتة يكون تدرجها صفراً.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

لا تعني المشتقة الصفرية دائماً وجود قيمة عظمى أو صغرى: الدالة y=x³ ساكنة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة.
يمكن للنقطة الطرفية أيضاً أن تنتج قيمة قصوى أو دنيا على مجال محدود.

انتبه

غير صحيح: كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. يمكن للمشتقة الصفرية أن تكون أيضاً نقطة انعطال: الدالة y=x³ عند x=0 ليست neither عظمى nor صغرى.

تطبيقه

هذه الدرس المتقدم في منهج IGCSE يقتصر على اشتقاق كثيرات الحدود وتدرجات المماس والنقاط الثابتة.
استبعد الاشتقاق بالتسلسل والجداء والمقام الضمني.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
بالنسبة لحجم كثير حدود ax^n حيث n عدد صحيح غير سالب، فإن حد التدرج هو anx^(n-1).
انتبه: المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود قيمة عظمى أو صغرى؛ فالمنحنى y=x³ يكون ثابتًا عند 0 ولكنه يستمر في الارتفاع.

4 · الزوايا، والأطوال، والمساحة · المستوى الأساسي

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

الطريقة

استخدم حقائق الزوايا مع ذكر السبب.
الأشكال المتشابهة لها زوايا نظيرة متساوية وأطوال نظيرة متناسبة.
مساحات المستطيلات والمثلثات مستمدة من أبعادها؛ يمكن تقسيم الأشكال المركبة إلى أجزاء أبسط.

حالة محلولة

$$A_{\mathrm{rectangle}}=LW,\quad A_{\mathrm{triangle}}=\frac12 bh$$

مثال

مستطيل طوله 8 سم وعرضه 5 سم مساحته A=LW=40 سم². مثلث على نفس القاعدة والارتفاع مساحته A=bh/2=20 سم². لمضلع خماسي، مجموع الزوايا الداخلية هو (5-2)×180=540°.

الزوايا والأطوال والمساحة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

تساوي الزوايا وحدها ي establishes التشابه، وليس المساواة في الحجم.
استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب.
حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو اربع/كعب معامل التحويل بشكل صحيح.

انتبه

غير صحيح: المثلث والمستطيل اللذان لهما نفس القاعدة والارتفاع لهما نفس المساحة. يتغير الحجم بمقدار مكعب عامل الطول: مضاعفة كل طول تضاعف الحجم 8 مرات.

تطبيقه

استخدم رسمًا تخطيطيًا مُسمّى ووحدة قياس مناسبة.
لا تختبر هذا الدرس (المستوى الأساسي/الجوهري) معاملات مقياس المساحة/الحجم أو إثباتات نظريات الدائرة المتقدمة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل المقياس: المعامل الضربي الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.
استخدم حقائق الزوايا مع ذكر السبب.
انتبه: الزوايا المتساوية وحدها تُثبت التشابه، وليس الحجم المتساوي.

4 · استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياسات الهندسية · المستوى المتقدم

هل يتناسب الحجم مع الطول؟

نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

الطريقة

للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
نصّ على أسباب الزوايا صراحةً.
مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس.

حالة محلولة

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

مثال

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

استنتاج الزوايا، والتشابه، والقياسات الهندسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

تساوي الزوايا وحدها ي establishes التشابه، وليس المساواة في الحجم.
استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب.
حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو اربع/كعب معامل التحويل بشكل صحيح.

انتبه

غير صحيح: مضاعفة كل طول لجسم ثلاثي الأبعاد تضاعف حجمه. يتغير الحجم بمقدار مكعب عامل الطول: مضاعفة كل طول تضاعف الحجم 8 مرات.

تطبيقه

يجب أن يذكر الإثبات الهندسي النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة.
الرسم المقياسي يُعد دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأعلى، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل المقياس: المعامل الضربي الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.
للأشكال المتشابهة ذات معامل مقياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³.
انتبه: الزوايا المتساوية وحدها تُثبت التشابه، وليس الحجم المتساوي.

4 · المثلثات القائمة وغير القائمة · المستوى الأساسي

أي جانب يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم واستخدم الجيب أو جيب التمام أو الظل مع الأضلاع المسمّاة بالنسبة للزاوية المختارة.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. مثلث قائم الزاوية ضلعاه 6 و 8 مساحته 6×8/2=24.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.

انتبه

غير صحيح: ينطبق فيثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات بدون زاوية قائمة. يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة؛ للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.

تطبيقه

يستخدم هذا الدرس (المستوى الأساسي/الجوهري) المثلثات القائمة الزاوية فقط.
قواعد الجيب وجيب التمام للمثلثات غير القائمة تنتمي إلى درس المستوى المتقدم.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم واستخدم الجيب أو جيب التمام أو الظل مع الأضلاع المسمّاة بالنسبة للزاوية المختارة.
انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

4 · المثلثات القائمة وغير القائمة · المستوى المتقدم

أي جانب يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
للمثلثات الأخرى، استخدم قانون الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

أين يكمن الخطأ

عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.

انتبه

تطبيقه

استخدم مخططاً أو منظراً عمودياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث.
اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأعلى، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

4 · نظريات الدائرة والإثباتات المنطقية · المستوى المتقدم

أي الزوايا ترى الوتر نفسه؟

يراقب مشاهدان وترًا واحدًا من الدائرة. ترتبط زواياهما بنظرية وليس بالحجم الظاهري للرسم.
تدرس هذه الدرس الرباعي الدائري: الرباعي الذي تقع رؤوسه الأربعة على دائرة واحدة.

الطريقة

الزاوية عند المركز ضعف الزاوية عند الدائرة على نفس القوس.
الزوايا في المقطع الواحد متساوية.
Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°.
نصف القطر عمودي على المماس عند نقطة التماس.

حالة محلولة

$$\theta_{\mathrm{centre}}=2\theta_{\mathrm{circumference}}$$

مثال

إذا كانت الزاوية المركزية 100°، فإن الزاوية المقابلة لها عند المحيط تساوي 50°. في الرباعي الدائري الذي يحتوي على زاوية مقدارها 112°، تكون الزاوية المقابلة له 180-112=68°. يعطي نصف القطر المماس زاوية 90°، حتى لو بدا الرسم مائلًا.

نظريات الدائرة والإثباتات المنطقية — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

حدد الوتر نفسه والقوس الصحيح قبل استخدام أي نظرية.
لا يثبت وجود زاويتين قائمتين مرئيتين أن الرباعي دائري دون برهان عكس صحيح.
لا يشترط أن يكون الرسم مقياسياً.

انتبه

Not true: Every quadrilateral has opposite angles summing to 180°. Opposite angles sum to 180° only in a cyclic quadrilateral, one whose vertices lie on a circle.

تطبيقه

اكتب سبباً واحداً بجانب كل عملية حسابية للزاوية.
بالنسبة لنظرية القطع والمماس، حدد المماس والوتر، ثم حدد الزاوية في المقطع المقابل.
استخدم شعاعاً مساعداً فقط عندما يساعد البرهان.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأعلى، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الرباعي الدائري: هو رباعي تقع رؤوسه الأربعة على دائرة واحدة.
الزاوية عند المركز ضعف الزاوية عند الدائرة على نفس القوس.
انتبه: حدد نفس الوتر والقوس الصحيح قبل استخدام النظرية.

4 · الإنشاءات، والأماكن الهندسية، والشروط الهندسية · المستوى الأساسي

أين يمكن أن يتحقق الشرطان معاً؟

يجب أن يكون الموجه على مسافة متساوية عن غرفتين وفي متناول نقطة كهربائية. يخلق كل شرط مجموعة مختلفة من المواقع الممكنة.
يدرس هذا الدرس المحل الهندسي: مجموعة جميع النقاط التي تحقق شرطاً هندسياً معلناً.

الطريقة

النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن A و B تقع على المنصف العمودي للقطعة AB.
النقاط التي تبعد مسافة ثابتة r عن C تقع على دائرة.
النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن مستقيمين متقاطعين تقع على منصفات زواياهما.

حالة محلولة

$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$

مثال

بالنسبة لـ A=(0,0) وB=(6,0)، المنصف العمودي هو x=3. النقاط التي تبعد 5 وحدات عن A تحقق المعادلة x²+y²=25. بتعويض x=3 نحصل على y²=16، لذا فإن (3,4) و(3، -4) تحقق كلا الشرطين.

الإنشاءات، والأماكن الهندسية، والشروط الهندسية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يتعلق المنصف العمودي بالمسافة إلى نقطتين، بينما يتعلق منصف الزاوية بالمسافة إلى مستقيمين.
الرسم التخطيطي ليس بناءً بالمسطرة والمنقلة: حافظ على الأقواس كدليل على الطريقة.

انتبه

غير صحيح: النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن نقطتين تقع على منصف زاويتهما. النقاط المتساوية البعد عن نقطتين تقع على المنصف العمودي للقطعة الواصل بينهما؛ ومنصف الزاوية هو الذي يتساوى في المسافة عن مستقيمين.

تطبيقه

ترجم كل شرط إلى مجتمعة نقاط قبل إيجاد التقاطعات.
لمنطقة أقرب إلى A من B، اختر الجانب الصحيح من المنصف العمودي وأبين ما إذا كان الحد مسموحًا به أم لا.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الموضع الهندسي: مجموعة جميع النقاط التي تحقق شرطاً هندسياً معيناً.
النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن A و B تقع على المنصف العمودي للقطعة AB.
انتبه: يتعلق المنصف العمودي بالمسافة إلى نقطتين؛ ومنصف الزاوية يتعلق بالمسافة إلى مستقيمين.

4 · الإنشاءات، والأماكن الهندسية، والشروط الهندسية · المستوى المتقدم

أين يمكن أن يتحقق الشرطان معاً؟

يجب أن يكون الموجه على مسافة متساوية عن غرفتين وفي متناول نقطة كهربائية. يخلق كل شرط مجموعة مختلفة من المواقع الممكنة.
يدرس هذا الدرس المحل الهندسي: مجموعة جميع النقاط التي تحقق شرطاً هندسياً معلناً.

الطريقة

النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن A و B تقع على المنصف العمودي للقطعة AB.
النقاط التي تبعد مسافة ثابتة r عن C تقع على دائرة.
النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن مستقيمين متقاطعين تقع على منصفات زواياهما.

حالة محلولة

$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$

مثال

أين يكمن الخطأ

يتعلق المنصف العمودي بالمسافة إلى نقطتين، بينما يتعلق منصف الزاوية بالمسافة إلى مستقيمين.
الرسم التخطيطي ليس بناءً بالمسطرة والمنقلة: حافظ على الأقواس كدليل على الطريقة.

انتبه

تطبيقه

ترجم كل شرط إلى مجتمعة نقاط قبل إيجاد التقاطعات.
لمنطقة أقرب إلى A من B، اختر الجانب الصحيح من المنصف العمودي وأبين ما إذا كان الحد مسموحًا به أم لا.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأعلى، قسم المواصفات 4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الموضع الهندسي: مجموعة جميع النقاط التي تحقق شرطاً هندسياً معيناً.
النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن A و B تقع على المنصف العمودي للقطعة AB.
انتبه: يتعلق المنصف العمودي بالمسافة إلى نقطتين؛ ومنصف الزاوية يتعلق بالمسافة إلى مستقيمين.

5 · المتجهات وتحويلات الهندسة · المستوى الأساسي

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
الإزاحة تحرك كل نقطة بنفس المتجه؛ والضرب القياسي يغير الطول وقد يغير الاتجاه.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

مثال

مع a=(4,1) وb=(1,3)، فإن a+b=(5,4). من A=(1,2) إلى B=(5,5)، الإزاحة AB=(4,3). مقدارها هو √(4²+3²)=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.

انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

ارسم أسهماً مع تحديد الاتجاه ونقاط البداية والنهاية.
الضرب القياسي، ومعادلات الخطوط الفراغية، وحسابات الزوايا المتقدمة مستبعدة من هذا الدرس (المستوى الأساسي/الجوهري).

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 5.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

5 · المتجهات وتحويلات الهندسة · المستوى المتقدم

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
الإزاحة تحرك كل نقطة بنفس المتجه؛ والضرب القياسي يغير الطول وقد يغير الاتجاه.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

مثال

مع a=(4,1) وb=(1,3)، فإن a+b=(5,4). من A=(1,2) إلى B=(5,5)، الإزاحة AB=(4,3). مقدارها هو √(4²+3²)=5.

أين يكمن الخطأ

ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.

انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

ارسم أسهماً مع تحديد الاتجاه ونقاط البداية والنهاية.
الضرب القياسي، ومعادلات الخطوط الفراغية، وحسابات الزوايا المتقدمة مستبعدة من هذا الدرس (المستوى الأساسي/الجوهري).

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 5.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

5 · الانعكاسات، والدوران، والتوسعات · المستوى الأساسي

أين مركز التكبير؟

يتم تكبير شعار حول نقطة بعيدة عن نقطة الأصل. ضرب إحداثياته فقط يضعه في مكان خاطئ.
تدرس هذه الدرس مركز التكبير: النقطة التي يُضرب فيها إزاحة كل نقطة في عامل مقياس.

الطريقة

الترجمة تضيف متجهًا.
الانعكاس يعكس المسافة العمودية ذات الإشارة عن خط الانعكاس.
الدوران يتطلب مركزًا وزاوية واتجاهًا.
للتمدد من النقطة C، استخدم P الجديد = C + k(P - C).

حالة محلولة

$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$

مثال

لـ C=(1,1)، P=(3,2)، k=2، فإن P-C=(2,1)، لذا P_جديد=(1,1)+2(2,1)=(5,3). انعكاس (3,2) في محور الصادات يعطي (-3,2). دوران 90° عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل يعطي (-2,3).

الانعكاسات والدورانات والتكبيرات — الرسم التوضيحي الأصلي للدروس

أين يكمن الخطأ

الدوران يتطلب مركزه واتجاهه، وليس فقط الزاوية.
معامل التمدد السالب يضع الصورة على الجانب الآخر من المركز.
الترجمة لا تغير الاتجاه ولا الحجم.

انتبه

غير صحيح: ليس كل تمدد مركزه نقطة الأصل إلا إذا كان معامل مقاييسه سالبًا. يمكن أن يكون للتمدد أي مركز؛ ومعامل المقاييس السالب يضع الصورة على الجانب الآخر من المركز.

تطبيقه

صف التحويل بشكل كامل قبل بناء الصورة.
تحقق من المسافات والزوايا المقابلة.
للتحويلات المركبة، طبقها بالترتيب المذكور؛ فهي عادةً لا تتبادل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المواصفات 5.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

مركز التمدد: هي النقطة التي يُضرب فيها إزاحة كل نقطة في معامل المقاييس.
الترجمة تضيف متجهًا.
انتبه: التحويل يحتاج إلى مركزه واتجاهه، وليس مجرد زاوية.

5 · الانعكاسات، والدوران، والتوسعات · المستوى المتقدم

أين مركز التكبير؟

يتم تكبير شعار حول نقطة بعيدة عن نقطة الأصل. ضرب إحداثياته فقط يضعه في مكان خاطئ.
تدرس هذه الدرس مركز التكبير: النقطة التي يُضرب فيها إزاحة كل نقطة في عامل مقياس.

الطريقة

الترجمة تضيف متجهًا.
الانعكاس يعكس المسافة العمودية ذات الإشارة عن خط الانعكاس.
الدوران يتطلب مركزًا وزاوية واتجاهًا.
للتمدد من النقطة C، استخدم P الجديد = C + k(P - C).

حالة محلولة

$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

الدوران يتطلب مركزه واتجاهه، وليس فقط الزاوية.
معامل التمدد السالب يضع الصورة على الجانب الآخر من المركز.
الترجمة لا تغير الاتجاه ولا الحجم.

انتبه

تطبيقه

صف التحويل بشكل كامل قبل بناء الصورة.
تحقق من المسافات والزوايا المقابلة.
للتحويلات المركبة، طبقها بالترتيب المذكور؛ فهي عادةً لا تتبادل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المواصفات 5.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

مركز التمدد: هي النقطة التي يُضرب فيها إزاحة كل نقطة في معامل المقاييس.
الترجمة تضيف متجهًا.
انتبه: التحويل يحتاج إلى مركزه واتجاهه، وليس مجرد زاوية.

6 · المركز، والتشتت، وعروض البيانات · المستوى الأساسي

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس النطاق: القيمة القصوى المرصودة ناقص القيمة الدنيا المرصودة.

الطريقة

المتوسط الحسابي يساوي المجموع الكلي مقسوماً على العدد.
الوسيط هو القيمة المركزية بعد الترتيب التصاعدي أو التنازلي.
المدى هو الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى.
استخدم جداول التكرار، والمخططات الشريطية، والمقارنات المناسبة.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n}$$

مثال

بالنسبة لـ 2,4,4,6,9، المجموع الكلي=25 والعدد=5، لذا المتوسط=5. القيمة المركزية هي 4، لذا الوسيط=4. المدى هو 9-2=7. اشرح كلًا من القيمة النموذجية والتشتت.

المركز، التشتت وعرض البيانات — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

انتبه

غير صحيح: يجب أن يكون المتوسط الحسابي لبيانات ما واحداً من قيمها الملاحظة. وفي حالة وجود فئات ذات عرض غير متساوٍ، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

يستخدم المخطط الشريطي أعمدة منفصلة لكل فئة.
مخططات التكرار المتراكمة ذات الفئات غير المتساوية وحسابات الكثافة الرسمية خارج نطاق هذه الدرس (الأساس/الجوهري).

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 6.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المدى: القيمة العظمى الملاحظة ناقص القيمة الصغرى الملاحظة.
المتوسط الحسابي يساوي المجموع الكلي مقسوماً على العدد.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

6 · ملخصات البيانات، والهرمونات التكرارية، والتفسير · المستوى المتقدم

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

مثال

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

انتبه

غير صحيح: ارتفاع عمود المدرج التكراري يساوي تكراره، حتى مع عدم تساوي أوسع الفئات. مع عدم تساوي أوسع الفئات، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 6.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

6 · أشجار الاحتمالات والنتائج · المستوى الأساسي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

يقع الاحتمال بين 0 و1.
النتائج الشاملة والمتبادلة الاستبعاد لها احتمالات مجموعها 1.
اضرب احتمالات الفروع المتتالية وأضف المسارات المنفصلة نحو النتيجة.

حالة محلولة

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$

مثال

حقيبة تحتوي على 3 عدسات حمراء و2 عدسات زرقاء. مع الاستبدال، P(احتمال الحصول على عدستين حمراوين)=3/5×3/5=9/25=0.36. بدون استبدال، فرع الأحمر-الأحمر هو 3/5×2/4=0.3. قم بتسمية كل فرع قبل الضرب.

أشجار الاحتمالية والنتائج — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

انتبه

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقه

استخدم جدول تكراري أو شجرة بسيطة قبل الحساب.
صيغ الاحتمال الشرطي الرسمية خارج نطاق هذا الدرس في مستوى الدعم الأساسي/الجوهري.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى الأساسي، قسم المنهج 6.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
يقع الاحتمال بين 0 و1.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

6 · الاحتمالات، والأشجار، والاستدلال الشرطي · المستوى المتقدم

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

مثال

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

انتبه

تطبيقه

الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 6.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

6 · التواتر التراكمي ومخططات الصندوق · المستوى المتقدم

أي المسارين أكثر اتساقًا؟

مساران للحافلة لديهما أوقات نموذجية مماثلة ولكن موثوقية مختلفة. الربيعيات تُظهر النصف الأوسط من الرحلات.
تدرس هذه الدرس المدى الربيعي: الفرق بين الربيع العلوي والسفلي.

الطريقة

يجمع التكرار التراكمي عدد المشاهدات التي تقع دون حدود الفئات المتتالية.
يُقرأ الربيع الأول عند الربع الأول، والوسيط عند النصف، والربيع الثالث عند ثلاثة أرباع مجموع التكرارات.
يمثل المربع المستطيل القيم: الحد الأدنى، الربيع الأول، الوسيط، الربيع الثالث، والحد الأعلى.

حالة محلولة

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$

مثال

بالنسبة لـ 80 ملاحظات، اقرأ Q1 عند التكرار التراكمي 20، والوسيط عند 40 وQ3 عند 60. إذا كان Q1=12 وQ3=21، فإن IQR=9. قارن الوسائط لأوقات الرحلة النموذجية والمدى الربيعي للاتساق.

التكرار التراكمي ومخططات الصندوق — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ارسم البيانات مقابل حدود الفئات بدلاً من وسطائها.
ربيعات البيانات المجمعة هي تقديرات.
المدى حساس للقيم المتطرفة؛ بينما يصف المدى الربيعي الربع الأوسط فقط.

انتبه

غير صحيح: يساوي المدى الربيعي الحد الأعلى ناقص الحد الأدنى. المدى الربيعي هو Q3−Q1؛ والفرق بين الحد الأعلى والأدنى هو المدى.

تطبيقه

اشرح المقارنة في سياق الكمية المقاسة.
قد تستخدم قاعدة القيم المتطرفة Q1-1.5IQR وQ3+1.5IQR؛ استخدم القاعدة المحددة في المهمة بدلاً من افتراض أن كل مخطط يتبعها.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1)، المستوى المتقدم، قسم المنهج 6.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المدى الربيعي: الفرق بين الربيع العلوي والسفلي.
يجمع التكرار التراكمي عدد المشاهدات التي تقع دون حدود الفئات المتتالية.
انتبه: الرسم البياني يُرسم ضد حدود الفئات وليس against midpoints.

ملاحظات الدراسة

4MA1: ملاحظات تدريس المقرر

1 · الحساب الدقيق والتقدير · المستوى الأساسي

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الحساب الدقيق والتقدير · المستوى المتقدم

هل يمكننا التغليف بدون فائض؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الأسس الصحيحة والصيغة القياسية · المستوى الأساسي

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الأسس والجذور والصيغة القياسية · المستوى المتقدم

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي · المستوى الأساسي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي · المستوى المتقدم

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

1 · الدقة والحدود والمقاسات المركبة · المستوى المتقدم

هل القياس المطبوع دقيق؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب · المستوى الأساسي

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب · المستوى المتقدم

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · التحليل إلى عوامل وحل التربيعيات البسيطة · المستوى الأساسي

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · التربيعيات والمتباينات · المستوى المتقدم

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

2 · المعادلات المتزامنة والمناطق الممكنة · المستوى الأساسي