مواد تعليمية أصلية. تحقق من فجوات التغطية المنهجية ومواصفات مدرستك الحالية قبل استخدامها للتقييم.

YFM01: ملاحظات تدريس المساق

الإصدار: الإصدار 3، أبريل 2019؛ أول تدريس 2018؛ تقييم الوحدة بدءًا من 2019

هذه ملاحظات تعليمية أصلية، وكل درس مُعنَّون بطبقته.

FP1 · الحساب المركب وجذور المعادلات التربيعية

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
أضف المكونات، اضرب الأقواس واستخدم المرافق لجعل مقام القسمة حقيقياً.
الجذور غير الحقيقية لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية تظهر في أزواج مرافقة.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

بالنسبة لـ z=3+4i، فإن |z|=5 ومرافق z=3-4i. والمقلوب هو (3-4i)/25. بالنسبة لـ x²-6x+13=0، الجذور هي 3±2i. الضرب في المرافق يجعل المقام المركب عدداً حقيقياً.

حساب الأعداد المركبة وجذور المعادلات التربيعية — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

FP1 يستخدم الحساب المركب والقيمة المطلقة وتمثيل أرند ومعادلات الجذور التربيعية.
قوى دي مويفر وجذور الوحدة مخصصة لـ FP2 فقط.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

FP1 · القطوع المكافئ والقطع الزائد المستطيل

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
تدرس هذا الدرس القطع المكافئ: locus النقاط المتساوية البعد عن بؤرة ثابتة ومماس ثابت.

الطريقة

بالنسبة لـ y²=4ax، البؤرة هي (a,0)، المماس x=-a والرأس (0,0).
بالنسبة لـ xy=c²، محاور الإحداثيات هي خطوط تقارب.
اقرأ المعامل من المعاملات بدلاً من افتراض أنه يساوي 4a.

حالة محلولة

$$y^2=12x,\quad xy=9$$

مثال

بالنسبة لـ y²=12x، a=3: البؤرة هي (3,0) والمماس x=-3. عند x=3، y=±6؛ عند (3,6)، المسافة إلى البؤرة والمماس هي 6. بالنسبة لـ xy=9، النقطة (3,3) تقع على القطع الزائد و x=0،y=0 هي مقارباته.

قطع مكافئة وقطع زائد مستطيلة — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

معامل x هو 4a، وليس a.
شمل كلا الإشارتين عند حل y².
خط التقارب يُقارَب؛ إنه ليس نقطة تقاطع نهائية لـ xy=c².

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ y²=4ax، إحداثي x للبؤرة هو 4a. الاستبعاد قد يفقد القيود: x=t²، y=t تعطي x=y²، ولكن x≥0 ويجب تحديد اتجاه الحركة بشكل منفصل.

تطبيقه

دعم FP1 الهندسة التحليلية للقطع المكافئ والمتجهات المربعة.
مساحة القطع الناقص وتعييره المعاملي مستبعدان.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

القطع المكافئ: محلي النقاط المتساوية البعد عن بؤرة ثابتة ومماس ثابت.
بالنسبة لـ y²=4ax، البؤرة هي (a,0)، المماس x=-a والرأس (0,0).
انتبه: معامل x هو 4a، وليس a.

FP1 · عمليات المصفوفات والمقلوبات وتحويلات المستوي

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

الطريقة

مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
حوّل متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار.
المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.

حالة محلولة

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

مثال

لـ A=[[2,1],[0,3]]، det A=6. A(1,2)=(4,6). عكسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. تحقق بضرب A في عكسها للحصول على مصفوفة الوحدة.

عمليات المصفوفات والمقلوبات وتحويلات المستوى — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.
المحدد الصفري يعني أن التحويل يفقد بُعداً ولا يوجد له معكوس.
القيم الذاتية والتقطيع موضوعات متقدمة، وليست ضمن محتوى المتجهات GCSE العادي.

انتبه

غير صحيح: كل مصفوفة مربعة لها معكوس. المصفوفة المربعة ذات المحدد 0 مفقودة (singular) وليس لها معكوس.

تطبيقه

تستخدم FP1 عمليات مصفوفات أبعادها 2×2 والمعاكسات والتحويلات المستوية.
القيم الذاتية والتقطيع أبعادها 3×3 تنتمي إلى FP3، وليس لهذه الوحدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس، وفي بعدين يمثل عامل مساحتها الموجهة.
مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
انتبه: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.

FP1 · التقسيم المزدوج وإيجاد جذور نيوتن

ما مدى موثوقية التقريب؟

المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

الطريقة

للدالة المتصلة ذات التغير في الإشارة، نقسم مجال الجذر إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تكون فيه إشارات الأطراف معاكسة.
تُحدث نيوتن قيمة x بتحديثها إلى x - f(x)/f'(x)، شريطة أن لا يكون المشتق مساويًا للصفر.

حالة محلولة

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

مثال

لـ f(x)=x²-2، f(1)=-1 وf(2)=2. عند المنتصف 1.5، f=0.25، لذا المجال الجديد هو [1,1.5]. عند المنتصف 1.25، f=-0.4375، لذا المجال التالي هو [1.25,1.5]. نيوتن من 1.5 يعطي 1.4166667.

المنصف وإيجاد الجذور بطريقة نيوتن — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يجب أن يحدث تغير في الإشارة على فترة تكون فيها الدالة متصلة.
قد تفشل طريقة نيوتن إذا كان مشتقها يساوي الصفر، أو إذا خرجت تكراراتها عن النطاق المفيد.

انتبه

غير صحيح: كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك عبر الانقطاع. يتغير الإشارة للدالة 1/x عند x=0 لكنها ليس لها جذر؛ حيث يظهر الجذر فقط إذا كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة.

تطبيقه

طرق FP1 العددية تتعلق بالجذور: طريقة التنصيف والتكامل والنيوتن.
التكامل العددي غير مدرج في هذا الدرس.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكرار: تحديث متكرر يُحسب فيه كل تقريب جديد من السابق.
للدالة المتصلة ذات التغير في الإشارة، نقسم مجال الجذر إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تكون فيه إشارات الأطراف معاكسة.
انتبه: يجب أن يحدث تغير في الإشارة على فترة تكون فيها الدالة متصلة.

FP1 · المجاميع المحددة والاستقراء الرياضي

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
تدرس هذا الدرس رمز سيغما: notation يجمع الحدود المؤشرية عبر نطاق محدد محدود.

الطريقة

بالنسبة لـ k=1 إلى n، مجموع k=n(n+1)/2، ومجموع k²=n(n+1)(2n+1)/6 ومجموع k³=[n(n+1)/2]².
يمكن أن تتلاشى الفروقات بين الحدود المتتالية (التلوسكوب).
في الاستدلال بالتراجع، تحقق من الحالة الأساسية وأثبت أن الحالة التالية تستنتج من الحالة المفترضة.

حالة محلولة

$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

مثال

من أجل n=5، مجموع k=15، مجموع k²=1+4+9+16+25=55 ومجموع k³=1+8+27+64+125=225. في إثبات صيغة المجموع، إضافة الحد (n+1) إلى التعبير المفترض يجب أن ينتج الصيغة مع استبدال n بـ n+1.

المجموعات المحدودة والاستقراء — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

مجموع المربعات ليس مربع المجموع.
حدد نطاق المؤشر وتحقق من الحالة الأولى؛ خطوة الاستدلال وحدها ليست برهان استقرائيًا كاملاً.

انتبه

غير صحيح: مجموع حدود مربعاتها يساوي مربع مجموعها. كثير حد تايلور هو تقريب؛ وعادة ما يكون دقيقًا فقط بالقرب من مركزه.

تطبيقه

FP1 السلاسل المنتهية والاستدلال بالتراجع يدعمان فقط.
تقريبات ماكلورين وتايلر تنتمي لوحدات رياضيات بحتة متقدمة لاحقة وهي مستبعدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

رمز سيجما: الرمز المستخدم لجمع الحدود المؤشرة ضمن نطاق محدود مذكور.
بالنسبة لـ k=1 إلى n، مجموع k=n(n+1)/2، ومجموع k²=n(n+1)(2n+1)/6 ومجموع k³=[n(n+1)/2]².
انتبه: مجموع المربعات ليس مربع المجموع.

FP1 · الاستنتاج والتناقض والاستقراء الرياضي

متى يصبح النمط برهاناً؟

يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.

الطريقة

يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
المثال المضاد ينفي ادعاءً يشمل جميع القيم.
يتطلب الاستدلال حالة أساسية واستنتاجاً من n=k إلى n=k+1؛ والتحقق من الحالات المتتالية وحدها ليس استدلالاً.

حالة محلولة

$$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$$

مثال

بالنسبة للأعداد الفردية 2a+1 و2b+1، فإن مجموعهما هو 2(a+b+1)، وبالتالي فهو زوجي. يفشل الادعاء بأن n²+n+41 أولي دائماً عند n=41: القيمة هي 41×43=1763. بالنسبة لـ1+...+n=n(n+1)/2، خطوة الاستقراء تضيف k+1 إلى المجموع المفترض.

الاستنتاج، التناقض والترجع — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.
في البرهان بالتناقض، حدد النتيجة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي النقيض.
الاستدلال ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل يقع ضمن نطاق الرياضيات الإضافية المناسب له.

انتبه

غير صحيح: التحقق من العشر أرقام الأولى لا يثبت ادعاءً لكل عدد صحيح موجب. قد ينطبق نمط على الحالات العشر الأولى ثم يفشل لاحقاً؛ ويجب أن يغطي الإثبات كل حالة على حدة.

تطبيقه

يتضمن الإثبات في AQA الاستنتاج، والاستيفاء، والتناقض.
يُقدّم IAL P2 الاستيفاء والمثال المضاد، بينما يُقدّم P4 التناقض.
حافظ على طريقة الإثبات متوافقة مع الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، وحدة FP1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً.
يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة.
انتبه إلى: لا تفترض النتيجة أثناء إثباتها.

FP2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

حيازة مستطيلة مساحتها x(10-x). ما العرض الذي يعطي على الأقل 21 متر مربع؟
تدرس هذه الدرس المميز: الكمية b²-4ac التي تحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.

الطريقة

قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
المتباينة التربيعية تتطلب تحديد الإشارة على الفترات، وليس فقط الجذور.
المميز يحدد وجود جذور حقيقية مكررة أو مفقودة.

حالة محلولة

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$

مثال

الشرط هو x(10-x)≥21، لذا x²-10x+21≤0. حلّل (x-3)(x-7)≤0. القطع المكافئ المفتوح للأعلى يكون غير موجب بين جذريه، مما يعطي 3≤x≤7. المساحة القصوى هي 25 عند x=5.

المعادلات التربيعية والمتباينات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.
يجب أن يظهر الرسم التوضيحي أي جانب من كل جذر يحقق المتباينة.
قد تقيد الهندسة قيم x بشكل أكبر.

انتبه

غير صحيح: المميز الموجب يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. المميز الموجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين؛ والمميز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية.

تطبيقه

استخدم الرأس لتفسير القيمة القصوى أو الدنيا.
تحقق من نقطة النهاية ونقطة بين الجذرين؛ يجب أن تتطابق النتيجة الجبرية مع الرسم البياني.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المميز: المقدار b²-4ac الذي يحدد الجذور الحقيقية لـ ax²+bx+c=0.
قم بالتحليل إن أمكن؛ وإلا أكمل المربع أو استخدم القانون العام.
انتبه إلى: ضرب المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها.

FP2 · المتسلسلات والفروق المحدودة وتمديدات تايلور

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

بالقرب من نقطة معروفة، يمكن استبدال دالة معقدة بتقريب كثير حدودي. يحتاج التقريب إلى مركز ومقياس صالح.
يدرس هذا الدرس كثير الحدود التايلور: وهو كثير حدود يتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.

الطريقة

حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
عند a=0 يكون توسع ماكلورين.
يمكن تبسيط المجاميع المنتهية أيضاً عن طريق الإلغاء أو صيغ المجاميع القياسية.

حالة محلولة

$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

مثال

المصطلحات الثلاثة الأولى لـ e^x هي 1+x+x²/2. عند x=0.1 يعطي هذا 1.105، قريباً من e^0.1≈1.105170. بالنسبة لمجموع k² من k=1 إلى 5، فإن n(n+1)(2n+1)/6 يعطي 5×6×11/6=55.

السلاسل، الفروق المنتهية وتوسعات تايلور — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ينتمي المضروب إلى المقام في كل معامل تايلور.
مركز التوسع ليس دائماً صفراً.
التقريب القريب من مركزه قد يكون سيئاً بعيداً عنه.

انتبه

غير صحيح: كثيرة حدود تايلور دقيقة للدالة الأصلية عند كل مدخل. كثيرة حدود تايلور هي تقريب؛ وهي عادةً دقيقة فقط بالقرب من مركزها.

تطبيقه

للسلسلة التلسكوبية، اكتب عدة حدود وحدد كلا الطرفين الباقيين.
لتقريب تايلور، حدد رتبه وقارنه بقيمة معروفة أو تقدير للباقي حيثما لزم الأمر.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

كثيرة حدود تايلور: كثيرة حدود تتكون من مشتقات الدالة عند مركز مختار.
حول x=a، f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... عندما يكون التوسع صالحاً.
انتبه: المضروب ينتمي إلى المقام في كل معامل تايلور.

FP2 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

المعادلة x²+1=0 ليس لها جذور حقيقية. وتمتد نظام الأعداد ليمكّننا من تمثيل وحساب كلا الجذرين.
تدرس هذه الدرس المرافق المركب: وهو العدد الذي يتم الحصول عليه بعكس إشارة الجزء التخيلي.

الطريقة

اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
المرافق هو a-bi، وz ضرب مرافقه = a²+b².
المعيار هو √(a²+b²)؛ والذروة تتطلب الربع الصحيح.
الجذور المرافقة تظهر في كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.

حالة محلولة

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

مثال

الأعداد المركبة والجذور — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.
دالة الظل العكسي وحدها قد تعيد الربع الخطأ.
لا تخلط بين القيمة المطلقة ومربع القيمة المطلقة.

انتبه

غير صحيح: بالنسبة لـ a+bi، قيمتها المطلقة هي a+b. القيمة المطلقة هي √(a²+b²): بالنسبة لـ 3+4i فإنها 5، وليست 7.

تطبيقه

ارسم المحور الحقيقي أفقيًا والمحور التخيلي عموديًا.
بالنسبة للضرب، تُضرب المعايير وتُجمع الذروات؛ وتمتد هذه النمط الهندسي للأسس عبر نظرية دموافر.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المرافق المركب: العدد الناتج عن عكس إشارة الجزء التخيلي.
اكتب z=a+bi حيث i²=-1.
انتبه: الجذر التربيعي لمجموع ليس مساويًا لمجموع الجذور التربيعية.

FP2 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد A.
طريقة أويلر تأخذ y التالية = y+h f(x,y)، مع خطوة مختارة h.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

المعادلات التفاضلية والحلول العددية — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

غير صحيح: كل حجم خطوة يعطي تقريبًا لأويلر مطابقًا تمامًا. تعتمد طريقة أويلر على حجم الخطوة؛ وعادةً ما تعطي الخطوات الأصغر قيمة أكثر دقة.

تطبيقه

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، ادمج الدالة التكميلية مع تكامل خاص مناسب، ثم طبق الشروط الابتدائية المطلوبة.
هذا ضمن نطاق الرياضيات المتقدمة؛ تحقق من الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

FP2 · المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية

لماذا نحتاج إلى شرطين أوليين؟

نموذج الإزاحة يتضمن كلًا من السرعة والتسارع. لا يمكن حل معادلة معدل من الرتبة الأولى فقط أن يدمج الشرطين الأوليين.
تدرس هذه الدرس الدالة المكملة: الحل العام لمعادلة التفاضل الخطية المتجانسة المرتبطة.

الطريقة

بالنسبة لـ y''+ay'+by=f(x)، حل المعادلة التربيعية المساعدة للجزء المتجانس.
أضف تكاملًا خاصًا مناسبًا لحامل القوة.
الجذور المكررة والمركبة تتطلب أشكالها الصحيحة.

حالة محلولة

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f(x),\qquad m^2+am+b=0$$

مثال

من أجل y double prime-3y prime+2y=0، المعادلة المساعدة هي m²-3m+2=0 مع الجذور 1,2. ومن ثم y=Ae^x+Be^(2x). مع y(0)=1 و y prime(0)=0، A+B=1 و A+2B=0، لذا A=2،B=-1.

المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اثنتان من الثوابت التعسفية تحتاجان شرطين مستقلين.
إذا كان التكامل الخاص التجريبي يكرر حدًا من الدالة التكميلية، فاضرب التجربة بـ x كما هو مطلوب.
لا تتخلى عن حل تذبذبي صالح لمجرد أن الجذور المساعدة مركبة.

انتبه

غير صحيح: قيمة ابتدائية واحدة لا تكفي لتحديد الثابتين في الحل العام من الرتبة الثانية. يحتوي الحل من الرتبة الثانية على ثابتين، لذا يتطلب شرطين.

تطبيقه

اشتق التعبير النهائي وأدخله في معادلة التفاضل الأصلية.
تحقق من كلتا الشرطين الابتدائيين بشكل منفصل، وفسفم فترة الحل المسموحة.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الدالة التكميلية: الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة مرتبطة.
بالنسبة لـ y''+ay'+by=f(x)، حل المعادلة التربيعية المساعدة للجزء المتجانس.
انتبه: اثنتان من الثوابت التعسفية تحتاجان إلى شرطين مستقلين.

FP2 · المنحنيات القطبية والمساحة

لماذا نصف المنحنى بالاتجاه؟

المنحنى على شكل بتال يكون أبسط عندما يعتمد نصف قطره على الاتجاه. الإحداثيات الديكارتية قد تخفي هذا البنية.
تدرس هذه الدرس الإحداثيات القطبية: موقع يُوصف بالمسافة r والزاوية θ من أصل مختار وشعاع مرجعي.

الطريقة

استخدم x=r cosθ و y=r sinθ.
المنطقة القطبية تساوي نصف تكامل r² بالنسبة لـ θ على فترة مختارة بشكل صحيح.
حدد التناظر والتكرار قبل تحديد الحدود.

حالة محلولة

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad A=\frac12\int r^2\,d\theta$$

مثال

من أجل r=2 وθ=π/3، فإن x=1 وy=√3. بالنسبة للدائرة r=2 خلال دورة كاملة، A=(1/2) integral_0^(2π) 4 dθ=4π. تعطي نصف الدورة 2π، وهو بالضبط نصف القرص.

أين يكمن الخطأ

القيم السالبة لـ r تضع النقطة في الاتجاه المعاكس؛ وليست مسافة سالبة عادية على نفس الشعاع.
قد تعيد البارامترات رسم المنطقة نفسها أكثر من مرة، لذا يمكن أن تؤدي الفترة الكاملة للبارامتر إلى عد زائد في المساحة.

انتبه

غير صحيح: استخدام أي فترة بارامتر كاملة يحسب كل منطقة قطبية مرة واحدة فقط. يجب أن تتطابق الفترة مع دور المنحنى؛ فالفترة الطويلة جداً تحسب المنطقة مرتين.

تطبيقه

ارسم نقاطاً كافية لتحديد الاتجاه والحدود.
بالنسبة للمنطقة المغلقة بين منحنيين، حدد نقاط التقاطع والمربع الشعاعي الذي يساهم في الحد الخارجي على كل فترة.

في مسارك الدراسي

بيسون إديكسل المستوى المتقدم الدولي في الرياضيات، الوحدة FP2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الإحداثي القطبي: موقع يُوصف بالمسافة r والزاوية θ من نقطة أصل مختارة وشعاع مرجعي.
استخدم x=r cosθ و y=r sinθ.
انتبه: القيم السالبة لـ r تضع النقطة في الاتجاه المعاكس؛ وليست مسافة سالبة عادية على نفس الشعاع.

FP3 · الدوال الزائدية والعلاقات العكسية

كيف يمكن النمو والتناقص أن يُنشِئا منحنى متماثلًا؟

الكابل المعلق له ملف انحناء مرتبط بالدوال الأسية. الدوال الزائدية تجمع بين النمو والتناقص بشكل متماثل.
تدرس هذه الدرس جيب التمام الزائدي: الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2.

الطريقة

عرّف sinh x=(e^x-e^(-x))/2 و cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
متطابقتها هي cosh²x-sinh²x=1.
المشتقات هي sinh prime=cosh و cosh prime=sinh.

حالة محلولة

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad \cosh^2x-\sinh^2x=1$$

مثال

عند x=ln2، تكون e^x=2 و e^(-x)=1/2. وبالتالي cosh x=1.25 و sinh x=0.75. الفرق التربيعي بينهما هو 1.5625-0.5625=1. لعكس y=sinh x، حل معادلة تربيعية في e^x واختر الجذر الموجب.

الدوال الزائدية والعلاقات العكسية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

المتطابقة الزائدية تحتوي على إشارة طرح. دالة cosh ليست واحدة لواحد على جميع المدخلات الحقيقية؛ معكوسها المعتاد يستخدم x≥0.
لا يمكن استبدال المتطابقات الدائرية المثلثية العادية كما هي.

انتبه

غير صحيح: المتطابقة للدوال الزائدية هي cosh²x+sinh²x=1. المتطابقة الزائدية هي cosh²x−sinh²x=1.

تطبيقه

استخدم التعريفات الأسية لإثبات المتطابقات وحل المعادلات.
حدد قيود المجال للدوال العكسية قبل اشتقاقها أو تكاملها.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

جيب التمام الزائدي: الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
عرّف sinh x=(e^x-e^(-x))/2 و cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
انتبه: المتطابقة الزائدية تحتوي على إشارة طرح. دالة cosh ليست واحدة لواحد على جميع المدخلات الحقيقية؛ معكوسها المعتاد يستخدم x≥0.

FP3 · المنحنيات المخروطية، والمنحنيات البارامترية، والاستدلال بالمماس

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

يمكن رسم قطع ناقص بمعامل دوار حتى عندما يكون وصفه كمعادلة واحدة y=f(x) أمراً صعباً.
تدرس هذه الدرس المعادلة البارامترية: وهي تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبرة باستخدام معامل مشترك.

الطريقة

بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
للمنحنيات البارامترية، dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)، حيث dx/dt≠0.
قد يشير المقام الصفر إلى مماس عمودي.

حالة محلولة

$$x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

مثال

لـ x=3cos t,y=2sin t عند t=π/4، يكون الميل (2cos t)/(-3sin t)=-2/3. النقطة هي (3/√2,√2). المساحة داخل القطع الناقص هي πab=6π؛ نصف محوريه هما 3 و2.

القطع المخروطية والمنحنيات البارامترية والاستدلال بالمماس — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

إزالة المعامل قد تفقد قيد المجال أو اتجاه الحركة.
لا يمكن تعيين قيمة dy/dx محدودة للمماس العمودي.
افرق بين المحاور شبه الرئيسية والأطوال الكاملة.

انتبه

غير صحيح: إزالة معلمة تحافظ تلقائياً على كل القيود والاتجاهات. قد تفقد الإزالة القيود: x=t²، y=t تعطي x=y²، لكن x≥0 واتجاه الحركة يجب ذكرهما بشكل منفصل.

تطبيقه

للهندسة التحليلية المتقدمة، استخدم المعادلة التعريفية ومعلمة متسقة.
للتكامل المعلمي في IAL P4، استخدم المتطلبات المحددة في المنهج بدلاً من استيراد جميع المقاطع المخروطية للرياضيات البحتة الإضافية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المعادلة المعلمية: تمثيل تكون فيه الإحداثيات معبّرة باستخدام معلمة مشتركة.
بالنسبة لـ x=a cos t,y=b sin t، فإن إزالة t يعطي x²/a²+y²/b²=1.
انتبه إلى: إزالة معلمة قد تفقد قيداً لمجال التعريف أو اتجاه الحركة.

FP3 · اشتقاق السلسلة، والجداء، والمقام، والاشتقاق الضمني

هل يتغير التعبير الداخلي أيضاً؟

منحنى التكلفة هو قوة لتعبير متغير. اشتقاق القوة الخارجية وحده يفوت معدل مدخلاته.
تدرس هذه الدرس قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية لدالة مركبة.

الطريقة

بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
بالنسبة لحاصل الضرب uv، نشتق لتصبح u prime v+uv prime.
بالنسبة لحاصل القسمة u/v، نستخدم (u prime v-uv prime)/v²، حيث v≠0.

حالة محلولة

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

مثال

بالنسبة لـ y=(3x+1)^4، y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. عند x=0، الميل هو 12. بالنسبة لـ x²+y²=25، اشتق بشكل ضمني: 2x+2y y prime=0، إذن y prime=-x/y عندما y≠0.

الاشتقاق السلسلي، للمنتج، للقسمة والضمني — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.
في الاشتقاق الضمني، تُضرب كل دالة مشتقة من y بعامل dy/dx.
مقام الكسر يُربَّع.

انتبه

غير صحيح: مشتقة u(x)v(x) ليست حاصل ضرب u prime و v prime. قاعدة الضرب هي (uv)′=u′v+uv′: بالنسبة لـ x·x، المشتقة هي 2x، وليست 1×1=1.

تطبيقه

اختر الصيغة المفيدة قبل الاشتقاق: قد يكون فك كثير الحدود القصير أسهل.
بالنسبة للمعدلات المرتبطة، اكتب العلاقة بالرموز، اشتق بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

قاعدة السلسلة: القاعدة التي تضرب المشتقة الخارجية في المشتقة الداخلية للدالة المركبة.
بالنسبة لـ y=f(g(x))، تكون y prime=f prime(g(x))g prime(x).
انتبه: مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقات.

FP3 · التعويض، والتكامل بالأجزاء، والكسور الجزئية

هل يمكننا تكامل العاملين بشكل منفصل؟

حاصل ضرب بسيط يبدو كـ xe^x لا يمكن تكامله عن طريق تكامل كل عامل على حدة.
تدرس هذه الدرس التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل مبنية على مشتقة حاصل الضرب.

الطريقة

استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
بالتجزئة، تكامل u v prime = uv - تكامل u prime v.
للدوال النسبية، قم بالقسمة أولاً إن لزم الأمر، ثم فكّكها إلى كسور جزئية.

حالة محلولة

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

مثال

من أجل تكامل xe^x dx، خذ u=x وv prime=e^x. إذن التكامل هو xe^x-e^x+C. من أجل تكامل 2x/(x²+1) dx، عوض w=x²+1، dw=2x dx؛ الإجابة هي ln(x²+1)+C.

التعويض، التجزئة والكسور الجزئية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

اختيار u وv prime بشكل جيد مهم: يجب أن يصبح التكامل المتبقي أبسط.
في التعويض المحدد، غيّر الحدود إما أو عد إلى x قبل تطبيق الحدود الأصلية.

انتبه

غير صحيح: تكامل الضرب يساوي ضرب التكاملات المنفصلة. يتطلب الضرب طريقة مثل التكامل بالتجزئة أو التعويض: ∫x·x dx=x³/3، وليس (x²/2)(x²/2).

تطبيقه

تحقق عن طريق الاشتقاق.
لحجم الدوران حول محور x استخدم V=π تكامل y² dx؛ لا تخلط بين مربع الدالة وتكامل الدالة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التكامل بالتجزئة: طريقة تكامل تعتمد على مشتقة حاصل الضرب.
استخدم التعويض عندما يظهر المشتق الداخلي كعامل.
انتبه: اختيار u و v prime بشكل صحيح مهم؛ يجب أن تصبح التكامل المتبقي أبسط.

FP3 · المتجهات المكانية، والخطوط والزوايا

هل يمكن لمسارات غير متوازية أن تظل بعيدة عن بعضها؟

يمكن لمسارين في الفضاء أن يكونا neither parallel nor intersecting. قد يخفي الرسم ثنائي الأبعاد تباعدهما.
تدرس هذه الدرس متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه خط.

الطريقة

المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
لإيجاد نقطة التقاطع، ساوِ جميع المكونات وحل لكلا معلمتي المستقيم.
لحساب الزاوية استخدم a·b=|a||b|cosθ حيث الضرب القياسي موجود في المنهج المقرر.

حالة محلولة

$$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$$

مثال

لـ a=(1,2,3)، b=(2,-1,2)، يعطي λ=2 r=(5,0,7). مقدار b هو √(4+1+4)=3. مع c=(1,0,-1)، يكون b·c=2-2=0، لذا f و g متعامدان.

المصفوفات المكانية والخطوط والزوايا — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

إرضاء معادلتين مكونتين لا يضمن إرضاء الثالثة.
المستقيمان غير المتوازيين قد يكونان متخالفين.
متجه الاتجاه للخط ليس هو متجه موضعه، والمعامل القياسي لا يمتلك وحدات إحداثيات.

انتبه

غير صحيح: أي خطين غير متوازيين في الفضاء ثلاثي الأبعاد يجب أن يتقاطعا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن أن تكون الخطوط غير المتوازية مائلة: حيث لا تتقاطع.

تطبيقه

حدد ما إذا كان الزاوية المطلوبة حادة، أو موجهة، أو زاوية بين خطين.
استخدم طريقة المستوى أو المسافة المحددة للمنهج فقط عند الحاجة الفعلية لذلك الوحدة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

متجه الاتجاه: متجه غير صفري يعطي اتجاه الخط.
المستقيم له r=a+λb حيث a هو متجه الموضع وb متجه الاتجاه غير المعدوم.
انتبه إلى: تحقق معادلتين مركبتين لا يضمن تحقق الثالثة.

FP3 · تحويلات المصفوفات، والمقلوبات، والقيم الذاتية

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

التمثيز يمد في اتجاه ويشوه آخر. المصفوفة تسجل تحويل كل متجه أساس.
هذه الدرس يدرس المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس وفي بعدين، عامل مساحتها الموجه.

الطريقة

مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
حوّل متجهات الأعمدة بالضرب من اليسار.
المصفوفة اليمنى تعمل أولاً في الضرب.

حالة محلولة

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

مثال

بالنسبة للمصفوفة A=[[2,1],[0,3]]، محدد المصفوفة det A=6. A(1,2)=(4,6). معكوسها هو [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. المعادلة المميزة هي (2-λ)(3-λ)=0، لذا فإن القيم الذاتية هي 2 و3.

تحويلات المصفوفات والعكوس والقيم الذاتية — رسم تعليمي أصيل

أين يكمن الخطأ

ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.
المحدد الصفري يعني أن التحويل يفقد بُعداً ولا يوجد له معكوس.
القيم الذاتية والتقطيع موضوعات متقدمة، وليست ضمن محتوى المتجهات GCSE العادي.

انتبه

غير صحيح: كل مصفوفة مربعة لها معكوس. المصفوفة المربعة ذات المحدد 0 مفقودة (singular) وليس لها معكوس.

تطبيقه

أوجد متجه ذاتي بحل المعادلة (A-λI)v=0 مع v≠0.
اشرح المعنى الهندسي: هذا المتجه يحافظ على اتجاهه الخطي تحت التحويل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit FP3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المحدد: مقدار قياسي يحدد ما إذا كانت مصفوفة مربعة قابلة للعكس، وفي بعدين يمثل عامل مساحتها الموجهة.
مصفوفة أبعادها 2×2 [[a,b],[c,d]] لها محدد ad-bc ومعكوس [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) إذا كان المحدد غير صفري.
انتبه: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً عادةً.

M1 · الحركة وقوانين نيوتن

أي قوة تُسرِّع العربة؟

تتسارع عربة بينما تقاوم الاحتكاك حركتها. قوة المحرك وحدها لا تساوي الكتلة مضروبة في التسارع.
تدرس هذه الدرس القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُموَّه.

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
استخدم القوة المحصلة F=ma.
للتسارع الثابت، v=u+at و s=ut+at²/2.
نموذج الجسيم يتجاهل الحجم؛ السطح الناعم يتجاهل الاحتكاك.

حالة محلولة

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

مثال

عربة كتلتها 5 كجم لها قوة دفع 18 نيوتن ومقاومة 3 نيوتن. المحصلة هي 15 نيوتن، لذا a=15/5=3 م/ث². البدء من السكون لمدة 4 ث gives v=0+3×4=12 م/ث و s=0×4+3×4²/2=24 م.

الحركة والقوانين النيوتنية — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.
نماذج الجسيمات المتصلة تتطلب معادلة واحدة لكل جسيم وعلاقة تسارع متسقة.
لا يمكن استخدام صيغ التسارع الثابت لتسارع متغير عشوائي.

انتبه

غير صحيح: تنطبق صيغ التسارع الثابت دون تغيير عندما يتغير التسارع مع الزمن. صيغ suvat تتطلب تسارعًا ثابتًا؛ عندما يتغير التسارع، استخدم التفاضل والتكامل.

تطبيقه

اشرح ما يسمح به كل تبسيط وما يتركه خارج الاعتبار.
لمخطط السرعة-الزمن، يمثل الميل التسارع والمساحة الموقعة الإزاحة.

في مسارك الدراسي

بيزون إديكسل International A Level Further Mathematics، الوحدة M1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُمثَّل.
اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
انتبه: قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.

M1 · المتجهات والتحويلات الهندسية

لماذا يكون الإزاحة أقصر من المسافة المقطوعة؟

المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

الطريقة

أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
الإزاحة تحرك كل نقطة بنفس المتجه؛ والضرب القياسي يغير الطول وقد يغير الاتجاه.

حالة محلولة

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

مثال

مع a=(4,1) وb=(1,3)، فإن a+b=(5,4). من A=(1,2) إلى B=(5,5)، الإزاحة AB=(4,3). مقدارها هو √(4²+3²)=5.

المتجهات والهندسة التحويلية — الرسم التوضيحي التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.
لإثبات التوازي، يجب وجود علاقة مضاعف قياسي؛ والمخطط وحده لا يكفي.
التمدد السالب يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.

انتبه

غير صحيح: المتجهان AB وBA لهما نفس المكوّنات. يتجه BA في الاتجاه المعاكس لـAB، لذا BA = -AB: تتغير إشارة كل مكوّن.

تطبيقه

استخدم مكوّنات المتجهات والمضاعفات القياسية والمقادير للإزاحات والقوى.
هذه الوحدة لا تتطلب الضرب القياسي.

في مسارك الدراسي

بيزون إديكسل International A Level Further Mathematics، الوحدة M1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

المتجه المحصل: هو مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المجتمعة.
أضف مركبات المتجهات المقابلة وطرح متجهات الموقع لإزاحة.
انتبه إلى أن ترتيب الطرح مهم: BA = -AB.

M1 · العزوم، الاتزان ومراكز الثقل

لماذا يساعد المفتاح الطويل؟

يسهل المفتاح الطويل تدوير الصامولة. يعتمد تأثير الدوران على المسافة العمودية بالإضافة إلى القوة.
تدرس هذه الدرس العزم: حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.

الطريقة

للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
خذ العزوم حول نقطة ارتكاز مفيدة لإزالة القوى المجهولة المارة عبر تلك النقطة.
مركز الكتلة المشترك هو متوسط وزن الموضع بناءً على الكتلة.

حالة محلولة

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

مثال

عارضة منتظمة طولها 4 م وزنها 100 نيوتن مدعومة من الطرفين. قوة إضافية مقدارها 60 نيوتن تؤثر على مسافة 1 م من اليسار. العزوم حول الطرف الأيسر تعطي 4R_right=100×2+60×1=260، إذن R_right=65 نيوتن. التوازن الرأسي يعطي R_left=95 نيوتن.

العزوم والتوازن ومراكز الكتلة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.
محصلة قوى صفرية وحدها لا تمنع الدوران.
قد يفقد الدعم الذي يتطلب رد فعل عادي سالب الاتصال.

انتبه

غير صحيح: محصلة القوى الصفرية وحدها كافية لتوازن الجسم الصلب. التوازن يتطلب أيضًا أن تكون محصلة العزوم صفرًا؛ قوتان متساويان ومتعاكسان على خطين مختلفين يسببان دوران الجسم.

تطبيقه

للوح رقيق مكون من أجزاء، اختر أصلًا مشتركًا وجدول مساهمات مساحة-الكتلة ذات الإشارة لكل جزء.
المنطقة المحذوفة لها كتلة سالبة في هذه الحسابات، وليست مادة جسدية جديدة سالبة.

في مسارك الدراسي

بيزون إديكسل International A Level Further Mathematics، الوحدة M1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

العزم: القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.
للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
انتبه: استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.

M1 · المستويات المائلة، الاحتكاك والجسيمات المترابطة

هل الاحتكاك وصل بالفعل إلى أقصى قيمة له؟

صندوق على منحدر في حالة سكون. يمكن للاحتكاك أن يتكيف لموازنة القوة للأسفل على المنحدر؛ ولا يجب أن يكون بالضرورة في أقصى قيمة له.
تدرس هذه الدرس الاحتكاك الحرج: أقصى احتكاك ساكن قبل الانزلاق، يساوي μ مضروبًا في رد الفعل العمودي في النموذج.

الطريقة

حلل الموازي والعمودي على المستوى.
مركبات الوزن هي mg sinθ وmg cosθ.
الاحتكاك الساكن يحقق F≤μR ويساوي μR فقط عند الحالة الحدية.
اكتب معادلات منفصلة للجسيمات المتصلة.

حالة محلولة

$$R=mg\cos\theta,\qquad F\le\mu R$$

مثال

صندوق كتلته 5 كجم على منحدر بزاوية 30° لديه R=5×9.8×cos30°≈42.44 نيوتن. مركبة الوزن للأسفل هي 24.5 نيوتن. مع μ=0.6، فإن أقصى احتكاك ≈25.46 نيوتن، لذا الاتزان ممكن باحتكاك 24.5 نيوتن.

المستويات المائلة، الاحتكاك والجسيمات المتصلة — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الاحتكاك يعاكس الحركة أو الميل للحركة، وليس بالضرورة اتجاه المحور الإحداثي.
حبل خفيف مشدود غير قابل للتمدد يمر على بكرة ناعمة يعطي توترًا متساويًا ومقدار تسارع مشترك؛ لكل افتراض وظيفة.

انتبه

غير صحيح: الاحتكاك الساكن يساوي μR تمامًا حتى عندما لا يكون الجسم على وشك الانزلاق. الاحتكاك الساكن أقصاه μR؛ ويساوي μR فقط عندما يكون الجسم على وشك الانزلاق.

تطبيقه

ابدأ بمخططات القوى واتجاه مقترح للحركة.
إذا تعارض الاتجاه المحسوب مع افتراض الاحتكاك، أعد النظر في النموذج بدلاً من الحفاظ على إشارات غير متناسقة.

في مسارك الدراسي

بيزون إديكسل International A Level Further Mathematics، الوحدة M1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الاحتكاك الحدي: أقصى احتكاك ساكن قبل الانزلاق، ويساوي μ مضروبًا في رد الفعل العمودي في النموذج.
حلل الموازي والعمودي على المستوى.
انتبه إلى: الاحتكاك يعاكس الحركة أو الميل للحركة، وليس بالضرورة اتجاه المحور الإحداثي.

M2 · الحركة وقوانين نيوتن

أي قوة تُسرِّع العربة؟

تتسارع عربة بينما تقاوم الاحتكاك حركتها. قوة المحرك وحدها لا تساوي الكتلة مضروبة في التسارع.
تدرس هذه الدرس القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُموَّه.

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
استخدم القوة المحصلة F=ma.
للتسارع الثابت، v=u+at و s=ut+at²/2.
نموذج الجسيم يتجاهل الحجم؛ السطح الناعم يتجاهل الاحتكاك.

حالة محلولة

$$F_{\mathrm{resultant}}=ma,\qquad s=ut+\frac12 at^2$$

مثال

أين يكمن الخطأ

قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.
نماذج الجسيمات المتصلة تتطلب معادلة واحدة لكل جسيم وعلاقة تسارع متسقة.
لا يمكن استخدام صيغ التسارع الثابت لتسارع متغير عشوائي.

انتبه

تطبيقه

اشرح ما يسمح به كل تبسيط وما يتركه خارج الاعتبار.
لمخطط السرعة-الزمن، يمثل الميل التسارع والمساحة الموقعة الإزاحة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

القوة المحصلة: المجموع الاتجاهي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم المُمثَّل.
اختر اتجاهًا موجبًا وارسم مخطط القوى.
انتبه: قد لا يساوي رد الفعل العمودي الوزن على ميلان.

M2 · العزوم، الاتزان ومراكز الثقل

لماذا يساعد المفتاح الطويل؟

يسهل المفتاح الطويل تدوير الصامولة. يعتمد تأثير الدوران على المسافة العمودية بالإضافة إلى القوة.
تدرس هذه الدرس العزم: حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.

الطريقة

للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
خذ العزوم حول نقطة ارتكاز مفيدة لإزالة القوى المجهولة المارة عبر تلك النقطة.
مركز الكتلة المشترك هو متوسط وزن الموضع بناءً على الكتلة.

حالة محلولة

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

مثال

أين يكمن الخطأ

استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.
محصلة قوى صفرية وحدها لا تمنع الدوران.
قد يفقد الدعم الذي يتطلب رد فعل عادي سالب الاتصال.

انتبه

تطبيقه

للوح رقيق مكون من أجزاء، اختر أصلًا مشتركًا وجدول مساهمات مساحة-الكتلة ذات الإشارة لكل جزء.
المنطقة المحذوفة لها كتلة سالبة في هذه الحسابات، وليست مادة جسدية جديدة سالبة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

العزم: القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.
للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
انتبه: استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.

M2 · الشغل، الطاقة، القدرة والتصادمات

ماذا يخبرنا ارتداد أبطأ؟

يرتد كرة ببطء بعد الاصطدام بجدار. الزخم والطاقة الحركية يجيبان عن أجزاء مختلفة من قصة التصادم.
تدرس هذه الدرس معامل الاسترجاع: نسبة سرعة الانفصال النسبية إلى سرعة الاقتراب النسبية على طول خط الاصطدام.

الطريقة

الشغل هو القوة مضروبة في الإزاحة في اتجاهها.
الطاقة الحركية هي mv²/2 والطاقة الكامنة الجاذبية هي mgh.
الزخم يُحفظ في التصادم المعزول؛ ومعامل الاستعادة يعطي علاقة السرعة النسبية، وليس حفظ الطاقة الحركية.

حالة محلولة

$$E_k=\frac12 mv^2,\qquad W=Fs,\qquad P=\frac{dE}{dt}$$

مثال

جسيم كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 6 m/s لديه طاقة حركية 2×6²/2=36 J. إذا أوقفه قوة معاكسة ثابتة مقدارها 3 N، فإن الشغل=3s=36، مما يعطي s=12 m. ارتداد جدار بسرعة اقتراب 5 ومعامل e=0.6 له سرعة ارتداد 3 m/s في الاتجاه المعاكس.

الشغل، الطاقة، القدرة والاصطدامات — رسم توضيحي تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

يُحفظ الزخم فقط عندما يكون الدفع الخارجي ضئيلاً جداً.
تُفقد الطاقة الحركية عموماً في التصادم غير المرن.
القدرة هي معدل انتقال الطاقة، وليست كمية طاقة.

انتبه

غير صحيح: كل تصادم يحفظ الطاقة الحركية. تُحفظ الطاقة الحركية فقط في التصادمات المرنة تماماً؛ بينما يُحفظ الزخم في جميع التصادمات.

تطبيقه

حدد إشارات الاتجاه قبل كتابة معادلات التصادم.
لمسألة الحركة المترابطة، اختر النظام بأكمله للطاقة عند تلغي الشد الداخلي؛ واحسب شغل الاحتكاك بشكل صريح.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

معامل الارتداد: نسبة سرعة الانفصال النسبية إلى سرعة الاقتراب النسبية على طول خط التصادم.
الشغل هو القوة مضروبة في الإزاحة في اتجاهها.
انتبه: يُحفظ الزخم فقط عندما يكون الدفع الخارجي ضئيلاً جداً.

M2 · حركة المقذوفات والتسارع المتغير

لماذا يشارك الحركة الأفقية الوقت الرأسي؟

تُطلق كرة بزاوية. تتشارك حركتها الأفقية والرأسية في الوقت لكنها تتبع معادلات مختلفة.
تدرس هذه الدرس القذيفة: جسيم يتحرك تحت تأثير الجاذبية بعد الإطلاق في نموذج يتجاهل مقاومة الهواء.

الطريقة

حلل السرعة الابتدائية إلى مركبة أفقية u cosθ ومركبة عمودية u sinθ.
بدون مقاومة هواء، التسارع الأفقي يساوي صفراً والتسارع العمودي يساوي -g.
استخدم نفس الزمن في كلا المركبتين.

حالة محلولة

$$x=u_x t,\qquad y=u_y t-\frac12 gt^2$$

مثال

بالنسبة للمركبات u_x=12,u_y=16 و g=9.8، عند t=2 s تكون الإزاحة الأفقية x=12×2=24 m والإزاحة الرأسية y=16×2-9.8×2²/2=12.4 m. عند أعلى نقطة، v_y=0 لكن v_x يبقى 12.

حركة القذيفة والتسارع المتغير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

انعدام السرعة العمودية عند أعلى نقطة لا يعني انعدام السرعة الكلية.
ارتفاع الإطلاق والهبوط قد لا يكونان متساويين.
لا تستخدم صيغة المدى التي تفترض تساوي الارتفاعات دون التحقق منها.

انتبه

غير صحيح: السرعة الكلية لجسم مقذوف تساوي صفراً عند أعلى نقطة. عند القمة تكون السرعة العمودية صفراً، لكن السرعة الأفقية تستمر، لذا فإن السرعة لا تساوي صفراً.

تطبيقه

لتسارع متغير، قم بتكامل a(t) للحصول على v(t) واستخدم السرعة الابتدائية لإيجاد الثابت، ثم تكامل للإزاحة.
تحقق من الوحدات والفيزيائي للفترة الزمنية.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الجسم المقذوف: جسيم يتحرك تحت تأثير الجاذبية بعد الإطلاق في نموذج يتجاهل مقاومة الهواء.
حلل السرعة الابتدائية إلى مركبة أفقية u cosθ ومركبة عمودية u sinθ.
انتبه: انعدام السرعة العمودية عند أعلى نقطة لا يعني انعدام السرعة الكلية.

M3 · المرونة، والحركة الدائرية، وديناميكيات متغيرة

أي طول يمدد الزنبرك؟

الزنبرك الممدود يخزن طاقة. الجسيم المتحرك في دائرة يحتاج إلى قوة محصلة نحو المركز، حتى عند ثبات السرعة.
تدرس هذه الدرس الامتداد: وهو زيادة طول الوتر المرن أو الزنبرك عن طوله الطبيعي.

الطريقة

بالنسبة لوتر مرن، يكون الشد = λx/l عند مدّه، حيث الطول الطبيعي هو l والمعامل هو λ.
الطاقة المرنة = λx²/(2l).
بالنسبة للحركة الدائرية، التسارع الشعاعي = v²/r؛ قم بتحليل القوى الفعلية في الاتجاه الشعاعي.

حالة محلولة

$$T=\frac{\lambda x}{l},\qquad E=\frac{\lambda x^2}{2l},\qquad F_r=\frac{mv^2}{r}$$

مثال

مع λ=40 N,l=2 m,x=0.3 m، الشد=40×0.3/2=6 N والطاقة المرنة=40×0.3²/(2×2)=0.9 J. جسيم كتلته 2 kg بسرعة 3 m/s على نصف قطر 1.5 m يحتاج قوة محصلة داخلية=2×3²/1.5=12 N.

المرونة والحركة الدائرية والديناميكيات المتغيرة — الرسم التوضيحي الأصلي للدروس

أين يكمن الخطأ

القوة المركزية هي اسم للمحصلة المتجهة للداخل، وليست قوة إضافية تُضاف إلى الرسم البياني.
الوتر المرن غير المشدود ليس له شد.
تميّز بين الاستطالة والطول الكلي بعد المد.

انتبه

غير صحيح: القوة المركزية قوة إضافية يجب إضافتها إلى جميع القوى الحقيقية. القوة المركزية هي محصلة القوى الحقيقية، مثل الشد أو الاحتكاك، وليست قوة إضافية.

تطبيقه

للتسارع المتغير، استخدم a=dv/dt أو a=v dv/dx عند الاقتضاء.
اجمع علاقة الحركة المختارة مع نموذج القوة أو الطاقة، ثم تحقق من نطاق الحركة المسموح به.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

التمدد: الزيادة في طول وتر مرن أو نابض عن طوله الطبيعي.
بالنسبة لوتر مرن، يكون الشد = λx/l عند مدّه، حيث الطول الطبيعي هو l والمعامل هو λ.
انتبه: القوة المركزية هي اسم للمحصلة المتجهة للداخل، وليست قوة إضافية تُضاف إلى الرسم البياني.

M3 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه الحالي. تصف معادلة المعدل عائلة كاملة حتى يتم توفير عدد سكان أولي.
تدرس هذه الدرس الشرط الأولي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من العائلة.

الطريقة

بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد A.
طريقة أويلر تأخذ y التالية = y+h f(x,y)، مع خطوة مختارة h.

حالة محلولة

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

مثال

مع dy/dx=0.5y و y(0)=2، يكون y=2e^(0.5x). أويلر مع h=0.2 يعطي y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 و y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. القيمة الدقيقة الثانية حوالي 2.4428.

أين يكمن الخطأ

يحدد الشرط الابتدائي ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.
القسمة على y قد تستبعد الحل التوازني y=0.
دقة إويلر تعتمد على حجم الخطوة والمعادلة.

انتبه

تطبيقه

بالنسبة للمعادلات الخطية من الرتبة الثانية، ادمج الدالة التكميلية مع تكامل خاص مناسب، ثم طبق الشروط الابتدائية المطلوبة.
هذا ضمن نطاق الرياضيات المتقدمة؛ تحقق من الوحدة المسماة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشرط الابتدائي: قيمة محددة تختار حلاً معيناً من بين عائلة من الحلول.
بالنسبة لـ dy/dx=ky، افصل المتغيرات: dy/y=k dx، مما يعطي y=Ae^(kx).
انتبه: الشرط الابتدائي يحدد ثابت التكامل؛ وهو لا يحل محل عملية التكامل.

M3 · العزوم، والاتزان، ومراكز الثقل

لماذا يساعد المفتاح الطويل؟

يسهل المفتاح الطويل تدوير الصامولة. يعتمد تأثير الدوران على المسافة العمودية بالإضافة إلى القوة.
تدرس هذه الدرس العزم: حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.

الطريقة

للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
خذ العزوم حول نقطة ارتكاز مفيدة لإزالة القوى المجهولة المارة عبر تلك النقطة.
مركز الكتلة المشترك هو متوسط وزن الموضع بناءً على الكتلة.

حالة محلولة

$$M=Fd_{\perp},\qquad \sum M=0,\qquad \sum \mathbf F=\mathbf0$$

مثال

أين يكمن الخطأ

استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.
محصلة قوى صفرية وحدها لا تمنع الدوران.
قد يفقد الدعم الذي يتطلب رد فعل عادي سالب الاتصال.

انتبه

تطبيقه

للوح رقيق مكون من أجزاء، اختر أصلًا مشتركًا وجدول مساهمات مساحة-الكتلة ذات الإشارة لكل جزء.
المنطقة المحذوفة لها كتلة سالبة في هذه الحسابات، وليست مادة جسدية جديدة سالبة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics, unit M3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

العزم: القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عملها إلى نقطة الارتكاز.
للتوازن، يجب أن يكون كل من القوة المحصلة والعزم المحصل مساويين للصفر.
انتبه: استخدم ذراع العزم العمودي، وليس المسافة القطرية إلى نقطة التطبيق.

S1 · ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

الطريقة

قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
استخدام المدرج التكراري يعتمد على المساحة للتكرار، لذا الارتفاع = التكرار / عرض الفئة.
التقديرات المجمعة تفترض وجود قيم تمثيلية داخل الفئات.

حالة محلولة

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

مثال

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

ليس بالضرورة أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.
المتوسط المجموع هو تقدير.
الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء الامتدادي يتجاوز النطاق المرصود.

انتبه

غير صحيح: ارتفاع عمود المدرج التكراري يساوي تكراره، حتى مع عدم تساوي أوسع الفئات. مع عدم تساوي أوسع الفئات، يكون الارتفاع هو كثافة التكرار؛ والتكرار هو مساحة العمود.

تطبيقه

اختر عرضاً يتناسب مع نوع البيانات.
قدم مقارنة عددية وما تعنيه بالنسبة للسكان، ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة S1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الكثافة التكرارية: التكرار مقسوماً على عرض الفئة، وتُستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.
قارن المتوسط المناسب والتشتت في السياق.
انتبه: لا يشترط أن يحتوي أعلى عمود في المدرج التكراري على أكثر المشاهدات.

S1 · الاحتمالات، الأشجار والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

الطريقة

اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
عند الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً.
الاحتمال الشرطي هو P(A المعطى B)=P(A∩B)/P(B)، من أجل P(B)>0.

حالة محلولة

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

مثال

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

الانحياز المتبادل يعني عدم وجود تداخل؛ الاستقلالية تعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر.
الحدثان المنفصلان ذات الاحتمال الموجب ليسا مستقلين.

انتبه

غير صحيح: الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة ليست مستقلة. الأحداث المتبادلة الاستبعاد ذات الاحتمالات الموجبة مرتبطة: إذا حدث أحدهما، فلا يمكن للآخر أن يحدث، لذا P(A و B) = 0 ≠ P(A)P(B).

تطبيقه

الجدول ثنائي الأبعاد يجعل المقام المحدود واضحًا.
قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة S1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الاحتمال الشرطي: احتمال حدث بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.
اضرب على طول فرع الشجرة وأجمع الفروع المنفصلة.
انتبه: المتبادلة الاستبعاد تعني عدم التداخل؛ الاستقلال يعني أن معرفة حدوث أحد الأحداث لا يغير احتمال الآخر.

S1 · الانحدار، النماذج المالية والباقيات

هل يدعم التنبؤ البيانات؟

خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

الطريقة

النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
افحص البواقي ونطاق البيانات.
للتغيير المئوي المتكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ وللقرض افرق بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.

حالة محلولة

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

مثال

النموذج الملائم t=8+2d يتنبأ بـ 18 دقيقة عند d=5 كم. إذا كان الوقت الملاحظ هو 21، فإن الباقي (residual) هو 3 دقيقة. إيداع ¥1000 بفائدة سنوية مركبة 5% يصبح 1000×1.05³=1157.625 بعد 3 سنوات.

الانحدار، النماذج المالية والمخلفات — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.
معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل.
يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، والتحقق منه وتفسيره.

انتبه

غير صحيح: يسمح الارتباط العالي بالاستنباط الخارجي موثوق إلى أي مسافة. النموذج المُعدّ على البيانات يكون موثوقاً فقط بالقرب من تلك البيانات؛ والاستنباط الخارجي بعيداً عنها غير موثوق.

تطبيقه

في IB AI، سجل مصدر البيانات، والمجال، والافتراضات، وطريقة الآلة الحاسبة.
قارن نموذجاً بديلاً وحكم على التنبؤات مقابل البواقي.
يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كان الفائدة مركباً.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة S1.

الفكرة الرئيسية

الباقية: القيمة المرصودة ناقص القيمة التي تنبأ بها النموذج المُعدّ.
النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
انتبه: عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.

S1 · نماذج ثنائية الحد، الطبيعية وبيسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

للمتغير العشوائي المتقطع، اجمع الاحتمالات لتصل إلى 1 واحسب E(X)=مجموع xP(X=x).
لنموذج التوزيع الطبيعي، استخدم z=(x-μ)/σ واحسب المساحة المناسبة.

حالة محلولة

$$E(X)=\sum xP(X=x),\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

مثال

إذا كانت X تأخذ 0,1,2 باحتمالات 0.2,0.5,0.3، فإن E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1. أيضًا E(X²)=0+0.5+1.2=1.7، لذا Var(X)=1.7-1.1²=0.49. بالنسبة لـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.

انتبه

غير صحيح: المتغير العشوائي الذي له ثلاث قيم ممكنة يجب أن يكون ثنائي الحد. يتطلب نموذج ثنائي الحد تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المعتمدة تكسره.

تطبيقه

تشمل S1 المتغيرات العشوائية المنفصلة وتوزيع التوزيع الطبيعي.
تُعد النماذج الثنائية ونموذج بواسون من محتوى 2.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة S1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
للمتغير العشوائي المتقطع، اجمع الاحتمالات لتصل إلى 1 واحسب E(X)=مجموع xP(X=x).
انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

S2 · نماذج ثنائية الحد، الطبيعية وبيسون

ما الذي يجعل العدد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

الطريقة

النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
E(X) = np و Var(X) = np(1 - p).
لنموذج التوزيع الطبيعي استخدم z = (x - μ) / σ.
يصف نموذج بواسون العدود بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.

حالة محلولة

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

مثال

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

أين يكمن الخطأ

ليست كل العدادات تتبع التوزيع الثنائي: تغيير p أو وجود الاعتمادية قد يلغي صلاحيته.
بالنسبة لمتغير مستمر، احتمال قيمة واحدة دقيقة يساوي صفرًا.
تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.

انتبه

غير صحيح: كل عداد للنجاحات يتبع التوزيع الثنائي بغض النظر عن الاستقلالية. النموذج الثنائي يحتاج تجارب مستقلة باحتمال ثابت؛ التجارب المرتبطة تحطمه.

تطبيقه

اكتب الحدث كمتباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة.
اميز بين P(X < k) و P(X ≤ k) ومكمل الذيل.
صغ الافتراضات في سياق المسألة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة 2.

الفكرة الرئيسية

القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي.
النموذج الثنائي يحتاج إلى n ثابتة، تجارب مستقلة، نتيجتين، و p ثابت.
انتبه: ليست كل عدود تتبع التوزيع ثنائي الحد؛ فإن تغير الاحتمال أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته.

S2 · أخذ العينات ومجموعة بيانات كبيرة

من غائب في البيانات؟

قاعدة بيانات الطقس تحتوي على سجل مفقود ومحطات عدة. معاملة كل صف على أنه متطابق قد يشوه المقارنة.
تدرس هذه الدرس إطار العينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.

الطريقة

حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
ميّز بين المعاينة العشوائية، والمنهجية، والطبقية، والكمية، وفرصة الوصول.
البيانات المفقودة لا تساوي صفراً؛ تحقق من الوحدات والتواريخ وتعريف المتغيرات قبل مقارنة العينات.

حالة محلولة

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$

مثال

المجتمع يحتوي على 120 طالبًا في مجموعة و80 في أخرى. عينة طبقية متناسبة بحجم 30 تتطلب 30×120/200=18 من الأولى و12 من الثانية. ثم يجب إجراء اختيار عشوائي داخل كل مجموعة.

العينة ومجموعة بيانات كبيرة — رسم تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.
الطبقة ليست نفسها اختيار أي شخص متاح من كل مجموعة.
معرفة AQA للبيانات الكبيرة تتطلب البيانات الفعلية والمعلومات الوصفية المقدمة، وليس قيم الطقس المبتكرة.

انتبه

غير صحيح: مضاعفة عينة ذات تحيز تلغي تحيز الاختيار الخاص بها. عينة أكبر يتم جمعها بنفس الطريقة المنحازة تحتفظ بنفس التحيز؛ فقط تحسين طريقة المعاينة يزيله.

تطبيقه

بالنسبة لـ AQA، استخدم مجموعة البيانات الرسمية في مهمة جداول بيانات خاضعة للإشراف: حدد متغيراً، وبرر المقارنة، وفحص القيم المفقودة، وأنشئ عرضاً، واشرح قيداً.
احفظ القرارات مع التحليل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

إطار المعاينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.
حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
انتبه: عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.

S2 · اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية

هل يمكن أن يفسر الحظ النتيجة؟

تدعي مصنع أن نسبة المنتجات المعيبة فقط 10%. تحتوي العينة على عدد أكبر من العيوب، لكن الحظ وحده قد يفسر بعض الفروق.
يدرس هذا الدرس مستوى الدلالة: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.

الطريقة

صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
احسب احتمال الذيل المناسب تحت فرضية H₀.
ارفض H₀ عندما يحقق الدليل قاعدة المعنى المحددة؛ وإلا فقل إن الدليل غير كافٍ.

حالة محلولة

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

مثال

For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

اختبار الفرضيات والاستنتاجات السياقية — المخطط التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.
اختر الذيل بناءً على H₁، وليس بناءً على أي ذيل يعطي نتيجة صغيرة.
المعنى الإحصائي لا يقيس الحجم العملي للتأثير.

انتبه

غير صحيح: عدم رفض فرضية الصفر يثبت أنها صحيحة. عدم رفض فرضية الصفر يعني فقط عدم وجود ما يكفي من الأدلة ضدها.

تطبيقه

انهِ بجملة تتناول المجتمع والادعاء الأصلي.
State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

مستوى المعنى: عتبة الاحتمال المختارة لرفض فرضية الصفر.
صغ H₀ و H₁ بدلالة معلمات المجتمع قبل فحص النتيجة.
انتبه: عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحة H₀.

S2 · التوزيعات المستمرة ودوال الكثافة

هل الارتفاع هو نفسه الاحتمال؟

يمكن أن تأخذ وقت الانتظار أي قيمة في فترة. يأتي احتمالها من المساحة، وليس من ارتفاع الرسم البياني عند لحظة واحدة.
تدرس هذه الدرس كثافة الاحتمال: دالة غير سالبة تكاملها على فترة يعطي احتماليها.

الطريقة

يجب أن تكون الكثافة f غير سالبة وتتكامل لتعطي 1 على مجالها.
دالة التوزيع التراكمي F(x) هي التكامل حتى x.
للمتغير المستمر P(X=x)=0 و E(X) هو تكامل xf(x).

حالة محلولة

$$\int f(x)\,dx=1,\qquad E(X)=\int xf(x)\,dx$$

مثال

لنفرض f(x)=kx على 0≤x≤2 وصفر في مكان آخر. التعيير يعطي integral_0^2 kx dx=2k=1، لذا k=1/2. ثم P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 و E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3.

التوزيعات المستمرة ودوال الكثافة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

يمكن للكثافة أن تتجاوز 1 دون أن تكون غير صالحة؛ يجب أن يساوي المساحة الكلية 1.
لا يمكن لدالة التوزيع التراكمي أن تنخفض.
شمل منطقة الكثافة الصفرية خارج المجال عند تعريف النموذج الكامل.

انتبه

غير صحيح: للمتغير المستمر يكون P(X=x) مساويًا لارتفاع الكثافة f(x). بالنسبة للمتغير المستمر P(X=x)=0؛ الاحتمالات هي مساحات تحت منحنى الكثافة.

تطبيقه

لتوزيع منتظم، الكثافة هي مقلوب طول الفترة.
أوجد الوسيط أو المئات باستخدام الاحتمال التراكمي، واستخدم تكاملاً واعياً للدعم لحساب العزوم.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة 2.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

كثافة الاحتمال: دالة غير سالبة يكون تكاملها على فترة ما مساوياً للاحتمال.
يجب أن تكون الكثافة f غير سالبة وتتكامل لتعطي 1 على مجالها.
انتبه: يمكن أن تتجاوز الكثافة 1 دون أن تكون غير صالحة؛ يجب أن يساوي إجمالي المساحة 1.

S3 · فترات الثقة، وكاي-تربيع، والانحدار

كم مقدار عدم اليقين في متوسط العينة؟

تعطي عينتان مختلفتان وسطين مختلفين. نحتاج إلى عبارة عن عدم اليقين في العينات، وليس وعداً بأن عينة واحدة تساوي المجتمع.
تدرس هذه الدرس الفترة الموثوقة: فترة تُحسب بإجراء مصمم لتغطية معياري المجتمع بمعدل طويل الأمد مُعلن.

الطريقة

للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
لتوزيع كاي-تربيع، اجمع (الملاحظة-التوقع)²/التوقع مع عدد الدرجات الصحيحة للحرية.
اختر اختباراً يناسب البيانات والافتراضات.

حالة محلولة

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

مثال

مع المتوسط=50، σ=10، n=100، الخطأ المعياري=1، والفترة 95% هي [48.04,51.96]. للعدود الملاحظة 30 و20 مقابل التوقعة 25 و25، كاي-تربيع=25/25+25/25=2، قبل تحديد درجات الحرية والعتبة الحرجة للرفض.

فترات موثوقة، كاي-تربيع والانحدار — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.
التأثيرات المتوقعة والمعايير المقدرة تؤثر على صحة اختبارات كاي-تربيع وعدد درجات الحرية.

انتبه

غير صحيح: الارتباط القوي وحده لا يثبت علاقة سببية. يظهر الارتباط ارتباطاً؛ وقد تفسره متغير ثالث أو الصدفة، لذا تتطلب السببية تجربة أو أدلة أخرى.

تطبيقه

أدرج عدم اليقين في السياق.
في الانحدار، افحص البواقي، وتجنب الاستقراء غير المبرر، وُميّز بين العلاقة الملائمة والتفسير السببي.
يتطلب S3 و IB AI HL حدود نطاق موثقة مختلفة.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، الوحدة S3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

فترة الثقة: فترة يتم حسابها بإجراء مصمم لتغطية معيار المجتمع بمعدل طويل الأمد محدد.
للمتوسط الطبيعي بمعلومية σ، فإن فترة 95% هي متوسط العينة±1.96σ/√n.
انتبه: إجراء ثقة 95% لا يعطي احتمال 95% بأن يتحرك متوسط مجتمع ثابت داخل هذه الفترة الواحدة.

S3 · العينات ومجموعة البيانات الكبيرة

من غائب في البيانات؟

قاعدة بيانات الطقس تحتوي على سجل مفقود ومحطات عدة. معاملة كل صف على أنه متطابق قد يشوه المقارنة.
تدرس هذه الدرس إطار العينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.

الطريقة

حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
ميّز بين المعاينة العشوائية، والمنهجية، والطبقية، والكمية، وفرصة الوصول.
البيانات المفقودة لا تساوي صفراً؛ تحقق من الوحدات والتواريخ وتعريف المتغيرات قبل مقارنة العينات.

حالة محلولة

$$n_i=n\frac{N_i}{N}$$

مثال

أين يكمن الخطأ

عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.
الطبقة ليست نفسها اختيار أي شخص متاح من كل مجموعة.
معرفة AQA للبيانات الكبيرة تتطلب البيانات الفعلية والمعلومات الوصفية المقدمة، وليس قيم الطقس المبتكرة.

انتبه

تطبيقه

بالنسبة لـ AQA، استخدم مجموعة البيانات الرسمية في مهمة جداول بيانات خاضعة للإشراف: حدد متغيراً، وبرر المقارنة، وفحص القيم المفقودة، وأنشئ عرضاً، واشرح قيداً.
احفظ القرارات مع التحليل.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، الوحدة S3.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

إطار المعاينة: القائمة أو تعريف المجتمع الذي تُستخرج منه العينة.
حدد المجتمع الإحصائي، ووحدة المعاينة، والإطار.
انتبه: عينة كبيرة ذات تحيز تظل ذات تحيز.

S3 · الانحدار، والنماذج المالية، والمتبقات

هل يدعم التنبؤ البيانات؟

خط يتنبأ بمدة رحلة الحافلة بناءً على المسافة. خطأ حسابي صغير أقل أهمية من استخدام نموذج خارج نطاق أدلته.
تدرس هذه الدرس المقدار المتبقي (Residual): القيمة الملاحظة ناقص القيمة التي تتنبأ بها النموذج الملائم.

الطريقة

النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
افحص البواقي ونطاق البيانات.
للتغيير المئوي المتكرر استخدم نموذجاً هندسياً؛ وللقرض افرق بين رأس المال، والمعدل، والسداد، والفترة.

حالة محلولة

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

مثال

أين يكمن الخطأ

عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.
معامل الارتباط يقيس الارتباط الخطي، وليس الميل.
يجب ترجمة مخرجات الآلة الحاسبة إلى نموذج، والتحقق منه وتفسيره.

انتبه

تطبيقه

في IB AI، سجل مصدر البيانات، والمجال، والافتراضات، وطريقة الآلة الحاسبة.
قارن نموذجاً بديلاً وحكم على التنبؤات مقابل البواقي.
يجب أن تتضمن الإجابة المالية توقيت الدفع وما إذا كان الفائدة مركباً.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level Further Mathematics، الوحدة S3.

الفكرة الرئيسية

الباقية: القيمة المرصودة ناقص القيمة التي تنبأ بها النموذج المُعدّ.
النموذج الخطي y=a+bx له تقاطع a وميل b بوحلات سياقية.
انتبه: عدم وجود تطابق جيد لا يثبت آلية سببية.

D1 · الخوارزميات، الشبكات والبرمجة الخطية

أرخص شبكة أو أقصر مسار؟

يجب على مدرسة توصيل المباني بالكابلات. المسار الأقصر بين مبنيين ومسألة الشبكة الأرخص ككل هما مشكلتان مختلفتان.
تدرس هذه الدرس شجرة التغطية الصغرى: شبكة متصلة خالية من الحلقات تربط كل رأس بأقل وزن إجمالي ممكن للأضلاع.

الطريقة

يختار كروسكال الحواف بتزايد الأوزان مع تجنب حلقات التكرار.
يقوم ديكسترا بتحديث أقصر المسافات المؤقتة من نقطة البداية.
البرمجة الخطية تحسن دالة هدف خطية ضمن منطقة جدوى؛ راجع الرؤوس والقيود الصحيحة عند الحاجة.

حالة محلولة

$$Z=3x+2y,\qquad x+y\le4,\quad x\le2,\quad x,y\ge0$$

مثال

للمواقع A,B,C,D والأضلاع AB=2، BC=3، AC=4، CD=1، BD=5، تختار كروسال CD، AB، BC لمجموع 6. المسار الأقصر من A إلى D هو A-B-C-D، أيضاً 6، لكن هذا التساوي عرضي. حدّث 3x+2y بشرط x+y≤4، x≤2، x,y≥0: أفضل موقع هو (2,2)، القيمة 10.

الخوارزميات، الشبكات والبرمجة الخطية — مخطط تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

الشجرة الممتدة لا تحتوي على حلقات وتربط جميع الرؤوس.
أكبر حافة فردية لا تُستبعد تلقائياً من كل حل مثالي.
خوارزمية أقصر مسار لا يمكن أن تستبدل خوارزمية شجرة ممتنة دنيا.

انتبه

غير صحيح: يجب أن يكون أقصر مسار بين رأسين أيضاً شجرة ممتنة دنيا للشبكة كاملة. يربط أقصر مسار رأسين فقط، بينما تربط الشجرة الممتنة الدنيا كل رأس بأقل وزن إجمالي، لذا هما يجيبان عن أسئلة مختلفة.

تطبيقه

بالنسبة للمسارات الحرجة، احسب وقت بداية وأقصى وقت لحدوث الأحداث وحدد الأنشطة ذات الهامش الصفري.
حدد الوحدات وفسر القيمة المثلى.
الأرشيف الحالي لا يحتوي على أزواج D1، لذا فإن هذه المهام الأصلية لا تأسس بنك اختبارات سابقة مراجعة D1.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة D1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الشجرة الممتنة الدنيا: شبكة متصلة خالية من الحلقات تربط كل رأس بأقل وزن إجمالي ممكن للحواف.
يختار كروسكال الحواف بتزايد الأوزان مع تجنب حلقات التكرار.
انتبه: الشجرة الممتنة لا تحتوي على حلقات وتربط جميع الرؤوس.

D1 · المسارات الحرجة والجدولة

هل يجب أن تنتظر كل نشاط كل نشاط آخر؟

حدث مدرسي يحتوي على أنشطة يمكن تنفيذها بالتوازي. جمع جميع المدد يؤدي إلى مبالغة في تقدير وقت الإكمال الأدنى.
تدرس هذه الدرس المرونة: الوقت الذي يمكن تأخير نشاط فيه دون تأخير الإكمال ضمن نموذج الشبكة.

الطريقة

لشبكة الأنشطة، احسب أوقات الأحداث الأولى للأمام وأوقات الأحداث الأخيرة للخلف.
الهامش الكلي للنشاط من i إلى j هو L_j-E_i-المدة.
النشاط الحرج له هامش كلي يساوي صفراً؛ وقد توجد أكثر من مسار حرج واحد.

حالة محلولة

$$F_{ij}=L_j-E_i-d_{ij}$$

مثال

النشاطان A=3 و B=5 يبدأان معًا. يتبع C=4 النشاط A، ويتبع D=2 كلا من B و C. وقت إكمال C الأولي هو 7؛ يجب أن ينتظر D حتى max(5,7)=7 وينتهي عند 9. المسار A-C-D حرج؛ ولـ B مرونة 2.

المسارات الحرجة والجدولة — رسم توضيحي تعليمي أصلي

أين يكمن الخطأ

لا تجمع مدد الأنشطة المتوازية المستقلة.
النشاط الذي هامشه صفر ينتمي إلى مسار حرج، ولكن قد تكون هناك عدة مسارات من هذا النوع.
قد تتطلب حدود الموارد جدول زمني أطول من الحد الأدنى النظري للشبكة.

انتبه

غير صحيح: الحد الأدنى لمدة المشروع هو مجموع مدد كل نشاط. الأنشطة التي تعمل في نفس الوقت تتداخل؛ والحد الأدنى للمدة هو طول المسار الحرج.

تطبيقه

ارسم علاقات الأولوية قبل تعيين الأوقات.
اميز بين مدة النشاط ووقت الحدث.
اشرح ما يفعله التأخير على تاريخ الانتهاء، وسجل أي افتراضات حول الموارد.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة D1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الهامش: الوقت الذي يمكن تأخير نشاط دون أن يتأخر تاريخ الانتهاء تحت نموذج الشبكة.
لشبكة الأنشطة، احسب أوقات الأحداث الأولى للأمام وأوقات الأحداث الأخيرة للخلف.
انتبه: لا تجمع مدد الأنشطة المتوازية المستقلة.

D1 · الفرز، التغليف وخوارزميات الشبكات

هل طريقة التغليف السريعة دائمًا مثلى؟

طريقة تغليف سريعة تملأ الصناديق، لكن الترتيب الصحيح السريع قد لا يستخدم أقل عدد من الصناديق.
تدرس هذه الدرس الخوارزمية: مجموعة محدودة من التعليمات المرتبة التي تحل فئة محددة من المشكلات.

الطريقة

تتبع الخوارزمية المسمّاة بدقة، بما في ذلك قواعد التعادل.
في تعبئة أولي-ملائم، ضع كل عنصر في أول صندوق متاح يمكنه استيعابه.
يُصنّف أولاً-الترتيب التنازلي قبل تطبيق خوارزمية أولاً-المكان.
قد تكون الخوارزمية الوهنية صالحة دون أن تكون مثلى.

حالة محلولة

$$B_{\min}\ge\left\lceil\frac{\sum s_i}{C}\right\rceil$$

مثال

بطاقة سعة 10 وعناصر 6,5,4,3,2 بنفس الترتيب، يضع أول ملاءم 6 و4 في بطاقة 1، ثم 5,3,2 في بطاقة 2. يستخدم 2 بطاقات. الحجم الكلي هو 20، لذا الحد الأدنى هو ceil(20/10)=2؛ هذه الترتيبة مثالية لهذه الحالة.

الترتيب والتغليف وخوارزميات الشبكة — الرسم التعليمي الأصلي

أين يكمن الخطأ

لا يثبت نجاح مثال واحد أن الخوارزمية الوهنية دائماً مثلى.
احتفظ بالقوائم الوسيطة في تتبع الفرز؛ ولا تقفز من المدخلات مباشرة إلى القائمة النهائية المرتبة.
يجب أن تحتفظ تحديث المسار الأقصر بمعلومات السلف إذا طُلب مسار معين.

انتبه

غير صحيح: خوارزمية وهرمية للتعبئة تعمل جيداً على مثال واحد ليست بالضرورة مثلى. تعطي الخوارزمية الوهنية إجابة جيدة بسرعة لكنها غير مضمونة لتكون مثلى لكل مدخلات.

تطبيقه

بالنسبة لخوارزمية ديكسترا، اختر أصغر علامة مؤقتة غير مؤكدة وحديث جيرانها.
لمسائل تفتيش المسار، ميّز بين المسار المغلق والمفتوح ومعرّف الرؤوس ذات الدرجة الفردية قبل توصيلها بأزواج.

في مسارك الدراسي

Pearson Edexcel International A Level في الرياضيات المتقدمة، الوحدة D1.
يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة في كل ورقة، لكن علامات الطريقة تتطلب كتابة التعبير أو المعادلة قبل قيمتها.

الفكرة الرئيسية

الخوارزمية: مجموعة محدودة من التعليمات المرتبة التي تحل فئة محددة من المشكلات.
تتبع الخوارزمية المسمّاة بدقة، بما في ذلك قواعد التعادل.
انتبه: لا يثبت نجاح مثال واحد أن الخوارزمية الوهنية دائماً مثلى.

ملاحظات الدراسة

YFM01: ملاحظات تدريس المساق

FP1 · الحساب المركب وجذور المعادلات التربيعية

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP1 · القطوع المكافئ والقطع الزائد المستطيل

كيف يمكن لمعامل دوار أن يرسم قطعاً ناقصاً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP1 · عمليات المصفوفات والمقلوبات وتحويلات المستوي

إلى أين تذهب متجهات الأساس؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP1 · التقسيم المزدوج وإيجاد جذور نيوتن

ما مدى موثوقية التقريب؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP1 · المجاميع المحددة والاستقراء الرياضي

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP1 · الاستنتاج والتناقض والاستقراء الرياضي

متى يصبح النمط برهاناً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · المعادلات التربيعية والمتباينات

ما العرض الذي يوفر مساحة كافية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · المتسلسلات والفروق المحدودة وتمديدات تايلور

هل يمكن لكثير حدود أن يحل محل دالة أسية بالقرب منها؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · الأعداد المركبة والجذور

ماذا لو لم يكن الجذر حقيقياً؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · المعادلات التفاضلية والحلول العددية

ماذا يحدد القيمة الابتدائية؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية

لماذا نحتاج إلى شرطين أوليين؟

الطريقة

حالة محلولة

أين يكمن الخطأ

تطبيقه

في مسارك الدراسي

FP2 · المنحنيات القطبية والمساحة