مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

YPM01: ملاحظات تدريس المساق

الإصدار: الإصدار 3، أبريل 2019؛ أول تدريس 2018؛ تقييم الوحدة بدءًا من 2019

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

P1 · الأسس والجذور والصيغة القياسية

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
الأس السالب يعني المقلوب؛ والأس الكسري يمثل الجذر.
الصيغة القياسية لها 1≤a<10.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

مثال

0.000072=7.2×10^(-5). أيضًا 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم أزل الجذر من المقام 1/√2=√2/2.

المؤشرات والجذور الصارمة والصيغة القياسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.

انتبه

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقه

تحقق من أسس العشرات مقابل الكمية الأصلية.
استخدم الجذور المربعة للحسابات الهندسية الدقيقة، وقم بالتقريب فقط للطول النهائي عندما تطلب السؤال قيمة عشرية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

P1 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

مثال

الشرط هو x(10-x)≥21، لذا x²-10x+21≤0. حلّل (x-3)(x-7)≤0. القطع المكافئ المفتوح للأعلى يكون غير موجب بين جذريه، مما يعطي 3≤x≤7. المساحة القصوى هي 25 عند x=5.

المعادلات التربيعية والمتباينات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

غير صحيح: المميز الموجب يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. المميز الموجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين؛ والمميز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية.

تطبيقه

استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

P1 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
حاصل ضرب ميلين متعامدين محدودين يساوي −1.
معادلة الدائرة هي (x-a)²+(y-b)²=r².

حالة محلولة

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

مثال

Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.

هندسة إحداثيات والخطوط المماسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.

انتبه

غير صحيح: المستقيمات المتعامدة غير العمودية لها نفس الميل. حاصل ضرب ميلين متعامدين يساوي −1: الميل 2 يتطلب −1/2. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.

تطبيقه

قبل حل تقاطع مستقيم ودائرة، تنبأ بما إذا كان هناك صفر أو واحد أو نقطتا تقاطع.
التعويض ينتج معادلة تربيعية يحدد المميز فيها صحة التنبؤ.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

P1 · المثلثات القائمة وغير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
للمثلثات الأخرى، استخدم قانون الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.

انتبه

غير صحيح: ينطبق فيثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات بدون زاوية قائمة. يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة؛ للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.

تطبيقه

استخدم مخططاً أو منظراً عمودياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث.
اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

P1 · الراديان والمطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

الزاوية بالراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
لا تعطي جميع الحلول.
القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.

انتبه

غير صحيح: القيمة العكسية الرئيسية للجيب هي الحل الوحيد في دورة كاملة. يأخذ الجيب معظم القيم مرتين في دورة كاملة: sin x=0.5 يعطي 30° و150°.

تطبيقه

اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P1 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\quad m=f^{\prime}(x_0)$$

مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، فإن dy/dx=3x²-3. عند x=2، يكون الميل 9 و y=2. معادلة المماس هي y-2=9(x-2). وميل الناظم هو -1/9.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

المشتقة تعطي الميل، لا الترتيب.
قوّم y وdy/dx بشكل منفصل عند الإحداثي x المعطى؛ يكون ميل العمود هو المقلوب السالب لميل المماس غير الصفري.

انتبه

غير صحيح: المماس والعمود عند نفس النقطة لهما نفس الميل. يمكن أن تكون المشتقة الصفرية أيضاً نقطة انعطاف: y=x³ عند x=0 ليست neither حد أقصى ولا حد أدنى.

تطبيقه

P1 يغطي مشتقات كثيرات الحدود والميلات والمماسات والأعمدة.
التحسين وتصنيف النقاط الساكنة يُدرَّس في P2؛ لم يتم تقديمها هنا.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
انتبه: المشتقة تعطي الميل، لا الترتيب.

P1 · التكامل والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

قم بتكامل قوى كثيرات الحدود بزيادة الأس بمقدار واحد وقسم على الأس الجديد.
أضف ثابتاً عشوائياً واستخدم نقطة معطاة لتحديده.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

مثال

الدالة الأصلية لـ 3x² هي x³+C لأن اشتقاق x³ يعطي 3x². إذا كانت F(1)=5، فإن 1+C=5، وبالتالي C=4 وF(x)=x³+4.

التكاملات، المساحة والتراكم — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

التكامل غير المحدد يتطلب ثابتاً.
تكامل كل حد يغير أسه؛ ونسخ قاعدة الاشتقاق يعطي نتيجة خاطئة.

انتبه

غير صحيح: كل تكامل غير محدود له مشتقة عكسية واحدة فقط محتملة. المساحة تحت المحور تُحسب سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أقل من المساحة الكلية، أو حتى يساوي صفراً.

تطبيقه

P1 يستخدم التكامل غير المحدد لكثيرات الحدود ونقطة لتحديد الثابت.
التكاملات المحددة، والمساحات وقاعدة شبه المنحرف هي محتوى P2.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
قم بتكامل قوى كثيرات الحدود بزيادة الأس بمقدار واحد وقسم على الأس الجديد.
انتبه: التكامل غير المحدد يتطلب ثابتاً.

P2 · الاستنتاج والتناقض والاستدلال الاستقرائي

متى يصبح النمط برهاناً؟

يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
المثال المضاد ينفي ادعاءً يشمل جميع القيم.
يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

مثال

بالنسبة للأعداد الفردية 2a+1 و2b+1، فإن مجموعهما هو 2(a+b+1)، وبالتالي فهو زوجي. يفشل الادعاء بأن n²+n+41 أولي دائماً عند n=41: القيمة هي 41×43=1763. بالنسبة لـ1+...+n=n(n+1)/2، خطوة الاستقراء تضيف k+1 إلى المجموع المفترض.

الاستنتاج، التناقض والترجع — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.

انتبه

غير صحيح: التحقق من العشر أرقام الأولى لا يثبت ادعاءً لكل عدد صحيح موجب. قد ينطبق نمط على الحالات العشر الأولى ثم يفشل لاحقاً؛ ويجب أن يغطي الإثبات كل حالة على حدة.

تطبيقه

يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

P2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

مثال

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

تطبيقه

استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

P2 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
حاصل ضرب ميلين متعامدين محدودين يساوي −1.
معادلة الدائرة هي (x-a)²+(y-b)²=r².

حالة محلولة

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

مثال

Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.

أين يكمن الخطأ

المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.

انتبه

تطبيقه

قبل حل تقاطع مستقيم ودائرة، تنبأ بما إذا كان هناك صفر أو واحد أو نقطتا تقاطع.
التعويض ينتج معادلة تربيعية يحدد المميز فيها صحة التنبؤ.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

P2 · المتتاليات والمتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

مثال

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

انتبه

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقه

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

P2 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.

الطريقة

بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
عندما يكون n عدداً غير صحيح، قم بفك (1+x)^n على الصورة 1+nx+n(n-1)x²/2+... حيث |x|<1.
أخرج الثوابت كعامل مشترك قبل استخدام هذه الصيغة.

حالة محلولة

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

مثال

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.

التوسع ذات الحدين والتقديرات الصالحة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.
مفكوكات الأسس الصحيحة الموجبة تكون محدودة ولا تخضع لهذا القيد الخاص بالتقارب.

انتبه

غير صحيح: ليس كل مفكوك ثنائي هو كثير حدود محدود؛ فبعض الأسس ليست أعداداً صحيحة موجبة. وفي حالة الأس السالب أو الكسري، يكون المفكوك سلسلة لانهائية صالحة فقط عندما يكون |x|<1.

تطبيقه

حدد مجال الصلاحية بجانب أي تقريب.
احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وميز بين المعامل والحد الكامل الذي يحتوي على x.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل ثنائي: عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة ما.
بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
انتبه: في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.

P2 · الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

مثال

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ x و y الموجبين، فإن ln(x+y) لا يساوي ln x+ln y. لا توجد قاعدة بسيطة لوغاريتم المجموع، بينما قاعدة الضرب تنص على أن ln(xy)=ln x+ln y.

تطبيقه

قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

P2 · الراديان والمتطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

أين يكمن الخطأ

يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
لا تعطي جميع الحلول.
القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.

انتبه

تطبيقه

اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P2 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

أين يكمن الخطأ

لا تعني المشتقة الصفرية دائماً وجود قيمة عظمى أو صغرى: الدالة y=x³ ساكنة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة.
يمكن للنقطة الطرفية أيضاً أن تنتج قيمة قصوى أو دنيا على مجال محدود.

انتبه

غير صحيح: كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. يمكن للمشتقة الصفرية أن تكون أيضاً نقطة انعطال: الدالة y=x³ عند x=0 ليست neither عظمى nor صغرى.

تطبيقه

في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة أو الضرب أو القسمة هناك.
في المستوى المتقدم، اربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
انتبه: المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود قيمة عظمى أو صغرى؛ فالمنحنى y=x³ يكون ثابتًا عند 0 ولكنه يستمر في الارتفاع.

P2 · التكاملات والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
التكامل المحدد هو تراكم مُعلَم بإشارة.
قسّم عند تغير الإشارات عند حساب المساحة الكلية أو المسافة.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

مثال

لـ v(t)=3t²-3 خلال 0≤t≤2، الإزاحة=[t³-3t]_0^2=2. بما أن v يغير إشارته عند t=1، المسافة=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. تلغي الثوابت فقط في حالة التكامل المحدد.

أين يكمن الخطأ

تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.
يمكن أن تكون المساحة المُمَلَّمة صفرًا حتى عندما تكون المساحة المحصورة الكلية موجبة.

انتبه

غير صحيح: التكامل المحدد يساوي إجمالي المساحة الموجبة، حتى عندما يتقاطع المنحنى مع المحور. تُحسب المساحة تحت المحور كقيمة سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أصغر من المساحة الكلية، أو حتى صفرًا.

تطبيقه

حدد ما يعنيه التكامل وضمن الوحدات الصحيحة.
معدل مقاس بالثانية يُوَظَّف ليُنتج الكمية الأصلية، لا معدلًا آخر.
اشتق الدالة المضادة للتكامل للتحقق منها.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
انتبه إلى: تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.

P2 · إيجاد الجذور والتكامل العددي

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

بالنسبة لعرض شريط متساوي h، التقدير بشبه المنحرف هو h/2 مضروبًا في مجموع ارتفاعي endpointين زائد ضعف الارتفاعات الداخلية.

حالة محلولة

$$A\approx\frac h2(y_0+2y_1+\cdots+2y_{n-1}+y_n)$$

مثال

بالنسبة لـ y=x² على [0,2] مع شريطين متساويين، h=1 والارتفاعات هي 0,1,4. التقدير هو (1/2)(0+2×1+4)=3. المساحة الدقيقة هي 8/3، لذا فإن هذا المنحنى المحدب يعطي تقديرًا زائدًا.

إيجاد الجذور والتكامل العددي — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

استخدم عرض شرائح متساوٍ وشمّل الارتفاعات الداخلية مرتين.
الانحناء يحدد ما إذا كانت التقديرية أعلى أو أقل من المساحة الدقيقة؛ الزيادة وحدها لا تفعل ذلك.

انتبه

غير صحيح: الدالة المتزايدة تعطي تقديرًا عاليًا على شكل شبه منحرف. تغيير الإشارة يُظهر جذرًا فقط إذا كانت الدالة متصلة هناك: 1/x يتغير إشارتها عبر x=0 لكن ليس لها جذر.

تطبيقه

P2 تقدم قاعدة شبه المنحرف.
نيوتن-رافسون وطرق إيجاد الجذور الأخرى تنتمي لوحدات أخرى؛ فهي ليست جزءًا من درس P2 هذا.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics، الوحدة P2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
بالنسبة لعرض شريط متساوي h، التقدير بشبه المنحرف هو h/2 مضروبًا في مجموع ارتفاعي endpointين زائد ضعف الارتفاعات الداخلية.
انتبه إلى: استخدام أشرطة عرض متساوية وتضمين الارتفاعات الداخلية مرتين.

P3 · المجالات والدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

الطريقة

حدد المجال والمدى.
بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية على مجالها.
تركيب fg يعني تطبيق g أولاً، ثم f؛ يجب أن يكون الناتج الوسيط مدخلًا مسموحًا به لـ f.

حالة محلولة

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

مثال

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور حلول زائدة.
تقييد مجال القطع المكافئ ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية.
الإزاحة الأفقية داخل f تحمل إشارة معاكسة لحركة الرسم البياني.

انتبه

غير صحيح: كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. الدالة التربيعية على جميع الأعداد الحقيقية تكون متعددة الصورة (f(1)=f(−1) من أجل x²)، لذا يجب تقييم مجالها أولاً.

تطبيقه

تحقق من أن f(المعكوس(x))=x على مجال المعكوس.
استخدم رسمًا مبدئيًا لاختبار ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.
حدد المجال والمدى.
انتبه: التربيع قد يُدخل حلولاً زائدة.

P3 · الراديان والمتطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

أين يكمن الخطأ

يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
لا تعطي جميع الحلول.
القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.

انتبه

تطبيقه

اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P3 · الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

مثال

أين يكمن الخطأ

النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.

انتبه

تطبيقه

قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

P3 · الاشتقاق بالتسلسل وحاصل الضرب وقسمة الدوال والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

P3 · التكاملات والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
التكامل المحدد هو تراكم مُعلَم بإشارة.
قسّم عند تغير الإشارات عند حساب المساحة الكلية أو المسافة.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.
يمكن أن تكون المساحة المُمَلَّمة صفرًا حتى عندما تكون المساحة المحصورة الكلية موجبة.

انتبه

تطبيقه

حدد ما يعنيه التكامل وضمن الوحدات الصحيحة.
معدل مقاس بالثانية يُوَظَّف ليُنتج الكمية الأصلية، لا معدلًا آخر.
اشتق الدالة المضادة للتكامل للتحقق منها.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
انتبه إلى: تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.

P3 · تكرار النقطة الثابتة

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

أعد ترتيب المعادلة كـ x=g(x)، اختر قيمة ابتدائية وأعد التكرار.
يجب أن يحقق الحد L الشرط L=g(L).
بالقرب من نقطة ثابتة، فإن |g'(L)|<1 يوفر اختبار تقارب محلي؛ ويمكن لإشارة القوس التحقق من الجذر الدائري المبلغ عنه.

حالة محلولة

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$

مثال

بالنسبة لـ x²-x-2=0، اختر x_next=√(2+x)، بدءًا من x₀=1. بعد ذلك x₁=√3≈1.73205، وx₂≈1.93185 والنقطة الثابتة الموجبة هي 2. عند 2، g'=1/(2√4)=1/4، لذا تتقلص الأخطاء المحلية الصغيرة. تسعى إعادة الصياورة بالجذر التربيعي إلى الجذر الموجب؛ ولا تعطي الجذر السالب -1.

تكرار النقطة الثابتة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن أن تكون لإعادة الترتيبات المختلفة سلوكيات تقارب مختلفة.
تحقق من التكرارات، والمجال، والمعادلة الأصلية؛ لا يمكن لتحديث الجذر التربيعي الوصول إلى نقطة ثابتة سالبة.

انتبه

غير صحيح: كل إعادة ترتيب لمعادلة تتقارب إلى نفس الجذر من كل قيمة بداية. لا يُظهر تغيير الإشارة وجود جذر إلا إذا كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة: 1/x يتغير إشارته عبر x=0 ولكنه لا يحتوي على جذر.

تطبيقه

يستخدم P3 إعادة ترتيب المعادلة والتكرار العددي.
تستبعد هذه الدرس نيوتن والتكامل العددي، اللذين ينتميان لوحدات أخرى.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit P3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
أعد ترتيب المعادلة كـ x=g(x)، اختر قيمة ابتدائية وأعد التكرار.
انتبه إلى: يمكن أن يكون لإعادة الترتيبات المختلفة سلوكيات تقارب مختلفة.

P4 · الاستنتاج والتناقض والاستدلال بالترتيب التنازلي

متى يصبح النمط برهاناً؟

يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
المثال المضاد ينفي ادعاءً يشمل جميع القيم.
يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.

انتبه

تطبيقه

يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

P4 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

تكلف خطتا اتصال جوال 20+3x و44+x يوان لـ x جيجابايت. متى يتساوى تكليفهما؟
يدرس هذا الدرس الهوية: تساؤل ينطبق على كل قيمة مسموحة للمتغير.

الطريقة

المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
حافظ على المساواة بتطبيق نفس العملية على كلا الطرفين.
أشر إلى القيود قبل القسمة على متغير.

حالة محلولة

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$

مثال

20+3x=44+x يعطي 2x=24 و x=12. بالتالي يكلف كلا الخطتين 56. في A=πr²، قسّم على π وأخذ الجذر التربيعي الموجب للحصول على r=√(A/π)، لأن r طول.

المعادلات والهويات والترتيب — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

اختصار حد ليس كاختصار عامل.
في (x²+2x)/x، قم بتحليل البسط واحفظ شرط x≠0.
تحقق من إعادة الترتيب بالتعويض.

انتبه

غير صحيح: اختصار x من (x+3)/x يُنتج 3 لكل x غير صفري. الـ x هو حد في البسط وليس عاملاً، لذا لا يمكن اختصاره: عند x=1، تكون القيمة (1+3)/1=4، وليست 3.

تطبيقه

أعد المعادلة بناءً على الوحدات ومعنى المجهول.
قد يكون الحل السالب أو الكسري صحيحاً جبرياً لكنه مستحيل في سياق العد.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الهوية: مساواة تتحقق لكل قيمة مسموحة لمتغيرها.
المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
انتبه: اختصار حد ليس كاختصار عامل.

P4 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.

الطريقة

بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
عندما يكون n عدداً غير صحيح، قم بفك (1+x)^n على الصورة 1+nx+n(n-1)x²/2+... حيث |x|<1.
أخرج الثوابت كعامل مشترك قبل استخدام هذه الصيغة.

حالة محلولة

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$

مثال

أين يكمن الخطأ

في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.
مفكوكات الأسس الصحيحة الموجبة تكون محدودة ولا تخضع لهذا القيد الخاص بالتقارب.

انتبه

تطبيقه

حدد مجال الصلاحية بجانب أي تقريب.
احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وميز بين المعامل والحد الكامل الذي يحتوي على x.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل ثنائي: عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة ما.
بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
انتبه: في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.

P4 · المنحنيات المخروطية والمنحنيات البارامترية واستدلال المماس

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
تدرس هذه الدرس المعادلة البارامترية: وهي تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبرة باستخدام معامل مشترك.

الطريقة

بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
للمنحنيات البارامترية، dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)، حيث dx/dt≠0.
قد يشير المقام الصفر إلى مماس عمودي.

حالة محلولة

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

مثال

لـ x=3cos t,y=2sin t عند t=π/4، يكون الميل (2cos t)/(-3sin t)=-2/3. النقطة هي (3/√2,√2). المساحة داخل القطع الناقص هي πab=6π؛ نصف محوريه هما 3 و2.

القطع المخروطية والمنحنيات البارامترية والاستدلال بالمماس — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

إزالة المعامل قد تفقد قيد المجال أو اتجاه الحركة.
لا يمكن تعيين قيمة dy/dx محدودة للمماس العمودي.
افرق بين المحاور شبه الرئيسية والأطوال الكاملة.

انتبه

غير صحيح: إزالة معلمة تحافظ تلقائياً على كل القيود والاتجاهات. قد تفقد الإزالة القيود: x=t²، y=t تعطي x=y²، لكن x≥0 واتجاه الحركة يجب ذكرهما بشكل منفصل.

تطبيقه

للهندسة التحليلية المتقدمة، استخدم المعادلة التعريفية ومعلمة متسقة.
للتكامل المعلمي في IAL P4، استخدم المتطلبات المحددة في المنهج بدلاً من استيراد جميع المقاطع المخروطية للرياضيات البحتة الإضافية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المعادلة المعلمية: تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبّرة باستخدام معلمة مشتركة.
بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
انتبه إلى: إزالة معلمة قد تفقد قيداً لمجال التعريف أو اتجاه الحركة.

P4 · الاشتقاق بالتسلسل وحاصل الضرب وقسمة الدوال والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

P4 · التعويض والتكامل بالأجزاء والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.

انتبه

غير صحيح: تكامل الضرب يساوي ضرب التكاملات المنفصلة. يتطلب الضرب طريقة مثل التكامل بالتجزئة أو التعويض: ∫x·x dx=x³/3، وليس (x²/2)(x²/2).

تطبيقه

تحقق عن طريق الاشتقاق.
لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

P4 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكمل التكامل للطرفين وطبق الشرط الابتدائي.
شمل أي حل توازن تم استبعاده عند القسمة على y.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

بما أن dy/dx=0.5y و y(0)=2، فإن الفصل يعطي ln|y|=0.5x+C، ومنه y=Ae^(0.5x). القيمة الابتدائية تعطي A=2. اشتق النتيجة للتحقق من المعادلة، وعوّض x=0 للتحقق من الشرط الابتدائي.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

غير صحيح: الشرط الابتدائي لا يغير أبدًا الثابت في حل المعادلة التفاضلية. تعتمد طريقة إويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

يستخدم هذا الوحدة الفصل من الرتبة الأولى والشروط الابتدائية.
تم استبعاد التكامل العددي لإويلر والدوال المكملة من الرتبة الثانية من هذه الدرس.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكمل التكامل للطرفين وطبق الشرط الابتدائي.
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

P4 · المتجهات الفراغية والخطوط والزوايا

هل يمكن لمسارات غير متوازية أن تظل بعيدة عن بعضها؟

يمكن لمسارين في الفضاء أن يكونا neither parallel nor intersecting. قد يخفي الرسم ثنائي الأبعاد تباعدهما.
تدرس هذه الدرس متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه خط.

الطريقة

المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
لإيجاد نقطة التقاطع، ساوِ جميع المكونات وحل لكلا معلمتي المستقيم.
لحساب الزاوية استخدم a·b=|a||b|cosθ حيث الضرب القياسي موجود في المنهج المقرر.

حالة محلولة

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

مثال

لـ a=(1,2,3)، b=(2,-1,2)، يعطي λ=2 r=(5,0,7). مقدار b هو √(4+1+4)=3. مع c=(1,0,-1)، يكون b·c=2-2=0، لذا f و g متعامدان.

المصفوفات المكانية والخطوط والزوايا — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

إرضاء معادلتين مكونتين لا يضمن إرضاء الثالثة.
المستقيمان غير المتوازيين قد يكونان متخالفين.
متجه الاتجاه للخط ليس هو متجه موضعه، والمعامل القياسي لا يمتلك وحدات إحداثيات.

انتبه

غير صحيح: أي خطين غير متوازيين في الفضاء ثلاثي الأبعاد يجب أن يتقاطعا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن أن تكون الخطوط غير المتوازية مائلة: حيث لا تتقاطع.

تطبيقه

حدد ما إذا كان الزاوية المطلوبة حادة، أو موجهة، أو زاوية بين خطين.
استخدم طريقة المستوى أو المسافة المحددة للمنهج فقط عند الحاجة الفعلية لذلك الوحدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, وحدة P4.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه الخط.
المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
انتبه إلى: تحقق معادلتين مركبتين لا يضمن تحقق الثالثة.

FP1 · الحساب المركب وجذور المعادلات التربيعية

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
أضف المكونات، اضرب الأقواس واستخدم المرافق لجعل مقام القسمة حقيقياً.
الجذور غير الحقيقية لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية تظهر في أزواج مرافقة.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

حساب الأعداد المركبة وجذور المعادلات التربيعية — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

FP1 يستخدم الحساب المركب والقيمة المطلقة وتمثيل أرند ومعادلات الجذور التربيعية.
قوى دي مويفر وجذور الوحدة مخصصة لـ FP2 فقط.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

FP1 · القطوع المكافئ والقطع الزائد المستطيل

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
تدرس هذا الدرس القطع المكافئ: locus النقاط المتساوية البعد عن بؤرة ثابتة ومماس ثابت.

الطريقة

بالنسبة لـ y²=4ax، البؤرة هي (a,0)، المماس x=-a والرأس (0,0).
بالنسبة لـ xy=c²، محاور الإحداثيات هي خطوط تقارب.
اقرأ المعامل من المعاملات بدلاً من افتراض أنه يساوي 4a.

حالة محلولة

$$y^2=12x,\quad xy=9$$

مثال

بالنسبة لـ y²=12x، a=3: البؤرة هي (3,0) والمماس x=-3. عند x=3، y=±6؛ عند (3,6)، المسافة إلى البؤرة والمماس هي 6. بالنسبة لـ xy=9، النقطة (3,3) تقع على القطع الزائد و x=0،y=0 هي مقارباته.

قطع مكافئة وقطع زائد مستطيلة — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

معامل x هو 4a، وليس a.
شمل كلا الإشارتين عند حل y².
خط التقارب يُقارَب؛ إنه ليس نقطة تقاطع نهائية لـ xy=c².

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ y²=4ax، إحداثي x للبؤرة هو 4a. الاستبعاد قد يفقد القيود: x=t²، y=t تعطي x=y²، ولكن x≥0 ويجب تحديد اتجاه الحركة بشكل منفصل.

تطبيقه

دعم FP1 الهندسة التحليلية للقطع المكافئ والمتجهات المربعة.
مساحة القطع الناقص وتعييره المعاملي مستبعدان.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

القطع المكافئ: محلي النقاط المتساوية البعد عن بؤرة ثابتة ومماس ثابت.
بالنسبة لـ y²=4ax، البؤرة هي (a,0)، المماس x=-a والرأس (0,0).
انتبه: معامل x هو 4a، وليس a.

FP1 · عمليات المصفوفات والمقلوبات وتحويلات المستوي

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

الطريقة

مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
حوّل متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار.
المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.

حالة محلولة

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

مثال

لـ A=[[2,1],[0,3]]، det A=6. A(1,2)=(4,6). عكسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. تحقق بضرب A في عكسها للحصول على مصفوفة الوحدة.

عمليات المصفوفات والمقلوبات وتحويلات المستوى — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.
المحدد الصفري يعني أن التحويل يفقد بُعداً ولا يوجد له معكوس.
القيم الذاتية والتقطيع موضوعات متقدمة، وليست ضمن محتوى المتجهات GCSE العادي.

انتبه

غير صحيح: كل مصفوفة مربعة لها معكوس. المصفوفة المربعة ذات المحدد 0 مفقودة (singular) وليس لها معكوس.

تطبيقه

تستخدم FP1 عمليات مصفوفات أبعادها 2×2 والمعاكسات والتحويلات المستوية.
القيم الذاتية والتقطيع أبعادها 3×3 تنتمي إلى FP3، وليس لهذه الوحدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس، وفي بعدين يمثل عامل مساحتها الموجهة.
مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
انتبه: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.

FP1 · التقسيم المزدوج وإيجاد جذور نيوتن

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

للدالة المتصلة ذات التغير في الإشارة، نقسم مجال الجذر إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تكون فيه إشارات الأطراف معاكسة.
تُحدث نيوتن قيمة x بتحديثها إلى x - f(x)/f'(x)، شريطة أن لا يكون المشتق مساويًا للصفر.

حالة محلولة

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

مثال

لـ f(x)=x²-2، f(1)=-1 وf(2)=2. عند المنتصف 1.5، f=0.25، لذا المجال الجديد هو [1,1.5]. عند المنتصف 1.25، f=-0.4375، لذا المجال التالي هو [1.25,1.5]. نيوتن من 1.5 يعطي 1.4166667.

المنصف وإيجاد الجذور بطريقة نيوتن — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يجب أن يحدث تغير في الإشارة على فترة تكون فيها الدالة متصلة.
قد تفشل طريقة نيوتن إذا كان مشتقها يساوي الصفر، أو إذا خرجت تكراراتها عن النطاق المفيد.

انتبه

غير صحيح: كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك عبر الانقطاع. يتغير الإشارة للدالة 1/x عند x=0 لكنها ليس لها جذر؛ حيث يظهر الجذر فقط إذا كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة.

تطبيقه

طرق FP1 العددية تتعلق بالجذور: طريقة التنصيف والتكامل والنيوتن.
التكامل العددي غير مدرج في هذا الدرس.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
للدالة المتصلة ذات التغير في الإشارة، نقسم مجال الجذر إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تكون فيه إشارات الأطراف معاكسة.
انتبه: يجب أن يحدث تغير في الإشارة على فترة تكون فيها الدالة متصلة.

FP1 · المجاميع المحددة والاستقراء الرياضي

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
تدرس هذا الدرس رمز سيغما: notation يجمع الحدود المؤشرية عبر نطاق محدد محدود.

الطريقة

بالنسبة لـ k=1 إلى n، مجموع k=n(n+1)/2، ومجموع k²=n(n+1)(2n+1)/6 ومجموع k³=[n(n+1)/2]².
يمكن أن تتلاشى الفروقات بين الحدود المتتالية (التلوسكوب).
في الاستدلال بالتراجع، تحقق من الحالة الأساسية وأثبت أن الحالة التالية تستنتج من الحالة المفترضة.

حالة محلولة

$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

مثال

من أجل n=5، مجموع k=15، مجموع k²=1+4+9+16+25=55 ومجموع k³=1+8+27+64+125=225. في إثبات صيغة المجموع، إضافة الحد (n+1) إلى التعبير المفترض يجب أن ينتج الصيغة مع استبدال n بـ n+1.

المجموعات المحدودة والاستقراء — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

مجموع المربعات ليس مربع المجموع.
حدد نطاق المؤشر وتحقق من الحالة الأولى؛ خطوة الاستدلال وحدها ليست برهان استقرائيًا كاملاً.

انتبه

غير صحيح: مجموع حدود مربعاتها يساوي مربع مجموعها. كثير حد تايلور هو تقريب؛ وعادة ما يكون دقيقًا فقط بالقرب من مركزه.

تطبيقه

FP1 السلاسل المنتهية والاستدلال بالتراجع يدعمان فقط.
تقريبات ماكلورين وتايلر تنتمي لوحدات رياضيات بحتة متقدمة لاحقة وهي مستبعدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

رمز سيجما: الرمز المستخدم لجمع الحدود المؤشرة ضمن نطاق محدود مذكور.
بالنسبة لـ k=1 إلى n، مجموع k=n(n+1)/2، ومجموع k²=n(n+1)(2n+1)/6 ومجموع k³=[n(n+1)/2]².
انتبه: مجموع المربعات ليس مربع المجموع.

FP1 · الاستنتاج والتناقض والاستقراء الرياضي

متى يصبح النمط برهاناً؟

يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
المثال المضاد ينفي ادعاءً يشمل جميع القيم.
يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.

انتبه

تطبيقه

يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

FP2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

مثال

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

تطبيقه

استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

FP2 · المتسلسلات والفروق المحدودة وتمديدات تايلور

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
يدرس هذا الدرس كثير الحدود التايلور: وهو كثير حدود يتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.

الطريقة

حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
عند a=0 يكون توسع ماكلورين.
يمكن تبسيط المجاميع المنتهية أيضاً عن طريق الإلغاء أو صيغ المجاميع القياسية.

حالة محلولة

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

مثال

المصطلحات الثلاثة الأولى لـ e^x هي 1+x+x²/2. عند x=0.1 يعطي هذا 1.105، قريباً من e^0.1≈1.105170. بالنسبة لمجموع k² من k=1 إلى 5، فإن n(n+1)(2n+1)/6 يعطي 5×6×11/6=55.

السلاسل، الفروق المنتهية وتوسعات تايلور — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ينتمي المضروب إلى المقام في كل معامل تايلور.
مركز التوسع ليس دائماً صفراً.
التقريب القريب من مركزه قد يكون سيئاً بعيداً عنه.

انتبه

غير صحيح: كثيرة حدود تايلور دقيقة للدالة الأصلية عند كل مدخل. كثيرة حدود تايلور هي تقريب؛ وهي عادةً دقيقة فقط بالقرب من مركزها.

تطبيقه

للسلسلة التلسكوبية، اكتب عدة حدود وحدد كلا الطرفين الباقيين.
لتقريب تايلور، حدد رتبه وقارنه بقيمة معروفة أو تقدير للباقي حيثما لزم الأمر.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

كثيرة حدود تايلور: كثيرة حدود تتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.
حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
انتبه: المضروب ينتمي إلى المقام في كل معامل تايلور.

FP2 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
المرافق هو a-bi، وz ضرب مرافقه = a²+b².
المعيار هو √(a²+b²)؛ والذروة تتطلب الربع الصحيح.
الجذور المرافقة تظهر في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

الأعداد المركبة والجذور — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

ارسم المحور الحقيقي أفقيًا والمحور التخيلي عموديًا.
بالنسبة للضرب، تُضرب المعايير وتُجمع الذروات؛ وتمتد هذه النمط الهندسي للأسس عبر نظرية دموافر.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

FP2 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد A.
طريقة أويلر تأخذ y التالية = y+h f(x,y)، مع خطوة مختارة h.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

غير صحيح: كل حجم خطوة يعطي تقريبًا لأويلر مطابقًا تمامًا. تعتمد طريقة أويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، ادمج الدالة التكميلية مع تكامل خاص مناسب، ثم طبق الشروط الابتدائية المطلوبة.
هذا ضمن نطاق الرياضيات المتقدمة؛ تحقق من الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

FP2 · المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية

لماذا نحتاج إلى شرطين أوليين؟

نموذج الإزاحة يتضمن كلًا من السرعة والتسارع. لا يمكن حل معادلة معدل من الرتبة الأولى فقط أن يدمج الشرطين الأوليين.
تدرس هذه الدرس الدالة المكملة: الحل العام لمعادلة التفاضل الخطية المتجانسة المرتبطة.

الطريقة

بالنسبة لـ y''+ay'+by=f(x)، حل المعادلة التربيعية المساعدة للجزء المتجانس.
أضف تكاملًا خاصًا مناسبًا لحامل القوة.
الجذور المكررة والمركبة تتطلب أشكالها الصحيحة.

حالة محلولة

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f(x),\qquad m^2+am+b=0$$

مثال

من أجل y double prime-3y prime+2y=0، المعادلة المساعدة هي m²-3m+2=0 مع الجذور 1,2. ومن ثم y=Ae^x+Be^(2x). مع y(0)=1 و y prime(0)=0، A+B=1 و A+2B=0، لذا A=2،B=-1.

المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اثنتان من الثوابت التعسفية تحتاجان شرطين مستقلين.
إذا كان التكامل الخاص التجريبي يكرر حدًا من الدالة التكميلية، فاضرب التجربة بـ x كما هو مطلوب.
لا تتخلى عن حل تذبذبي صالح لمجرد أن الجذور المساعدة مركبة.

انتبه

غير صحيح: قيمة ابتدائية واحدة لا تكفي لتحديد الثابتين في الحل العام من الرتبة الثانية. يحتوي الحل من الرتبة الثانية على ثابتين، لذا يتطلب شرطين.

تطبيقه

اشتق التعبير النهائي وأدخله في معادلة التفاضل الأصلية.
تحقق من كلتا الشرطين الابتدائيين بشكل منفصل، وفسفم فترة الحل المسموحة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الدالة التكميلية: الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة مرتبطة.
بالنسبة لـ y''+ay'+by=f(x)، حل المعادلة التربيعية المساعدة للجزء المتجانس.
انتبه: اثنتان من الثوابت التعسفية تحتاجان إلى شرطين مستقلين.

FP2 · المنحنيات القطبية والمساحة

لماذا نصف المنحنى بالاتجاه؟

المنحنى على شكل بتال يكون أبسط عندما يعتمد نصف قطره على الاتجاه. الإحداثيات الديكارتية قد تخفي هذا البنية.
تدرس هذه الدرس الإحداثيات القطبية: موقع يُوصف بالمسافة r والزاوية θ من أصل مختار وشعاع مرجعي.

الطريقة

استخدم x=r cosθ و y=r sinθ.
المنطقة القطبية تساوي نصف تكامل r² بالنسبة لـ θ على فترة مختارة بشكل صحيح.
حدد التناظر والتكرار قبل تحديد الحدود.

حالة محلولة

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad A=\frac12\int r^2\,d\theta$$

مثال

من أجل r=2 وθ=π/3، فإن x=1 وy=√3. بالنسبة للدائرة r=2 خلال دورة كاملة، A=(1/2) integral_0^(2π) 4 dθ=4π. تعطي نصف الدورة 2π، وهو بالضبط نصف القرص.

أين يكمن الخطأ

القيم السالبة لـ r تضع النقطة في الاتجاه المعاكس؛ وليست مسافة سالبة عادية على نفس الشعاع.
قد تعيد البارامترات رسم المنطقة نفسها أكثر من مرة، لذا يمكن أن تؤدي الفترة الكاملة للبارامتر إلى عد زائد في المساحة.

انتبه

غير صحيح: استخدام أي فترة بارامتر كاملة يحسب كل منطقة قطبية مرة واحدة فقط. يجب أن تتطابق الفترة مع دور المنحنى؛ فالفترة الطويلة جداً تحسب المنطقة مرتين.

تطبيقه

ارسم نقاطاً كافية لتحديد الاتجاه والحدود.
بالنسبة للمنطقة المغلقة بين منحنيين، حدد نقاط التقاطع والمربع الشعاعي الذي يساهم في الحد الخارجي على كل فترة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الإحداثي القطبي: موقع يُوصف بالمسافة r والزاوية θ من نقطة أصل مختارة وشعاع مرجعي.
استخدم x=r cosθ و y=r sinθ.
انتبه: القيم السالبة لـ r تضع النقطة في الاتجاه المعاكس؛ وليست مسافة سالبة عادية على نفس الشعاع.

FP3 · الدوال الزائدية والعلاقات العكسية

كيف يمكن النمو والتناقص أن يُنشِئا منحنى متماثلًا؟

الكابل المعلق له ملف انحناء مرتبط بالدوال الأسية. الدوال الزائدية تجمع بين النمو والتناقص بشكل متماثل.
تدرس هذه الدرس جيب التمام الزائدي: الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2.

الطريقة

عرّف sinh x=(e^x-e^(-x))/2 و cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
متطابقتها هي cosh²x-sinh²x=1.
المشتقات هي sinh prime=cosh و cosh prime=sinh.

حالة محلولة

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad \cosh^2x-\sinh^2x=1$$

مثال

عند x=ln2، تكون e^x=2 و e^(-x)=1/2. وبالتالي cosh x=1.25 و sinh x=0.75. الفرق التربيعي بينهما هو 1.5625-0.5625=1. لعكس y=sinh x، حل معادلة تربيعية في e^x واختر الجذر الموجب.

الدوال الزائدية والعلاقات العكسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

المتطابقة الزائدية تحتوي على إشارة طرح. دالة cosh ليست واحدة لواحد على جميع المدخلات الحقيقية؛ معكوسها المعتاد يستخدم x≥0.
لا يمكن استبدال المتطابقات الدائرية المثلثية العادية كما هي.

انتبه

غير صحيح: المتطابقة للدوال الزائدية هي cosh²x+sinh²x=1. المتطابقة الزائدية هي cosh²x−sinh²x=1.

تطبيقه

استخدم التعريفات الأسية لإثبات المتطابقات وحل المعادلات.
حدد قيود المجال للدوال العكسية قبل اشتقاقها أو تكاملها.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

جيب التمام الزائدي: الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
عرّف sinh x=(e^x-e^(-x))/2 و cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
انتبه: المتطابقة الزائدية تحتوي على إشارة طرح. دالة cosh ليست واحدة لواحد على جميع المدخلات الحقيقية؛ معكوسها المعتاد يستخدم x≥0.

FP3 · المنحنيات المخروطية، والمنحنيات البارامترية، والاستدلال بالمماس

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
تدرس هذه الدرس المعادلة البارامترية: وهي تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبرة باستخدام معامل مشترك.

الطريقة

بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
للمنحنيات البارامترية، dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)، حيث dx/dt≠0.
قد يشير المقام الصفر إلى مماس عمودي.

حالة محلولة

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

مثال

أين يكمن الخطأ

إزالة المعامل قد تفقد قيد المجال أو اتجاه الحركة.
لا يمكن تعيين قيمة dy/dx محدودة للمماس العمودي.
افرق بين المحاور شبه الرئيسية والأطوال الكاملة.

انتبه

تطبيقه

للهندسة التحليلية المتقدمة، استخدم المعادلة التعريفية ومعلمة متسقة.
للتكامل المعلمي في IAL P4، استخدم المتطلبات المحددة في المنهج بدلاً من استيراد جميع المقاطع المخروطية للرياضيات البحتة الإضافية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المعادلة المعلمية: تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبّرة باستخدام معلمة مشتركة.
بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
انتبه إلى: إزالة معلمة قد تفقد قيداً لمجال التعريف أو اتجاه الحركة.

FP3 · اشتقاق السلسلة، والجداء، والمقام، والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

FP3 · التعويض، والتكامل بالأجزاء، والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

أين يكمن الخطأ

اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.

انتبه

تطبيقه

تحقق عن طريق الاشتقاق.
لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

FP3 · المتجهات المكانية، والخطوط والزوايا

هل يمكن لمسارات غير متوازية أن تظل بعيدة عن بعضها؟

يمكن لمسارين في الفضاء أن يكونا neither parallel nor intersecting. قد يخفي الرسم ثنائي الأبعاد تباعدهما.
تدرس هذه الدرس متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه خط.

الطريقة

المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
لإيجاد نقطة التقاطع، ساوِ جميع المكونات وحل لكلا معلمتي المستقيم.
لحساب الزاوية استخدم a·b=|a||b|cosθ حيث الضرب القياسي موجود في المنهج المقرر.

حالة محلولة

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

مثال

لـ a=(1,2,3)، b=(2,-1,2)، يعطي λ=2 r=(5,0,7). مقدار b هو √(4+1+4)=3. مع c=(1,0,-1)، يكون b·c=2-2=0، لذا f و g متعامدان.

أين يكمن الخطأ

إرضاء معادلتين مكونتين لا يضمن إرضاء الثالثة.
المستقيمان غير المتوازيين قد يكونان متخالفين.
متجه الاتجاه للخط ليس هو متجه موضعه، والمعامل القياسي لا يمتلك وحدات إحداثيات.

انتبه

تطبيقه

حدد ما إذا كان الزاوية المطلوبة حادة، أو موجهة، أو زاوية بين خطين.
استخدم طريقة المستوى أو المسافة المحددة للمنهج فقط عند الحاجة الفعلية لذلك الوحدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه الخط.
المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
انتبه إلى: تحقق معادلتين مركبتين لا يضمن تحقق الثالثة.

FP3 · تحويلات المصفوفات، والمقلوبات، والقيم الذاتية

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

الطريقة

مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
حوّل متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار.
المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.

حالة محلولة

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

مثال

بالنسبة للمصفوفة A=[[2,1],[0,3]]، محدد المصفوفة det A=6. A(1,2)=(4,6). معكوسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. المعادلة المميزة هي (2-λ)(3-λ)=0، لذا فإن القيم الذاتية هي 2 و3.

تحويلات المصفوفات والعكوس والقيم الذاتية — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.
المحدد الصفري يعني أن التحويل يفقد بُعداً ولا يوجد له معكوس.
القيم الذاتية والتقطيع موضوعات متقدمة، وليست ضمن محتوى المتجهات GCSE العادي.

انتبه

غير صحيح: كل مصفوفة مربعة لها معكوس. المصفوفة المربعة ذات المحدد 0 مفقودة (singular) وليس لها معكوس.

تطبيقه

أوجد متجه ذاتي بحل المعادلة (A-λI)v=0 مع v≠0.
اشرح المعنى الهندسي: هذا المتجه يحافظ على اتجاهه الخطي تحت التحويل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Pure Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس، وفي بعدين يمثل عامل مساحتها الموجهة.
مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
انتبه: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.

ملاحظات الدراسة

YPM01: ملاحظات تدريس المساق

P1 · الأسس والجذور والصيغة القياسية

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · المثلثات القائمة وغير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · الراديان والمطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P1 · التكامل والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P2 · الاستنتاج والتناقض والاستدلال الاستقرائي

متى يصبح النمط برهاناً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P2 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P2 · المتتاليات والمتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

P2 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة