IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP معاينة الورقة

← بيرون إيديكلر · International A-Level · Mathematics

ملاحظات الدراسة

PDF ↓

مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

YMA01: ملاحظات تدريس المسار

الإصدار: الإصدار 3، أبريل 2019؛ أول تدريس 2018؛ تقييم الوحدة بدءًا من 2019

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

P1 · الأسس والجذور والصيغة القياسية

كم يبلغ طول مجهر صغير؟

  • يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
  • تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

  • لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
  • الأس السالب يعني المقلوب؛ والأس الكسري يمثل الجذر.
  • الصيغة القياسية لها 1≤a<10.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
مثال

0.000072=7.2×10^(-5). أيضًا 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم أزل الجذر من المقام 1/√2=√2/2.

المؤشرات والجذور الصارمة والصيغة القياسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
  • لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.
انتبه

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقه

  • تحقق من أسس العشرات مقابل الكمية الأصلية.
  • استخدم الجذور المربعة للحسابات الهندسية الدقيقة، وقم بالتقريب فقط للطول النهائي عندما تطلب السؤال قيمة عشرية.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
  • لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
  • انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

P1 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

  • حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
  • تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

  • قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
  • المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
  • المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$
مثال

الشرط هو x(10-x)≥21، لذا x²-10x+21≤0. حلّل (x-3)(x-7)≤0. القطع المكافئ المفتوح للأعلى يكون غير موجب بين جذريه، مما يعطي 3≤x≤7. المساحة القصوى هي 25 عند x=5.

المعادلات التربيعية والمتباينات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
  • يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
  • قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.
انتبه

غير صحيح: المميز الموجب يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. المميز الموجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين؛ والمميز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية.

تطبيقه

  • استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
  • تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
  • قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
  • انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

P1 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

  • يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
  • تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

  • المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
  • المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
  • حاصل ضرب ميلين متعامدين محدودين يساوي −1.
  • معادلة الدائرة هي (x-a)²+(y-b)²=r².

حالة محلولة

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
مثال

Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.

هندسة إحداثيات والخطوط المماسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
  • اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
  • نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.
انتبه

غير صحيح: المستقيمات المتعامدة غير العمودية لها نفس الميل. حاصل ضرب ميلين متعامدين يساوي −1: الميل 2 يتطلب −1/2. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.

تطبيقه

  • قبل حل تقاطع مستقيم ودائرة، تنبأ بما إذا كان هناك صفر أو واحد أو نقطتا تقاطع.
  • التعويض ينتج معادلة تربيعية يحدد المميز فيها صحة التنبؤ.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
  • المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
  • انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

P1 · المثلثات القائمة وغير القائمة

أي جانب يحتاجه السلم؟

  • يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
  • تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

الطريقة

  • في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
  • للمثلثات الأخرى، استخدم قانون الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.

حالة محلولة

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
مثال

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

مثلثات قائمة ومثلثات غير قائمة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • عيّن الأضلاع بالنسبة للزاوية المختارة.
  • يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة.
  • قد يؤدي خطأ وضع الزاوية في الآلة الحاسبة إلى إنتاج نتيجة معقولة لكنها خاطئة.
  • احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.
انتبه

غير صحيح: ينطبق فيثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات بدون زاوية قائمة. يحتاج فيثاغورس إلى زاوية قائمة؛ للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.

تطبيقه

  • استخدم مخططاً أو منظراً عمودياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث.
  • اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.
  • في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر و tanθ=المقابل/المجاور.
  • انتبه: عرّف أضلاع الزاوية المختارة بالنسبة للزاوية.

P1 · الراديان والمطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

  • تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
  • تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
  • اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

الزاوية بالراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

  • يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
  • لا تعطي جميع الحلول.
  • القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.
انتبه

غير صحيح: القيمة العكسية الرئيسية للجيب هي الحل الوحيد في دورة كاملة. يأخذ الجيب معظم القيم مرتين في دورة كاملة: sin x=0.5 يعطي 30° و150°.

تطبيقه

  • اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
  • احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P1 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

  • الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
  • تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

  • بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
  • النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
  • تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\quad m=f^{\prime}(x_0)$$
مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، فإن dy/dx=3x²-3. عند x=2، يكون الميل 9 و y=2. معادلة المماس هي y-2=9(x-2). وميل الناظم هو -1/9.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • المشتقة تعطي الميل، لا الترتيب.
  • قوّم y وdy/dx بشكل منفصل عند الإحداثي x المعطى؛ يكون ميل العمود هو المقلوب السالب لميل المماس غير الصفري.
انتبه

غير صحيح: المماس والعمود عند نفس النقطة لهما نفس الميل. يمكن أن تكون المشتقة الصفرية أيضاً نقطة انعطاف: y=x³ عند x=0 ليست neither حد أقصى ولا حد أدنى.

تطبيقه

  • P1 يغطي مشتقات كثيرات الحدود والميلات والمماسات والأعمدة.
  • التحسين وتصنيف النقاط الساكنة يُدرَّس في P2؛ لم يتم تقديمها هنا.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
  • بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
  • انتبه: المشتقة تعطي الميل، لا الترتيب.

P1 · التكامل والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

  • يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
  • تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

  • قم بتكامل قوى كثيرات الحدود بزيادة الأس بمقدار واحد وقسم على الأس الجديد.
  • أضف ثابتاً عشوائياً واستخدم نقطة معطاة لتحديده.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
مثال

الدالة الأصلية لـ 3x² هي x³+C لأن اشتقاق x³ يعطي 3x². إذا كانت F(1)=5، فإن 1+C=5، وبالتالي C=4 وF(x)=x³+4.

التكاملات، المساحة والتراكم — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • التكامل غير المحدد يتطلب ثابتاً.
  • تكامل كل حد يغير أسه؛ ونسخ قاعدة الاشتقاق يعطي نتيجة خاطئة.
انتبه

غير صحيح: كل تكامل غير محدود له مشتقة عكسية واحدة فقط محتملة. المساحة تحت المحور تُحسب سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أقل من المساحة الكلية، أو حتى يساوي صفراً.

تطبيقه

  • P1 يستخدم التكامل غير المحدد لكثيرات الحدود ونقطة لتحديد الثابت.
  • التكاملات المحددة، والمساحات وقاعدة شبه المنحرف هي محتوى P2.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
  • قم بتكامل قوى كثيرات الحدود بزيادة الأس بمقدار واحد وقسم على الأس الجديد.
  • انتبه: التكامل غير المحدد يتطلب ثابتاً.

P2 · الاستنتاج والتناقض والاستدلال الاستقرائي

متى يصبح النمط برهاناً؟

  • يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
  • تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

  • يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
  • A counterexample refutes an all-values claim.
  • يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$
مثال

بالنسبة للأعداد الفردية 2a+1 و2b+1، فإن مجموعهما هو 2(a+b+1)، وبالتالي فهو زوجي. يفشل الادعاء بأن n²+n+41 أولي دائماً عند n=41: القيمة هي 41×43=1763. بالنسبة لـ1+...+n=n(n+1)/2، خطوة الاستقراء تضيف k+1 إلى المجموع المفترض.

الاستنتاج، التناقض والترجع — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
  • في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
  • الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.
انتبه

غير صحيح: التحقق من العشر أرقام الأولى لا يثبت ادعاءً لكل عدد صحيح موجب. قد ينطبق نمط على الحالات العشر الأولى ثم يفشل لاحقاً؛ ويجب أن يغطي الإثبات كل حالة على حدة.

تطبيقه

  • يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
  • يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
  • حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
  • يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
  • انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

P2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

  • حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
  • تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

  • قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
  • المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
  • المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$
مثال

الشرط هو x(10-x)≥21، لذا x²-10x+21≤0. حلّل (x-3)(x-7)≤0. القطع المكافئ المفتوح للأعلى يكون غير موجب بين جذريه، مما يعطي 3≤x≤7. المساحة القصوى هي 25 عند x=5.

المعادلات التربيعية والمتباينات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
  • يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
  • قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.
انتبه

غير صحيح: المميز الموجب يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. المميز الموجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين؛ والمميز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية.

تطبيقه

  • استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
  • تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
  • قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
  • انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

P2 · الهندسة التحليلية والمماسات

كيف يتحول ميل المسار إلى معادلة؟

  • يرتفع مسار 6 مترًا على مسافة أفقية قدرها 3 متر. يربط ميله بين الرسم البياني والمعادلة.
  • تدرس هذه الدرس الميل: التغير في y مقسومًا على التغير المقابل في x.

الطريقة

  • المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
  • المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
  • حاصل ضرب ميلين متعامدين محدودين يساوي −1.
  • معادلة الدائرة هي (x-a)²+(y-b)²=r².

حالة محلولة

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
مثال

Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.

هندسة إحداثيات والخطوط المماسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.
  • اقرأ إشارات مركز الدائرة بعناية.
  • نصف القطر المماس للمماس يكون عمودياً عليه.
انتبه

غير صحيح: المستقيمات المتعامدة غير العمودية لها نفس الميل. حاصل ضرب ميلين متعامدين يساوي −1: الميل 2 يتطلب −1/2. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.

تطبيقه

  • قبل حل تقاطع مستقيم ودائرة، تنبأ بما إذا كان هناك صفر أو واحد أو نقطتا تقاطع.
  • التعويض ينتج معادلة تربيعية يحدد المميز فيها صحة التنبؤ.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الميل: التغير في y مقسوماً على التغير المقابل في x.
  • المستقيم المار بالنقطة (x₁,y₁) ذو الميل m معادلته y-y₁=m(x-x₁).
  • انتبه إلى: المستقيم العمودي ليس له ميل محدود؛ لا تجبره على الصيغة y=mx+c.

P2 · المتتاليات والمتسلسلات والتكرار

هل التغير يجمع أم يضرب؟

  • خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
  • تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

  • للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
  • للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
  • مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
مثال

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

متتاليات ومتسلسلات وتكرار — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
  • المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
  • يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.
انتبه

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقه

  • اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
  • في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
  • للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
  • انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

P2 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

  • تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
  • تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.

الطريقة

  • بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
  • عندما يكون n عدداً غير صحيح، قم بفك (1+x)^n على الصورة 1+nx+n(n-1)x²/2+... حيث |x|<1.
  • أخرج الثوابت كعامل مشترك قبل استخدام هذه الصيغة.

حالة محلولة

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
مثال

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.

التوسع ذات الحدين والتقديرات الصالحة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.
  • مفكوكات الأسس الصحيحة الموجبة تكون محدودة ولا تخضع لهذا القيد الخاص بالتقارب.
انتبه

غير صحيح: ليس كل مفكوك ثنائي هو كثير حدود محدود؛ فبعض الأسس ليست أعداداً صحيحة موجبة. وفي حالة الأس السالب أو الكسري، يكون المفكوك سلسلة لانهائية صالحة فقط عندما يكون |x|<1.

تطبيقه

  • حدد مجال الصلاحية بجانب أي تقريب.
  • احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وميز بين المعامل والحد الكامل الذي يحتوي على x.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • معامل ثنائي: عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة ما.
  • بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
  • انتبه: في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.

P2 · الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

  • تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
  • تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

  • بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
  • بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
  • تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
مثال

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

  • النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
  • حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
  • قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.
انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ x و y الموجبين، فإن ln(x+y) لا يساوي ln x+ln y. لا توجد قاعدة بسيطة لوغاريتم المجموع، بينما قاعدة الضرب تنص على أن ln(xy)=ln x+ln y.

تطبيقه

  • قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
  • الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
  • في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
  • بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
  • انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

P2 · الراديان والمتطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

  • تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
  • تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
  • اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

الزاوية بالراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

  • يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
  • لا تعطي جميع الحلول.
  • القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.
انتبه

غير صحيح: القيمة العكسية الرئيسية للجيب هي الحل الوحيد في دورة كاملة. يأخذ الجيب معظم القيم مرتين في دورة كاملة: sin x=0.5 يعطي 30° و150°.

تطبيقه

  • اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
  • احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P2 · المشتقات والنقاط الثابتة

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

  • الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
  • تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

الطريقة

  • بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
  • النقطة الساكنة تحقق dy/dx=0.
  • تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
مثال

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

المشتقات والنقاط الثابتة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • لا تعني المشتقة الصفرية دائماً وجود قيمة عظمى أو صغرى: الدالة y=x³ ساكنة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة.
  • يمكن للنقطة الطرفية أيضاً أن تنتج قيمة قصوى أو دنيا على مجال محدود.
انتبه

غير صحيح: كل نقطة ذات مشتقة صفرية هي قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. يمكن للمشتقة الصفرية أن تكون أيضاً نقطة انعطال: الدالة y=x³ عند x=0 ليست neither عظمى nor صغرى.

تطبيقه

  • في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة أو الضرب أو القسمة هناك.
  • في المستوى المتقدم، اربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضًا ميل المماس.
  • بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1).
  • انتبه: المشتقة الصفرية لا تعني دائمًا وجود قيمة عظمى أو صغرى؛ فالمنحنى y=x³ يكون ثابتًا عند 0 ولكنه يستمر في الارتفاع.

P2 · التكاملات والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

  • يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
  • تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

  • بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
  • التكامل المحدد هو تراكم مُعلَم بإشارة.
  • قسّم عند تغير الإشارات عند حساب المساحة الكلية أو المسافة.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
مثال

لـ v(t)=3t²-3 خلال 0≤t≤2، الإزاحة=[t³-3t]_0^2=2. بما أن v يغير إشارته عند t=1، المسافة=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. تلغي الثوابت فقط في حالة التكامل المحدد.

التكاملات، المساحة والتراكم — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.
  • يمكن أن تكون المساحة المُمَلَّمة صفرًا حتى عندما تكون المساحة المحصورة الكلية موجبة.
انتبه

غير صحيح: التكامل المحدد يساوي إجمالي المساحة الموجبة، حتى عندما يتقاطع المنحنى مع المحور. تُحسب المساحة تحت المحور كقيمة سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أصغر من المساحة الكلية، أو حتى صفرًا.

تطبيقه

  • حدد ما يعنيه التكامل وضمن الوحدات الصحيحة.
  • معدل مقاس بالثانية يُوَظَّف ليُنتج الكمية الأصلية، لا معدلًا آخر.
  • اشتق الدالة المضادة للتكامل للتحقق منها.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
  • بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
  • انتبه إلى: تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.

P2 · إيجاد الجذور والتكامل العددي

ما مدى موثوقية التقريب؟

  • المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
  • تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

  • بالنسبة لعرض شريط متساوي h، التقدير بشبه المنحرف هو h/2 مضروبًا في مجموع ارتفاعي endpointين زائد ضعف الارتفاعات الداخلية.

حالة محلولة

$$A\approx\frac h2(y_0+2y_1+\cdots+2y_{n-1}+y_n)$$
مثال

بالنسبة لـ y=x² على [0,2] مع شريطين متساويين، h=1 والارتفاعات هي 0,1,4. التقدير هو (1/2)(0+2×1+4)=3. المساحة الدقيقة هي 8/3، لذا فإن هذا المنحنى المحدب يعطي تقديرًا زائدًا.

إيجاد الجذور والتكامل العددي — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • استخدم عرض شرائح متساوٍ وشمّل الارتفاعات الداخلية مرتين.
  • الانحناء يحدد ما إذا كانت التقديرية أعلى أو أقل من المساحة الدقيقة؛ الزيادة وحدها لا تفعل ذلك.
انتبه

غير صحيح: الدالة المتزايدة تعطي تقديرًا عاليًا على شكل شبه منحرف. تغيير الإشارة يُظهر جذرًا فقط إذا كانت الدالة متصلة هناك: 1/x يتغير إشارتها عبر x=0 لكن ليس لها جذر.

تطبيقه

  • P2 تقدم قاعدة شبه المنحرف.
  • نيوتن-رافسون وطرق إيجاد الجذور الأخرى تنتمي لوحدات أخرى؛ فهي ليست جزءًا من درس P2 هذا.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
  • بالنسبة لعرض شريط متساوي h، التقدير بشبه المنحرف هو h/2 مضروبًا في مجموع ارتفاعي endpointين زائد ضعف الارتفاعات الداخلية.
  • انتبه إلى: استخدام أشرطة عرض متساوية وتضمين الارتفاعات الداخلية مرتين.

P3 · المجالات والدوال العكسية والتركيب

ما المدخلات المسموحة؟

  • نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
  • تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

الطريقة

  • حدد المجال والمدى.
  • بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية على مجالها.
  • تركيب fg يعني تطبيق g أولاً، ثم f؛ يجب أن يكون الناتج الوسيط مدخلًا مسموحًا به لـ f.

حالة محلولة

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
مثال

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

المجال والدوال العكسية والتركيب — الرسم التوضيحي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور حلول زائدة.
  • تقييد مجال القطع المكافئ ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية.
  • الإزاحة الأفقية داخل f تحمل إشارة معاكسة لحركة الرسم البياني.
انتبه

غير صحيح: كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. الدالة التربيعية على جميع الأعداد الحقيقية تكون متعددة الصورة (f(1)=f(−1) من أجل x²)، لذا يجب تقييم مجالها أولاً.

تطبيقه

  • تحقق من أن f(المعكوس(x))=x على مجال المعكوس.
  • استخدم رسمًا مبدئيًا لاختبار ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.
  • حدد المجال والمدى.
  • انتبه: التربيع قد يُدخل حلولاً زائدة.

P3 · الراديان والمتطابقات والمعادلات المثلثية

كم تبعد الحافة؟

  • تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
  • تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

الطريقة

  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • استخدم متطابقة sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل.
  • اذكر جميع الحلول في الفترة المحددة.

حالة محلولة

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
مثال

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

الزاوية بالراديان، المتطابقات والمعادلات المثلثية — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

  • يعطي الآلة الحاسبة قيمة الجيب العكسية الرئيسية واحدة فقط.
  • لا تعطي جميع الحلول.
  • القسمة على sin x قد تفقد حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.
انتبه

غير صحيح: القيمة العكسية الرئيسية للجيب هي الحل الوحيد في دورة كاملة. يأخذ الجيب معظم القيم مرتين في دورة كاملة: sin x=0.5 يعطي 30° و150°.

تطبيقه

  • اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة.
  • احتفظ بالزوايا المألوفة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الراديان: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
  • عندما تكون θ بالراديان، فإن طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2.
  • انتبه: الآلة الحاسبة تعطي قيمة جيب عكسية رئيسية واحدة فقط.

P3 · الدوال الأسية واللوغاريتمات والنمذجة

لماذا يظل نموذج التناقص موجباً؟

  • تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
  • تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

الطريقة

  • بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
  • بأخذ اللوغاريتم الطبيعي نحصل على ln y=ln A+kt.
  • تتطلب اللوغاريتمات مدخلات موجبة، ولوغاريتم المجموع (log(x+y)) لا يساوي مجموع اللوغاريتمات (log x+log y).

حالة محلولة

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
مثال

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

الدوال الأسية، اللوغاريتمات والنمذجة — الرسم التوضيحي الأصلي للمعلم

أين يكمن الخطأ

  • النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.
  • حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام.
  • قيمة k السالبة تصف التناقص؛ أما مقدار البداية السالب فتعارض السياق عادةً.
انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ x و y الموجبين، فإن ln(x+y) لا يساوي ln x+ln y. لا توجد قاعدة بسيطة لوغاريتم المجموع، بينما قاعدة الضرب تنص على أن ln(xy)=ln x+ln y.

تطبيقه

  • قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج الرياضي.
  • الانحرافات المنتظمة قد تدل على تغير الظروف.
  • في التقرير، اشرح دلالة المعدل والقيمة الابتدائية بدلاً من تقديم المعادلة المجردة فقط.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • النصف عمر: الوقت اللازم ليقل الكمية المتناقص إلى نصف قيمتها الأولية.
  • بالنسبة للدالة y=Ae^(kt)، يمثل k معدل التناسب.
  • انتبه: النموذج الأسّي المُصمم هو تقريب وليس ضماناً.

P3 · الاشتقاق بالتسلسل وحاصل الضرب وقسمة الدوال والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

  • منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
  • تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

  • بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
  • بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
  • في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
  • مقام الكسر يُربَّع.
انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

  • اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
  • بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
  • بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

P3 · التكاملات والمساحة والتراكم

كم مقدار التغير المتراكم؟

  • يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
  • تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

الطريقة

  • بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
  • التكامل المحدد هو تراكم مُعلَم بإشارة.
  • قسّم عند تغير الإشارات عند حساب المساحة الكلية أو المسافة.

حالة محلولة

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
مثال

لـ v(t)=3t²-3 خلال 0≤t≤2، الإزاحة=[t³-3t]_0^2=2. بما أن v يغير إشارته عند t=1، المسافة=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. تلغي الثوابت فقط في حالة التكامل المحدد.

التكاملات، المساحة والتراكم — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.
  • يمكن أن تكون المساحة المُمَلَّمة صفرًا حتى عندما تكون المساحة المحصورة الكلية موجبة.
انتبه

غير صحيح: التكامل المحدد يساوي إجمالي المساحة الموجبة، حتى عندما يتقاطع المنحنى مع المحور. تُحسب المساحة تحت المحور كقيمة سالبة، لذا قد يكون التكامل المحدد أصغر من المساحة الكلية، أو حتى صفرًا.

تطبيقه

  • حدد ما يعنيه التكامل وضمن الوحدات الصحيحة.
  • معدل مقاس بالثانية يُوَظَّف ليُنتج الكمية الأصلية، لا معدلًا آخر.
  • اشتق الدالة المضادة للتكامل للتحقق منها.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الدالة الأصلية: دالة مشتقتها تساوي التكامل المعطى.
  • بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C.
  • انتبه إلى: تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة بـ n=-1.

P3 · تكرار النقطة الثابتة

ما مدى موثوقية التقريب؟

  • المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
  • تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

  • أعد ترتيب المعادلة كـ x=g(x)، اختر قيمة ابتدائية وأعد التكرار.
  • يجب أن يحقق الحد L الشرط L=g(L).
  • بالقرب من نقطة ثابتة، فإن |g'(L)|<1 يوفر اختبار تقارب محلي؛ ويمكن لإشارة القوس التحقق من الجذر الدائري المبلغ عنه.

حالة محلولة

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$
مثال

بالنسبة لـ x²-x-2=0، اختر x_next=√(2+x)، بدءًا من x₀=1. بعد ذلك x₁=√3≈1.73205، وx₂≈1.93185 والنقطة الثابتة الموجبة هي 2. عند 2، g'=1/(2√4)=1/4، لذا تتقلص الأخطاء المحلية الصغيرة. تسعى إعادة الصياورة بالجذر التربيعي إلى الجذر الموجب؛ ولا تعطي الجذر السالب -1.

تكرار النقطة الثابتة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • يمكن أن تكون لإعادة الترتيبات المختلفة سلوكيات تقارب مختلفة.
  • تحقق من التكرارات، والمجال، والمعادلة الأصلية؛ لا يمكن لتحديث الجذر التربيعي الوصول إلى نقطة ثابتة سالبة.
انتبه

غير صحيح: كل إعادة ترتيب لمعادلة تتقارب إلى نفس الجذر من كل قيمة بداية. لا يُظهر تغيير الإشارة وجود جذر إلا إذا كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة: 1/x يتغير إشارته عبر x=0 ولكنه لا يحتوي على جذر.

تطبيقه

  • يستخدم P3 إعادة ترتيب المعادلة والتكرار العددي.
  • تستبعد هذه الدرس نيوتن والتكامل العددي، اللذين ينتميان لوحدات أخرى.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit P3.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
  • أعد ترتيب المعادلة كـ x=g(x)، اختر قيمة ابتدائية وأعد التكرار.
  • انتبه إلى: يمكن أن يكون لإعادة الترتيبات المختلفة سلوكيات تقارب مختلفة.

P4 · الاستنتاج والتناقض والاستدلال بالترتيب التنازلي

متى يصبح النمط برهاناً؟

  • يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
  • تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

  • يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
  • A counterexample refutes an all-values claim.
  • يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$
مثال

بالنسبة للأعداد الفردية 2a+1 و2b+1، فإن مجموعهما هو 2(a+b+1)، وبالتالي فهو زوجي. يفشل الادعاء بأن n²+n+41 أولي دائماً عند n=41: القيمة هي 41×43=1763. بالنسبة لـ1+...+n=n(n+1)/2، خطوة الاستقراء تضيف k+1 إلى المجموع المفترض.

الاستنتاج، التناقض والترجع — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
  • في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
  • الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.
انتبه

غير صحيح: التحقق من العشر أرقام الأولى لا يثبت ادعاءً لكل عدد صحيح موجب. قد ينطبق نمط على الحالات العشر الأولى ثم يفشل لاحقاً؛ ويجب أن يغطي الإثبات كل حالة على حدة.

تطبيقه

  • يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
  • يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
  • حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
  • يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
  • انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

P4 · المعادلات والمتطابقات وإعادة الترتيب

متى يتساوى تكليف خطتي خدمات؟

  • تكلف خطتا اتصال جوال 20+3x و44+x يوان لـ x جيجابايت. متى يتساوى تكليفهما؟
  • يدرس هذا الدرس الهوية: تساؤل ينطبق على كل قيمة مسموحة للمتغير.

الطريقة

  • المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
  • حافظ على المساواة بتطبيق نفس العملية على كلا الطرفين.
  • أشر إلى القيود قبل القسمة على متغير.

حالة محلولة

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$
مثال

20+3x=44+x يعطي 2x=24 و x=12. بالتالي يكلف كلا الخطتين 56. في A=πr²، قسّم على π وأخذ الجذر التربيعي الموجب للحصول على r=√(A/π)، لأن r طول.

المعادلات والهويات والترتيب — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

  • اختصار حد ليس كاختصار عامل.
  • في (x²+2x)/x، قم بتحليل البسط واحفظ شرط x≠0.
  • تحقق من إعادة الترتيب بالتعويض.
انتبه

غير صحيح: اختصار x من (x+3)/x يُنتج 3 لكل x غير صفري. الـ x هو حد في البسط وليس عاملاً، لذا لا يمكن اختصاره: عند x=1، تكون القيمة (1+3)/1=4، وليست 3.

تطبيقه

  • أعد المعادلة بناءً على الوحدات ومعنى المجهول.
  • قد يكون الحل السالب أو الكسري صحيحاً جبرياً لكنه مستحيل في سياق العد.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الهوية: مساواة تتحقق لكل قيمة مسموحة لمتغيرها.
  • المعادلة تطلب تحديد المدخلات التي تحقق المساواة؛ والهوية صحيحة لجميع المدخلات المسموحة.
  • انتبه: اختصار حد ليس كاختصار عامل.

P4 · مفكوك ذات الحدين والتقديرات الصالحة

كيف يؤثر التغيير الصغير على قوة؟

  • تغيير القياس الصغير يؤثر على قوة الكمية. يمكن أن تُظهر التوسيع حجم التأثيرات الأولى والثانية.
  • تدرس هذه الدرس معامل ذات الحدين: عدد الطرق لاختيار عدد محدد من الأشياء من مجموعة.

الطريقة

  • بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
  • عندما يكون n عدداً غير صحيح، قم بفك (1+x)^n على الصورة 1+nx+n(n-1)x²/2+... حيث |x|<1.
  • أخرج الثوابت كعامل مشترك قبل استخدام هذه الصيغة.

حالة محلولة

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
مثال

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. بالنسبة لـ (1+x)^(-1)، الحدوث الثلاثة الأولى هي 1-x+x²؛ عند x=0.1 يعطي هذا 0.91 مقابل القيمة الدقيقة 1/1.1≈0.909091.

التوسع ذات الحدين والتقديرات الصالحة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.
  • مفكوكات الأسس الصحيحة الموجبة تكون محدودة ولا تخضع لهذا القيد الخاص بالتقارب.
انتبه

غير صحيح: ليس كل مفكوك ثنائي هو كثير حدود محدود؛ فبعض الأسس ليست أعداداً صحيحة موجبة. وفي حالة الأس السالب أو الكسري، يكون المفكوك سلسلة لانهائية صالحة فقط عندما يكون |x|<1.

تطبيقه

  • حدد مجال الصلاحية بجانب أي تقريب.
  • احتفظ بعدد كافٍ من الحدود لدعم الدقة المطلوبة، وميز بين المعامل والحد الكامل الذي يحتوي على x.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • معامل ثنائي: عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد محدد من العناصر من مجموعة ما.
  • بالنسبة لعدد صحيح موجب n، يكون (a+b)^n مفكوكاً ثنائياً محدوداً.
  • انتبه: في حالة المفكوك بدلالة 2x، يجب أن يتحقق شرط |2x|<1 للسلسلة اللانهائية، وليس مجرد |x|<1.

P4 · المنحنيات المخروطية والمنحنيات البارامترية واستدلال المماس

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

  • يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
  • تدرس هذه الدرس المعادلة البارامترية: وهي تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبرة باستخدام معامل مشترك.

الطريقة

  • بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
  • للمنحنيات البارامترية، dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)، حيث dx/dt≠0.
  • قد يشير المقام الصفر إلى مماس عمودي.

حالة محلولة

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
مثال

لـ x=3cos t,y=2sin t عند t=π/4، يكون الميل (2cos t)/(-3sin t)=-2/3. النقطة هي (3/√2,√2). المساحة داخل القطع الناقص هي πab=6π؛ نصف محوريه هما 3 و2.

القطع المخروطية والمنحنيات البارامترية والاستدلال بالمماس — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

  • إزالة المعامل قد تفقد قيد المجال أو اتجاه الحركة.
  • لا يمكن تعيين قيمة dy/dx محدودة للمماس العمودي.
  • افرق بين المحاور شبه الرئيسية والأطوال الكاملة.
انتبه

غير صحيح: إزالة معلمة تحافظ تلقائياً على كل القيود والاتجاهات. قد تفقد الإزالة القيود: x=t²، y=t تعطي x=y²، لكن x≥0 واتجاه الحركة يجب ذكرهما بشكل منفصل.

تطبيقه

  • للهندسة التحليلية المتقدمة، استخدم المعادلة التعريفية ومعلمة متسقة.
  • للتكامل المعلمي في IAL P4، استخدم المتطلبات المحددة في المنهج بدلاً من استيراد جميع المقاطع المخروطية للرياضيات البحتة الإضافية.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المعادلة المعلمية: تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبّرة باستخدام معلمة مشتركة.
  • بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
  • انتبه إلى: إزالة معلمة قد تفقد قيداً لمجال التعريف أو اتجاه الحركة.

P4 · الاشتقاق بالتسلسل وحاصل الضرب وقسمة الدوال والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

  • منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
  • تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

  • بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
  • بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
  • في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
  • مقام الكسر يُربَّع.
انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

  • اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
  • بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
  • بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

P4 · التعويض والتكامل بالأجزاء والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

  • حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
  • تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

  • استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
  • بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
  • للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
  • في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.
انتبه

غير صحيح: تكامل الضرب يساوي ضرب التكاملات المنفصلة. يتطلب الضرب طريقة مثل التكامل بالتجزئة أو التعويض: ∫x·x dx=x³/3، وليس (x²/2)(x²/2).

تطبيقه

  • تحقق عن طريق الاشتقاق.
  • لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
  • استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
  • انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

P4 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

  • معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
  • تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

  • افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكمل التكامل للطرفين وطبق الشرط الابتدائي.
  • شمل أي حل توازن تم استبعاده عند القسمة على y.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
مثال

بما أن dy/dx=0.5y و y(0)=2، فإن الفصل يعطي ln|y|=0.5x+C، ومنه y=Ae^(0.5x). القيمة الابتدائية تعطي A=2. اشتق النتيجة للتحقق من المعادلة، وعوّض x=0 للتحقق من الشرط الابتدائي.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
  • القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
  • دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.
انتبه

غير صحيح: الشرط الابتدائي لا يغير أبدًا الثابت في حل المعادلة التفاضلية. تعتمد طريقة إويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

  • يستخدم هذا الوحدة الفصل من الرتبة الأولى والشروط الابتدائية.
  • تم استبعاد التكامل العددي لإويلر والدوال المكملة من الرتبة الثانية من هذه الدرس.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
  • افصل المتغيرات في dy/dx=ky، وأكمل التكامل للطرفين وطبق الشرط الابتدائي.
  • انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

P4 · المتجهات الفراغية والخطوط والزوايا

هل يمكن لمسارات غير متوازية أن تظل بعيدة عن بعضها؟

  • يمكن لمسارين في الفضاء أن يكونا neither parallel nor intersecting. قد يخفي الرسم ثنائي الأبعاد تباعدهما.
  • تدرس هذه الدرس متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه خط.

الطريقة

  • المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
  • لإيجاد نقطة التقاطع، ساوِ جميع المكونات وحل لكلا معلمتي المستقيم.
  • لحساب الزاوية استخدم a·b=|a||b|cosθ حيث الضرب القياسي موجود في المنهج المقرر.

حالة محلولة

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$
مثال

لـ a=(1,2,3)، b=(2,-1,2)، يعطي λ=2 r=(5,0,7). مقدار b هو √(4+1+4)=3. مع c=(1,0,-1)، يكون b·c=2-2=0، لذا f و g متعامدان.

المصفوفات المكانية والخطوط والزوايا — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • إرضاء معادلتين مكونتين لا يضمن إرضاء الثالثة.
  • المستقيمان غير المتوازيين قد يكونان متخالفين.
  • متجه الاتجاه للخط ليس هو متجه موضعه، والمعامل القياسي لا يمتلك وحدات إحداثيات.
انتبه

غير صحيح: أي خطين غير متوازيين في الفضاء ثلاثي الأبعاد يجب أن يتقاطعا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن أن تكون الخطوط غير المتوازية مائلة: حيث لا تتقاطع.

تطبيقه

  • حدد ما إذا كان الزاوية المطلوبة حادة، أو موجهة، أو زاوية بين خطين.
  • استخدم طريقة المستوى أو المسافة المحددة للمنهج فقط عند الحاجة الفعلية لذلك الوحدة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, وحدة P4.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه الخط.
  • المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
  • انتبه إلى: تحقق معادلتين مركبتين لا يضمن تحقق الثالثة.

M1 · الحركة وقوانين نيوتن

أي قوة تُسرِّع العربة؟

  • تتسارع عربة بينما تقاوم الاحتكاك حركتها. قوة المحرك وحدها لا تساوي الكتلة مضروبة في التسارع.
  • تدرس هذه الدرس القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُموَّه.

الطريقة

  • اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
  • استخدم القوة المحصلة F=ma.
  • للتسارع الثابت، v=u+at و s=ut+at²/2.
  • نموذج الجسيم يتجاهل الحجم؛ السطح الناعم يتجاهل الاحتكاك.

حالة محلولة

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$
مثال

عربة كتلتها 5 كجم لها قوة دفع 18 نيوتن ومقاومة 3 نيوتن. المحصلة هي 15 نيوتن، لذا a=15/5=3 م/ث². البدء من السكون لمدة 4 ث gives v=0+3×4=12 م/ث و s=0×4+3×4²/2=24 م.

الحركة والقوانين النيوتنية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.
  • نماذج الجسيمات المتصلة تتطلب معادلة واحدة لكل جسيم وعلاقة تسارع متسقة.
  • لا يمكن استخدام صيغ التسارع الثابت لتسارع متغير عشوائي.
انتبه

غير صحيح: تنطبق صيغ التسارع الثابت دون تغيير عندما يتغير التسارع مع الزمن. صيغ suvat تتطلب تسارعًا ثابتًا؛ عندما يتغير التسارع، استخدم التفاضل والتكامل.

تطبيقه

  • اشرح ما يسمح به كل تبسيط وما يتركه خارج الاعتبار.
  • لمخطط السرعة-الزمن، يمثل الميل التسارع والمساحة الموقعة الإزاحة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُمثَّل.
  • اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
  • انتبه: قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.

M1 · المتجهات والتحويلات الهندسية

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

  • المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
  • تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

  • أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
  • الإزاحة تحرك كل نقطة بنفس المتجه؛ والضرب القياسي يغير الطول وقد يغير الاتجاه.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
مثال

مع a=(4,1) وb=(1,3)، فإن a+b=(5,4). من A=(1,2) إلى B=(5,5)، الإزاحة AB=(4,3). مقدارها هو √(4²+3²)=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
  • لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
  • التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.
انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

  • استخدم مكوّنات المتجهات والمضاعفات القياسية والمقادير للإزاحات والقوى.
  • هذه الوحدة لا تتطلب الضرب القياسي.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
  • أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
  • انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

M1 · العزوم، الاتزان ومراكز الثقل

لماذا يساعد المفتاح الطويل؟

  • يسهل المفتاح الطويل تدوير الصامولة. يعتمد تأثير الدوران على المسافة العمودية بالإضافة إلى القوة.
  • تدرس هذه الدرس العزم: حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.

الطريقة

  • للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
  • خذ العزوم حول نقطة ارتكاز مفيدة لإزالة القوى المجهولة المارة عبر تلك النقطة.
  • مركز الكتلة المشترك هو متوسط وزن الموضع بناءً على الكتلة.

حالة محلولة

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$
مثال

عارضة منتظمة طولها 4 م وزنها 100 نيوتن مدعومة من الطرفين. قوة إضافية مقدارها 60 نيوتن تؤثر على مسافة 1 م من اليسار. العزوم حول الطرف الأيسر تعطي 4R_right=100×2+60×1=260، إذن R_right=65 نيوتن. التوازن الرأسي يعطي R_left=95 نيوتن.

العزوم والتوازن ومراكز الكتلة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.
  • محصلة قوى صفرية وحدها لا تمنع الدوران.
  • قد يفقد الدعم الذي يتطلب رد فعل عادي سالب الاتصال.
انتبه

غير صحيح: محصلة القوى الصفرية وحدها كافية لتوازن الجسم الصلب. التوازن يتطلب أيضًا أن تكون محصلة العزوم صفرًا؛ قوتان متساويان ومتعاكسان على خطين مختلفين يسببان دوران الجسم.

تطبيقه

  • للوح رقيق مكون من أجزاء، اختر أصلًا مشتركًا وجدول مساهمات مساحة-الكتلة ذات الإشارة لكل جزء.
  • المنطقة المحذوفة لها كتلة سالبة في هذه الحسابات، وليست مادة جسدية جديدة سالبة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • العزم: القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.
  • للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
  • انتبه: استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.

M1 · المستويات المائلة، الاحتكاك والجسيمات المترابطة

هل الاحتكاك وصل بالفعل إلى أقصى قيمة له؟

  • صندوق على منحدر في حالة سكون. يمكن للاحتكاك أن يتكيف لموازنة القوة للأسفل على المنحدر؛ ولا يجب أن يكون بالضرورة في أقصى قيمة له.
  • تدرس هذه الدرس الاحتكاك الحرج: أقصى احتكاك ساكن قبل الانزلاق، يساوي μ مضروبًا في رد الفعل العمودي في النموذج.

الطريقة

  • حلل الموازي والعمودي على المستوى.
  • مركبات الوزن هي mg sinθ وmg cosθ.
  • الاحتكاك الساكن يحقق F≤μR ويساوي μR فقط عند الحالة الحدية.
  • اكتب معادلات منفصلة للجسيمات المتصلة.

حالة محلولة

$$R=mg\cos\theta,\qquad F\le\mu R$$
مثال

صندوق كتلته 5 كجم على منحدر بزاوية 30° لديه R=5×9.8×cos30°≈42.44 نيوتن. مركبة الوزن للأسفل هي 24.5 نيوتن. مع μ=0.6، فإن أقصى احتكاك ≈25.46 نيوتن، لذا الاتزان ممكن باحتكاك 24.5 نيوتن.

المستويات المائلة، الاحتكاك والجسيمات المتصلة — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • الاحتكاك يعاكس الحركة أو الميل للحركة، وليس بالضرورة اتجاه المحور الإحداثي.
  • حبل خفيف مشدود غير قابل للتمدد يمر على بكرة ناعمة يعطي توترًا متساويًا ومقدار تسارع مشترك؛ لكل افتراض وظيفة.
انتبه

غير صحيح: الاحتكاك الساكن يساوي μR تمامًا حتى عندما لا يكون الجسم على وشك الانزلاق. الاحتكاك الساكن أقصاه μR؛ ويساوي μR فقط عندما يكون الجسم على وشك الانزلاق.

تطبيقه

  • ابدأ بمخططات القوى واتجاه مقترح للحركة.
  • إذا تعارض الاتجاه المحسوب مع افتراض الاحتكاك، أعد النظر في النموذج بدلاً من الحفاظ على إشارات غير متناسقة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit M1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الاحتكاك الحدي: أقصى احتكاك ساكن قبل الانزلاق، ويساوي μ مضروبًا في رد الفعل العمودي في النموذج.
  • حلل الموازي والعمودي على المستوى.
  • انتبه إلى: الاحتكاك يعاكس الحركة أو الميل للحركة، وليس بالضرورة اتجاه المحور الإحداثي.

M2 · الحركة وقوانين نيوتن

أي قوة تُسرِّع العربة؟

  • تتسارع عربة بينما تقاوم الاحتكاك حركتها. قوة المحرك وحدها لا تساوي الكتلة مضروبة في التسارع.
  • تدرس هذه الدرس القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُموَّه.

الطريقة

  • اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
  • استخدم القوة المحصلة F=ma.
  • للتسارع الثابت، v=u+at و s=ut+at²/2.
  • نموذج الجسيم يتجاهل الحجم؛ السطح الناعم يتجاهل الاحتكاك.

حالة محلولة

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$
مثال

عربة كتلتها 5 كجم لها قوة دفع 18 نيوتن ومقاومة 3 نيوتن. المحصلة هي 15 نيوتن، لذا a=15/5=3 م/ث². البدء من السكون لمدة 4 ث gives v=0+3×4=12 م/ث و s=0×4+3×4²/2=24 م.

الحركة والقوانين النيوتنية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.
  • نماذج الجسيمات المتصلة تتطلب معادلة واحدة لكل جسيم وعلاقة تسارع متسقة.
  • لا يمكن استخدام صيغ التسارع الثابت لتسارع متغير عشوائي.
انتبه

غير صحيح: تنطبق صيغ التسارع الثابت دون تغيير عندما يتغير التسارع مع الزمن. صيغ suvat تتطلب تسارعًا ثابتًا؛ عندما يتغير التسارع، استخدم التفاضل والتكامل.

تطبيقه

  • اشرح ما يسمح به كل تبسيط وما يتركه خارج الاعتبار.
  • لمخطط السرعة-الزمن، يمثل الميل التسارع والمساحة الموقعة الإزاحة.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة M2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُمثَّل.
  • اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
  • انتبه: قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.

M2 · العزوم، الاتزان ومراكز الثقل

لماذا يساعد المفتاح الطويل؟

  • يسهل المفتاح الطويل تدوير الصامولة. يعتمد تأثير الدوران على المسافة العمودية بالإضافة إلى القوة.
  • تدرس هذه الدرس العزم: حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.

الطريقة

  • للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
  • خذ العزوم حول نقطة ارتكاز مفيدة لإزالة القوى المجهولة المارة عبر تلك النقطة.
  • مركز الكتلة المشترك هو متوسط وزن الموضع بناءً على الكتلة.

حالة محلولة

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$
مثال

عارضة منتظمة طولها 4 م وزنها 100 نيوتن مدعومة من الطرفين. قوة إضافية مقدارها 60 نيوتن تؤثر على مسافة 1 م من اليسار. العزوم حول الطرف الأيسر تعطي 4R_right=100×2+60×1=260، إذن R_right=65 نيوتن. التوازن الرأسي يعطي R_left=95 نيوتن.

العزوم والتوازن ومراكز الكتلة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.
  • محصلة قوى صفرية وحدها لا تمنع الدوران.
  • قد يفقد الدعم الذي يتطلب رد فعل عادي سالب الاتصال.
انتبه

غير صحيح: محصلة القوى الصفرية وحدها كافية لتوازن الجسم الصلب. التوازن يتطلب أيضًا أن تكون محصلة العزوم صفرًا؛ قوتان متساويان ومتعاكسان على خطين مختلفين يسببان دوران الجسم.

تطبيقه

  • للوح رقيق مكون من أجزاء، اختر أصلًا مشتركًا وجدول مساهمات مساحة-الكتلة ذات الإشارة لكل جزء.
  • المنطقة المحذوفة لها كتلة سالبة في هذه الحسابات، وليست مادة جسدية جديدة سالبة.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة M2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • العزم: القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.
  • للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
  • انتبه: استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.

M2 · الشغل، الطاقة، القدرة والتصادمات

ماذا يخبرنا ارتداد أبطأ؟

  • يرتد كرة ببطء بعد الاصطدام بجدار. الزخم والطاقة الحركية يجيبان عن أجزاء مختلفة من قصة التصادم.
  • تدرس هذه الدرس معامل الاسترجاع: نسبة سرعة الانفصال النسبية إلى سرعة الاقتراب النسبية على طول خط الاصطدام.

الطريقة

  • الشغل هو القوة مضروبة في الإزاحة في اتجاهها.
  • الطاقة الحركية هي mv²/2 والطاقة الكامنة الجاذبية هي mgh.
  • الزخم يُحفظ في التصادم المعزول؛ ومعامل الاستعادة يعطي علاقة السرعة النسبية، وليس حفظ الطاقة الحركية.

حالة محلولة

$$E_k=\frac12 mv^2,\qquad W=Fs,\qquad P=\frac{dE}{dt}$$
مثال

جسيم كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 6 m/s لديه طاقة حركية 2×6²/2=36 J. إذا أوقفه قوة معاكسة ثابتة مقدارها 3 N، فإن الشغل=3s=36، مما يعطي s=12 m. ارتداد جدار بسرعة اقتراب 5 ومعامل e=0.6 له سرعة ارتداد 3 m/s في الاتجاه المعاكس.

الشغل، الطاقة، القدرة والاصطدامات — رسم توضيحي تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • يُحفظ الزخم فقط عندما يكون الدفع الخارجي ضئيلاً جداً.
  • تُفقد الطاقة الحركية عموماً في التصادم غير المرن.
  • القدرة هي معدل انتقال الطاقة، وليست كمية طاقة.
انتبه

غير صحيح: كل تصادم يحفظ الطاقة الحركية. تُحفظ الطاقة الحركية فقط في التصادمات المرنة تماماً؛ بينما يُحفظ الزخم في جميع التصادمات.

تطبيقه

  • حدد إشارات الاتجاه قبل كتابة معادلات التصادم.
  • لمسألة الحركة المترابطة، اختر النظام بأكمله للطاقة عند تلغي الشد الداخلي؛ واحسب شغل الاحتكاك بشكل صريح.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة M2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • معامل الارتداد: نسبة سرعة الانفصال النسبية إلى سرعة الاقتراب النسبية على طول خط التصادم.
  • الشغل هو القوة مضروبة في الإزاحة في اتجاهها.
  • انتبه: يُحفظ الزخم فقط عندما يكون الدفع الخارجي ضئيلاً جداً.

M2 · حركة المقذوفات والتسارع المتغير

لماذا يشارك الحركة الأفقية الوقت الرأسي؟

  • تُطلق كرة بزاوية. تتشارك حركتها الأفقية والرأسية في الوقت لكنها تتبع معادلات مختلفة.
  • تدرس هذه الدرس القذيفة: جسيم يتحرك تحت تأثير الجاذبية بعد الإطلاق في نموذج يتجاهل مقاومة الهواء.

الطريقة

  • حلل السرعة الابتدائية إلى مركبة أفقية u cosθ ومركبة عمودية u sinθ.
  • بدون مقاومة هواء، التسارع الأفقي يساوي صفراً والتسارع العمودي يساوي -g.
  • استخدم نفس الزمن في كلا المركبتين.

حالة محلولة

$$x=u_x t,\qquad y=u_y t-\frac12 gt^2$$
مثال

بالنسبة للمركبات u_x=12,u_y=16 و g=9.8، عند t=2 s تكون الإزاحة الأفقية x=12×2=24 m والإزاحة الرأسية y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m. عند أعلى نقطة، v_y=0 لكن v_x يبقى 12.

حركة القذيفة والتسارع المتغير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • انعدام السرعة العمودية عند أعلى نقطة لا يعني انعدام السرعة الكلية.
  • ارتفاع الإطلاق والهبوط قد لا يكونان متساويين.
  • لا تستخدم صيغة المدى التي تفترض تساوي الارتفاعات دون التحقق منها.
انتبه

غير صحيح: السرعة الكلية لجسم مقذوف تساوي صفراً عند أعلى نقطة. عند القمة تكون السرعة العمودية صفراً، لكن السرعة الأفقية تستمر، لذا فإن السرعة لا تساوي صفراً.

تطبيقه

  • لتسارع متغير، قم بتكامل a(t) للحصول على v(t) واستخدم السرعة الابتدائية لإيجاد الثابت، ثم تكامل للإزاحة.
  • تحقق من الوحدات والفيزيائي للفترة الزمنية.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة M2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الجسم المقذوف: جسيم يتحرك تحت تأثير الجاذبية بعد الإطلاق في نموذج يتجاهل مقاومة الهواء.
  • حلل السرعة الابتدائية إلى مركبة أفقية u cosθ ومركبة عمودية u sinθ.
  • انتبه: انعدام السرعة العمودية عند أعلى نقطة لا يعني انعدام السرعة الكلية.

S1 · ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

  • مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
  • تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

  • قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
  • استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
  • التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
مثال

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
  • المتوسط المجموع هو تقدير.
  • الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.
انتبه

غير صحيح: ارتفاع عمود المدرج التكراري يساوي تكراره، حتى مع عدم تساوي أوسع الفئات. مع عدم تساوي أوسع الفئات، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

  • اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
  • قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة S1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
  • قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
  • انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

S1 · الاحتمالات، الأشجار والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

  • يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
  • تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

  • اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
  • عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
  • الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
مثال

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
  • الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.
انتبه

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقه

  • الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
  • قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة S1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
  • اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
  • انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

S1 · الانحدار، النماذج المالية والباقيات

هل يدعم التنبؤ البيانات؟

  • خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
  • تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

الطريقة

  • النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
  • افحص البواقي ونطاق البيانات.
  • للتغيير المئوي المتكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ وللقرض افرق بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.

حالة محلولة

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$
مثال

النموذج الملائم t=8+2d يتنبأ بـ 18 دقيقة عند d=5 كم. إذا كان الوقت الملاحظ هو 21، فإن الباقي (residual) هو 3 دقيقة. إيداع ¥1000 بفائدة سنوية مركبة 5% يصبح 1000×1.05³=1157.625 بعد 3 سنوات.

الانحدار، النماذج المالية والمخلفات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.
  • معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل.
  • يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، والتحقق منه وتفسيره.
انتبه

غير صحيح: يسمح الارتباط العالي بالاستنباط الخارجي موثوق إلى أي مسافة. النموذج المُعدّ على البيانات يكون موثوقاً فقط بالقرب من تلك البيانات؛ والاستنباط الخارجي بعيداً عنها غير موثوق.

تطبيقه

  • في IB AI، سجل مصدر البيانات، والمجال، والافتراضات، وطريقة الآلة الحاسبة.
  • قارن نموذجاً بديلاً وحكم على التنبؤات مقابل البواقي.
  • يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كان الفائدة مركباً.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة S1.
الفكرة الرئيسية
  • الباقية: القيمة المرصودة ناقص القيمة التي تنبأ بها النموذج المُعدّ.
  • النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
  • انتبه: عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.

S1 · نماذج ثنائية الحد، الطبيعية وبيسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

  • يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
  • تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

  • للمتغير العشوائي المتقطع، اجمع الاحتمالات لتصل إلى 1 واحسب E(X)=مجموع xP(X=x).
  • لنموذج التوزيع الطبيعي، استخدم z=(x-μ)/σ واحسب المساحة المناسبة.

حالة محلولة

$$E(X)=\sum xP(X=x),\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$
مثال

إذا كانت X تأخذ 0,1,2 باحتمالات 0.2,0.5,0.3، فإن E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. أيضًا E(X²)=0+0.5+1.2=1.7، لذا Var(X)=1.7-1.1²=0.49. بالنسبة لـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
  • بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
  • تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.
انتبه

غير صحيح: المتغير العشوائي الذي له ثلاث قيم ممكنة يجب أن يكون ثنائي الحد. يتطلب نموذج ثنائي الحد تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المعتمدة تكسره.

تطبيقه

  • تشمل S1 المتغيرات العشوائية المنفصلة وتوزيع التوزيع الطبيعي.
  • تُعد النماذج الثنائية ونموذج بواسون من محتوى 2.

في مسارك الدراسي

  • بيزون إيديكسل المستوى الدولي لأجل في الرياضيات، الوحدة S1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
  • للمتغير العشوائي المتقطع، اجمع الاحتمالات لتصل إلى 1 واحسب E(X)=مجموع xP(X=x).
  • انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

S2 · نماذج ثنائية الحد، الطبيعية وبيسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

  • يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
  • تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

  • النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
  • E(X) = np و Var(X) = np(1 - p).
  • لنموذج التوزيع الطبيعي استخدم z = (x - μ) / σ.
  • يصف نموذج بواسون العدود بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.

حالة محلولة

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
مثال

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
  • بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
  • تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.
انتبه

غير صحيح: كل عداد للنجاحات يتبع التوزيع الثنائي بغض النظر عن الاستقلالية. النموذج الثنائي يحتاج تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المرتبطة تحطمه.

تطبيقه

  • اكتب الحدث كمتباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة.
  • اميز بين P(X < k) و P(X ≤ k) ومكمل الذيل.
  • صغ الافتراضات في سياق المسألة.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S2.
الفكرة الرئيسية
  • القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
  • النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
  • انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

S2 · أخذ العينات ومجموعة بيانات كبيرة

من غائب في البيانات؟

  • قاعدة بيانات الطقس تحتوي على سجل مفقود ومحطات عدة. معاملة كل صف على أنه متطابق قد يشوه المقارنة.
  • تدرس هذه الدرس إطار العينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.

الطريقة

  • حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
  • ميّز بين المعاينة العشوائية، والمنهجية، والطبقية، والكمية، وفرصة الوصول.
  • البيانات المفقودة لا تساوي صفراً؛ تحقق من الوحدات والتواريخ وتعريف المتغيرات قبل مقارنة العينات.

حالة محلولة

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$
مثال

المجتمع يحتوي على 120 طالبًا في مجموعة و80 في أخرى. عينة طبقية متناسبة بحجم 30 تتطلب 30×120/200=18 من الأولى و12 من الثانية. ثم يجب إجراء اختيار عشوائي داخل كل مجموعة.

العينة ومجموعة بيانات كبيرة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.
  • الطبقة ليست نفسها اختيار أي شخص متاح من كل مجموعة.
  • معرفة AQA للبيانات الكبيرة تتطلب البيانات الفعلية والمعلومات الوصفية المقدمة، وليس قيم الطقس المبتكرة.
انتبه

غير صحيح: مضاعفة عينة ذات تحيز تلغي تحيز الاختيار الخاص بها. عينة أكبر يتم جمعها بنفس الطريقة المنحازة تحتفظ بنفس التحيز؛ فقط تحسين طريقة المعاينة يزيله.

تطبيقه

  • بالنسبة لـ AQA، استخدم مجموعة البيانات الرسمية في مهمة جداول بيانات خاضعة للإشراف: حدد متغيراً، وبرر المقارنة، وفحص القيم المفقودة، وأنشئ عرضاً، واشرح قيداً.
  • احفظ القرارات مع التحليل.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • إطار المعاينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.
  • حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
  • انتبه: عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.

S2 · اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية

هل يمكن أن يفسر الحظ النتيجة؟

  • تدعي مصنع أن نسبة المنتجات المعيبة فقط 10%. تحتوي العينة على عدد أكبر من العيوب، لكن الحظ وحده قد يفسر بعض الفروق.
  • يدرس هذا الدرس مستوى الدلالة: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.

الطريقة

  • صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
  • احسب احتمال الذيل المناسب تحت فرضية H₀.
  • ارفض H₀ عندما يحقق الدليل قاعدة المعنى المحددة؛ وإلا فقل إن الدليل غير كافٍ.

حالة محلولة

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$
مثال

For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.
  • اختر الذيل بناءً على H₁، وليس بناءً على أي ذيل يعطي نتيجة صغيرة.
  • المعنى الإحصائي لا يقيس الحجم العملي للتأثير.
انتبه

غير صحيح: عدم رفض فرضية الصفر يثبت أنها صحيحة. عدم رفض فرضية الصفر يعني فقط عدم وجود ما يكفي من الأدلة ضدها.

تطبيقه

  • انهِ بجملة تتناول المجتمع والادعاء الأصلي.
  • State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • مستوى المعنى: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.
  • صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
  • انتبه: عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.

S2 · التوزيعات المستمرة ودوال الكثافة

هل الارتفاع هو نفسه الاحتمال؟

  • يمكن أن تأخذ وقت الانتظار أي قيمة في فترة. يأتي احتمالها من المساحة، وليس من ارتفاع الرسم البياني عند لحظة واحدة.
  • تدرس هذه الدرس كثافة الاحتمال: دالة غير سالبة تكاملها على فترة يعطي احتماليها.

الطريقة

  • يجب أن تكون الكثافة f غير سالبة وتتكامل لتعطي 1 على مجالها.
  • دالة التوزيع التراكمي F(x) هي التكامل حتى x.
  • للمتغير المستمر P(X=x)=0 و E(X) هو تكامل xf(x).

حالة محلولة

$$\int f(x)\,dx=1,\qquad E(X)=\int xf(x)\,dx$$
مثال

لنفرض f(x)=kx على 0≤x≤2 وصفر في مكان آخر. التعيير يعطي integral_0^2 kx dx=2k=1، لذا k=1/2. ثم P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 و E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3.

التوزيعات المستمرة ودوال الكثافة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • يمكن للكثافة أن تتجاوز 1 دون أن تكون غير صالحة؛ يجب أن يساوي المساحة الكلية 1.
  • لا يمكن لدالة التوزيع التراكمي أن تنخفض.
  • شمل منطقة الكثافة الصفرية خارج المجال عند تعريف النموذج الكامل.
انتبه

غير صحيح: للمتغير المستمر يكون P(X=x) مساويًا لارتفاع الكثافة f(x). بالنسبة للمتغير المستمر P(X=x)=0؛ الاحتمالات هي مساحات تحت منحنى الكثافة.

تطبيقه

  • لتوزيع منتظم، الكثافة هي مقلوب طول الفترة.
  • أوجد الوسيط أو المئات باستخدام الاحتمال التراكمي، واستخدم تكاملاً واعياً للدعم لحساب العزوم.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit S2.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • كثافة الاحتمال: دالة غير سالبة يكون تكاملها على فترة ما مساوياً للاحتمال.
  • يجب أن تكون الكثافة f غير سالبة وتتكامل لتعطي 1 على مجالها.
  • انتبه: يمكن أن تتجاوز الكثافة 1 دون أن تكون غير صالحة؛ يجب أن يساوي إجمالي المساحة 1.

D1 · الخوارزميات، الشبكات والبرمجة الخطية

أرخص شبكة أو أقصر مسار؟

  • يجب على مدرسة توصيل المباني بالكابلات. المسار الأقصر بين مبنيين ومسألة الشبكة الأرخص ككل هما مشكلتان مختلفتان.
  • تدرس هذه الدرس شجرة التغطية الصغرى: شبكة متصلة خالية من الحلقات تربط كل رأس بأقل وزن إجمالي ممكن للأضلاع.

الطريقة

  • يختار كروسكال الحواف بتزايد الأوزان مع تجنب حلقات التكرار.
  • يقوم ديكسترا بتحديث أقصر المسافات المؤقتة من نقطة البداية.
  • البرمجة الخطية تحسن دالة هدف خطية ضمن منطقة جدوى؛ راجع الرؤوس والقيود الصحيحة عند الحاجة.

حالة محلولة

$$Z=3x+2y,\qquad x+y\le4,\quad x\le2,\quad x,y\ge0$$
مثال

للمواقع A,B,C,D والأضلاع AB=2، BC=3، AC=4، CD=1، BD=5، تختار كروسال CD، AB، BC لمجموع 6. المسار الأقصر من A إلى D هو A-B-C-D، أيضاً 6، لكن هذا التساوي عرضي. حدّث 3x+2y بشرط x+y≤4، x≤2، x,y≥0: أفضل موقع هو (2,2)، القيمة 10.

الخوارزميات، الشبكات والبرمجة الخطية — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • الشجرة الممتدة لا تحتوي على حلقات وتربط جميع الرؤوس.
  • أكبر حافة فردية لا تُستبعد تلقائياً من كل حل مثالي.
  • خوارزمية أقصر مسار لا يمكن أن تستبدل خوارزمية شجرة ممتنة دنيا.
انتبه

غير صحيح: يجب أن يكون أقصر مسار بين رأسين أيضاً شجرة ممتنة دنيا للشبكة كاملة. يربط أقصر مسار رأسين فقط، بينما تربط الشجرة الممتنة الدنيا كل رأس بأقل وزن إجمالي، لذا هما يجيبان عن أسئلة مختلفة.

تطبيقه

  • بالنسبة للمسارات الحرجة، احسب وقت بداية وأقصى وقت لحدوث الأحداث وحدد الأنشطة ذات الهامش الصفري.
  • حدد الوحدات وفسر القيمة المثلى.
  • الأرشيف الحالي لا يحتوي على أزواج D1، لذا فإن هذه المهام الأصلية لا تأسس بنك اختبارات سابقة مراجعة D1.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit D1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الشجرة الممتنة الدنيا: شبكة متصلة خالية من الحلقات تربط كل رأس بأقل وزن إجمالي ممكن للحواف.
  • يختار كروسكال الحواف بتزايد الأوزان مع تجنب حلقات التكرار.
  • انتبه: الشجرة الممتنة لا تحتوي على حلقات وتربط جميع الرؤوس.

D1 · المسارات الحرجة والجدولة

هل يجب أن تنتظر كل نشاط كل نشاط آخر؟

  • حدث مدرسي يحتوي على أنشطة يمكن تنفيذها بالتوازي. جمع جميع المدد يؤدي إلى مبالغة في تقدير وقت الإكمال الأدنى.
  • تدرس هذه الدرس المرونة: الوقت الذي يمكن تأخير نشاط فيه دون تأخير الإكمال ضمن نموذج الشبكة.

الطريقة

  • لشبكة الأنشطة، احسب أوقات الأحداث الأولى للأمام وأوقات الأحداث الأخيرة للخلف.
  • الهامش الكلي للنشاط من i إلى j هو L_j-E_i-المدة.
  • النشاط الحرج له هامش كلي يساوي صفراً؛ وقد توجد أكثر من مسار حرج واحد.

حالة محلولة

$$F_{ij}=L_j-E_i-d_{ij}$$
مثال

النشاطان A=3 و B=5 يبدأان معًا. يتبع C=4 النشاط A، ويتبع D=2 كلا من B و C. وقت إكمال C الأولي هو 7؛ يجب أن ينتظر D حتى max(5,7)=7 وينتهي عند 9. المسار A-C-D حرج؛ ولـ B مرونة 2.

المسارات الحرجة والجدولة — رسم توضيحي تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

  • لا تجمع مدد الأنشطة المتوازية المستقلة.
  • النشاط الذي هامشه صفر ينتمي إلى مسار حرج، ولكن قد تكون هناك عدة مسارات من هذا النوع.
  • قد تتطلب حدود الموارد جدول زمني أطول من الحد الأدنى النظري للشبكة.
انتبه

غير صحيح: الحد الأدنى لمدة المشروع هو مجموع مدد كل نشاط. الأنشطة التي تعمل في نفس الوقت تتداخل؛ والحد الأدنى للمدة هو طول المسار الحرج.

تطبيقه

  • ارسم علاقات الأولوية قبل تعيين الأوقات.
  • اميز بين مدة النشاط ووقت الحدث.
  • اشرح ما يفعله التأخير على تاريخ الانتهاء، وسجل أي افتراضات حول الموارد.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit D1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الهامش: الوقت الذي يمكن تأخير نشاط دون أن يتأخر تاريخ الانتهاء تحت نموذج الشبكة.
  • لشبكة الأنشطة، احسب أوقات الأحداث الأولى للأمام وأوقات الأحداث الأخيرة للخلف.
  • انتبه: لا تجمع مدد الأنشطة المتوازية المستقلة.

D1 · الفرز، التغليف وخوارزميات الشبكات

هل طريقة التغليف السريعة دائمًا مثلى؟

  • طريقة تغليف سريعة تملأ الصناديق، لكن الترتيب الصحيح السريع قد لا يستخدم أقل عدد من الصناديق.
  • تدرس هذه الدرس الخوارزمية: مجموعة محدودة من التعليمات المرتبة التي تحل فئة محددة من المشكلات.

الطريقة

  • تتبع الخوارزمية المسمّاة بدقة، بما في ذلك قواعد التعادل.
  • في تعبئة أولي-ملائم، ضع كل عنصر في أول صندوق متاح يمكنه استيعابه.
  • يُصنّف أولاً-الترتيب التنازلي قبل تطبيق خوارزمية أولاً-المكان.
  • قد تكون الخوارزمية الوهنية صالحة دون أن تكون مثلى.

حالة محلولة

$$B_{\min}\ge\left\lceil\frac{\sum s_i}{C}\right\rceil$$
مثال

بطاقة سعة 10 وعناصر 6,5,4,3,2 بنفس الترتيب، يضع أول ملاءم 6 و4 في بطاقة 1، ثم 5,3,2 في بطاقة 2. يستخدم 2 بطاقات. الحجم الكلي هو 20، لذا الحد الأدنى هو ceil(20/10)=2؛ هذه الترتيبة مثالية لهذه الحالة.

الترتيب والتغليف وخوارزميات الشبكة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

  • لا يثبت نجاح مثال واحد أن الخوارزمية الوهنية دائماً مثلى.
  • احتفظ بالقوائم الوسيطة في تتبع الفرز؛ ولا تقفز من المدخلات مباشرة إلى القائمة النهائية المرتبة.
  • يجب أن تحتفظ تحديث المسار الأقصر بمعلومات السلف إذا طُلب مسار معين.
انتبه

غير صحيح: خوارزمية وهرمية للتعبئة تعمل جيداً على مثال واحد ليست بالضرورة مثلى. تعطي الخوارزمية الوهنية إجابة جيدة بسرعة لكنها غير مضمونة لتكون مثلى لكل مدخلات.

تطبيقه

  • بالنسبة لخوارزمية ديكسترا، اختر أصغر علامة مؤقتة غير مؤكدة وحديث جيرانها.
  • لمسائل تفتيش المسار، ميّز بين المسار المغلق والمفتوح ومعرّف الرؤوس ذات الدرجة الفردية قبل توصيلها بأزواج.

في مسارك الدراسي

  • Pearson Edexcel International A Level Mathematics, unit D1.
  • يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.
الفكرة الرئيسية
  • الخوارزمية: مجموعة محدودة من التعليمات المرتبة التي تحل فئة محددة من المشكلات.
  • تتبع الخوارزمية المسمّاة بدقة، بما في ذلك قواعد التعادل.
  • انتبه: لا يثبت نجاح مثال واحد أن الخوارزمية الوهنية دائماً مثلى.

تسجيل الدخول أو إنشاء حساب

IGCSE, A-Level & AP